Gėdelio neišbaigtumo teoremos
Gėdelio neužbaigtumo teoremos - taip vadinamos dvi teoremos (teisingi matematiniai teiginiai), kurias 1931 m. įrodė Kurtas Gėdelis. Tai matematinės logikos teoremos.
Matematikai kadaise manė, kad viskas, kas teisinga, turi matematinį įrodymą. Sistema, kuri turi šią savybę, vadinama išbaigta, o kuri jos neturi, vadinama neišbaigta. Be to, matematinės idėjos neturėtų turėti prieštaravimų. Tai reiškia, kad jos neturėtų būti teisingos ir klaidingos tuo pačiu metu. Sistema, kurioje nėra prieštaravimų, vadinama nuoseklia. Šios sistemos grindžiamos aksiomų rinkiniais. Aksiomos - tai teiginiai, kurie pripažįstami teisingais ir kurių nereikia įrodinėti.
Gödelis teigė, kad kiekviena netriviali (įdomi) formali sistema yra arba neišbaigta, arba nenuosekli:
- Visada bus klausimų, į kuriuos neįmanoma atsakyti naudojant tam tikrą aksiomų rinkinį;
- Negalite įrodyti, kad aksiomų sistema yra nuosekli, nebent naudojate kitą aksiomų rinkinį.
Šios teoremos svarbios matematikams, nes jos įrodo, kad neįmanoma sukurti aksiomų rinkinio, kuris paaiškintų viską matematikoje.
Kai kurios susijusios temos
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Gėdelio neišbaigtumo teoremos?
A: Gėdelio neišbaigtumo teoremos yra du teisingi matematiniai teiginiai, kuriuos 1931 m. įrodė Kurtas Gėdelis matematinės logikos srityje.
K: Kas matematikoje yra išbaigta sistema?
Atsakymas: Matematikoje išbaigta sistema yra sistema, kuri turi savybę, kad viskas, kas teisinga, turi matematinį įrodymą.
K: Kas yra neužbaigta sistema matematikoje?
Atsakymas: Neišbaigta sistema matematikoje yra sistema, kuri neturi savybės, kad viskas, kas teisinga, turi matematinį įrodymą.
K: Kas yra nuosekli sistema matematikoje?
A: Nuosekli sistema matematikoje - tai sistema, kurioje nėra prieštaravimų, t. y. matematinės idėjos neturėtų būti teisingos ir klaidingos tuo pačiu metu.
K: Kas yra aksiomos matematikoje?
A: Aksiomos matematikoje - tai teiginiai, kurie laikomi teisingais ir kurių nereikia įrodinėti.
K: Ką Gėdelis teigė apie kiekvieną netrivialią formalią sistemą?
A: Gėdelis teigė, kad kiekviena netriviali formalioji sistema yra arba neišbaigta, arba nenuosekli.
K: Kodėl Gėdelio neišbaigtumo teoremos svarbios matematikams?
A: Gėdelio neišbaigtumo teoremos svarbios matematikams, nes jos įrodo, kad neįmanoma sukurti aksiomų rinkinio, kuris paaiškintų viską matematikoje.
