Gauso eliminacija

Matematikoje Gauso eliminacija (dar vadinama eilučių redukavimu) yra tiesinių lygčių sistemoms spręsti naudojamas metodas. Jis pavadintas garsaus vokiečių matematiko Karlo Frydricho Gauso (Carl Friedrich Gauss), kuris rašė apie šį metodą, bet jo neišrado, vardu.

Norint atlikti Gauso eliminaciją, tiesinių lygčių sistemos narių koeficientai naudojami tam tikros rūšies matricai, vadinamai papildyta matrica, sukurti. Tada matricai supaprastinti naudojamos elementarios eilučių operacijos. Naudojamos trys eilučių operacijų rūšys:

1 tipas: vienos eilutės sukeitimas su kita eilute.

2 tipas: eilutės dauginimas iš nenulinio skaičiaus.

3 tipas: eilutės pridėjimas arba atėmimas iš kitos eilutės.

Gauso eliminacijos tikslas - gauti matricą eilučių ir ešelonų pavidalu. Jei matrica yra eilučių ešelono formos, tai reiškia, kad skaitant iš kairės į dešinę kiekviena eilutė prasideda bent vienu nuliniu nariu daugiau nei prieš ją esanti eilutė. Kai kuriuose Gauso eliminacijos apibrėžimuose teigiama, kad matricos rezultatas turi būti redukuotos eilučių-echelono formos. Tai reiškia, kad matrica yra eilučių-echelonų formos ir vienintelis nenulinis narys kiekvienoje eilutėje yra 1. Gauso eliminacija, sukurianti redukuotą eilučių-echelonų matricos rezultatą, kartais vadinama Gauso-Jordano eliminacija.

Pavyzdys

Tarkime, kad tikslas yra rasti šios tiesinių lygčių sistemos atsakymus.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Pirmiausia sistemą reikia paversti papildyta matrica. Papildytoje matricoje kiekviena tiesinė lygtis tampa eilute. Vienoje papildytos matricos pusėje kiekvieno tiesinės lygties nario koeficientai tampa matricos skaičiais. Kitoje papildytos matricos pusėje yra pastovieji nariai, kuriems lygi kiekviena tiesinė lygtis. Šiai sistemai papildytoji matrica yra tokia:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Tuomet, norint supaprastinti papildytą matricą, su ja galima atlikti eilutės operacijas. Toliau pateiktoje lentelėje parodytas lygčių sistemos ir papildytos matricos eilučių mažinimo procesas.

Lygčių sistema	Eilučių operacijos	Papildyta matrica
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&&y&&&\;-&&&\;z&&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Dabar matrica yra eilučių ir ešelonų pavidalo. Ši forma dar vadinama trikampio forma.

Lygčių sistema	Eilučių operacijos	Papildyta matrica
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&0&1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&0&0&1&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&0&2\0&1&0&3\0&0&0&1&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Dabar matrica yra redukuotos eilučių ir ešelonų formos. Skaitydami šią matricą sužinome, kad šios lygčių sistemos sprendiniai yra tada, kai x = 2, y = 3 ir z = -1.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Gauso eliminacija?

A: Gauso eliminacija yra matematikoje naudojamas tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodas.

K: Kieno vardu jis pavadintas?

A: Pavadintas garsaus vokiečių matematiko Karlo Frydricho Gauso (Carl Friedrich Gauss), kuris rašė apie šį metodą, bet jo neišrado, vardu.

K: Kaip atliekama Gauso eliminacija?

A: Gauso eliminavimas atliekamas naudojant tiesinių lygčių sistemos narių koeficientus, kad būtų sukurta papildyta matrica. Tada matricai supaprastinti naudojamos elementarios eilutės operacijos.

Klausimas: Kokios trys eilučių operacijos naudojamos atliekant Gauso eliminavimą?

A: Trys eilučių operacijų rūšys, naudojamos Gauso eliminacijoje, yra šios: Vienos eilutės sukeitimas su kita eilute, eilutės dauginimas iš nenulinio skaičiaus ir eilutės pridėjimas arba atėmimas iš kitos eilutės.

K: Koks yra Gauso eliminavimo tikslas?

Atsakymas: Gauso eliminavimo tikslas - gauti matricą eilučių ešelono pavidalu.

K: Kas yra eilutės-echelono forma?

A: Jei matrica yra eilučių-echelonų formos, tai reiškia, kad skaitant iš kairės į dešinę, kiekviena eilutė prasideda su bent vienu nuliniu nariu daugiau nei eilutė virš jos.

K: Kas yra redukuotoji eilučių-echelonų forma?

Atsakymas: Sumažinta eilučių-echelonų forma reiškia, kad matrica yra eilučių-echelonų formos ir vienintelis nenulinis narys kiekvienoje eilutėje yra 1. Gauso eliminacija, sukurianti sumažintos eilučių-echelonų matricos rezultatą, kartais vadinama Gauso-Jordano eliminacija.