Elipsė: geometrijos apibrėžimas, židiniai, lygtis ir pavyzdžiai

Apibrėžimai

- Kaip kūgio pjūvis: elipsė atsiranda, kai kūgiui susikirtus su plokštuma gaunama uždara kreivė (ne apskritimas). Geometrijoje tai yra viena iš pagrindinių konikinių sekcijų.

- Kaip vieta: elipsė yra visų plokštumos taškų rinkinys, kurių atstumų iki dviejų fiksuotų taškų (vadinamų židiniais) suma yra konstanta. Kitaip tariant, visi taškai P = (x,y) tenkina d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, kur 2a yra pastovus didžiausios ašies ilgis.

Standartinė lygtis

Jei elipsės centras yra taške (h,k) ir elipsės pusiau ašys yra a bei b, tai elipsės standartinė lygtis parašoma kaip

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

Jeigu a ≥ b, tai pusiau didžioji ašis yra ilgumo a ir viso didžiausios ašies ilgis yra 2a; trumpesnė pusiau ašis yra b (viso 2b). Jeigu a < b, pažymėjimą galima apsikeisti – didžioji ašis bus vertikali.

Savybės ir elementai

• Centras: (h,k).
• Viršūnės (vertices): jeigu didžioji ašis horizontalioji (a ≥ b), viršūvės yra (h±a, k); jei vertikali – (h, k±a).
• Židiniai (foci): židinių koordinatės priklauso nuo orientacijos. Jei didžioji ašis horizontalioji, židiniai yra (h±c, k); jei vertikali – (h, k±c). Čia c yra atstumas nuo centro iki kiekvieno židinio.
• Santykis tarp a, b ir c: c² = a² − b² (prisiminkite: c yra atstumas nuo centro iki židinio, ne tarp židinių).
• Ekscentriškumas: e = c/a. Jis apibrėžia, kiek elipsė yra „ištempusi“; 0 ≤ e < 1. Jeigu a = b, tuomet e = 0 ir elipsė tampa apskritimu.

Parametrinė forma ir tiesioginis konstravimas

Parametrinė elipsės pateikimo forma su centru (h,k):

x = h + a cos t, y = k + b sin t, kur t ∈ [0,2π).

Praktinis braižymo būdas: įkišus du smeigtukus (židinius) į kartoną ir aplink juos apjuosus virvelę, į kilpą įkišus pieštuką ir traukus virvelę, pieštukas braižys elipsę – tai atitinka apibrėžimą per atstumų sumą.

Plotas ir perimetras

Plotas: S = πab.

Perimetras: neturi paprasto elementaraus uždaro formos išraiškos. Yra daug aproksimacijų; viena tikslesnių Ramanujan formulių:

P ≈ π [3(a + b) − sqrt{(3a + b)(a + 3b)}].

Pavyzdys

Tarkime elipsė centro (0,0) su a = 5 ir b = 3. Jos lygtis:

x²/25 + y²/9 = 1.

Skaičiavimai: c = sqrt(5² − 3²) = sqrt(25 − 9) = 4, todėl židiniai yra (±4, 0). Ekscentriškumas e = c/a = 4/5 = 0.8. Plotas S = π·5·3 = 15π. Viršūvės: (±5,0) ir (0,±3).

Taikymas

Elipsės dažnai pasitaiko gamtoje ir technologijose: planetų orbitos aplink Saulę (pagal Keplerio dėsnius) yra elipsės, kurių viename židinyje yra Saulė; optikoje elipsinės formos turi savybių, kad spinduliai, išeinantys iš vieno židinio, atsispindi į kitą židinį; inžinerijoje elipsės naudojamos laiptų, laukų, reflektorių, akustinių konstrukcijų projektuose.

Papildomi pastabos

• Apskritimas yra specialus elipsės atvejis, kai a = b.
• Elipsės lygties orientacija gali būti pasvirusi; tuomet reikia naudoti bendrą kvadratinę formą su xy termu arba taikyti sukimo koordinatų transformacijas.
• Directrix (tiesės) lygtis elipsei: atstumas iki židinio / atstumas iki directrix = e. Directrix koordinatės priklauso nuo orientacijos ir e.