Hilberto problemos: 23 neišspręstų matematikos uždavinių sąrašas
Atraskite Hilberto 23 neišspręstų matematikos problemų istoriją, jų įtaką mokslo raidai ir likusias paslaptis nuo 1900 m. iki šiandien.
1900 m. matematikas Davidas Hilbertas paskelbė 23 neišspręstų matematikos uždavinių sąrašą. Šis problemų sąrašas pasirodė esąs labai įtakingas: jis sustiprino matematikos kryptingumą XX a., nurodė prioritetines tyrimų sritis ir tapo gairėmis naujoms kartoms matematikų. Po Hilberto mirties jo raštuose buvo rasta dar viena problema; šiandien ji kartais vadinama 24-ąja Hilberto problema. Ši problema susijusi su kriterijų, rodančių, kad uždavinio sprendimas yra paprasčiausias įmanomas, paieška.
Kas įtraukta ir kokia buvo poveikio apimtis
Hilberto 23 užduotys aprėpė labai įvairias matematikos sritis: skaičių teoriją, analizę, topologiją, algebraiškas struktūras, fizikos matematikos pagrindus ir kt. Daug uždavinių paskatino naujų metodų kūrimą, o kai kurių sprendimai pakeitė matematikos kryptis ar įvedė naujas disciplinų šakas.
Keletas žymių sprendimų ir reikšmingų rezultatų
- Hilberto 3-ioji problema (dekompozicija erdvėje): ją 1900 m. išsprendė Maxas Dehnas, parodydamas, kad grafiniai polihedraliniai kūnai ne visada gali būti pertvarkyti iš vienas kito lygiomis dalimis.
- Hilberto 2-oji problema (aritmetikos sistemos nuoseklumo įrodymas): Kurtas Gödelis (1931) savo neišbaigtumo teoremomis parodė, kad daugelį natūralių formulių apie skaičius negalima įrodyti ar paneigti pačioje sistemoje, taigi tradicinis visapusiškas nuoseklumo įrodymas iš tos pačios sistemos buvo neįmanomas.
- Hilberto 10-oji problema (diofantinių lygčių sprendžiamumas): 1970 m. Jurijus Matijasevičius kartu su ankstesniais darbuotojais parodė, kad nėra algoritmo, galinčio nuspręsti, ar bendro pobūdžio diofantinė lygtis turi sveikų skaičių sprendinį — problema išspręsta neigiamai.
- Poincaré hipotezė (viena iš užduočių ir susijusių klausimų topologijoje): Grigorijus Perelmanas 2002–2003 m. pateikė sprendimą (naudodamas Ricci srauto metodus), kurio pripažinimas leido uždaryti vieną iš garsiausių klausimų 3-matmenų topologijoje.
- Riemanno hipotezė (Hilberto 8-oji problemos dalis) ir kiti klausimai susiję su pirminių skaičių pasiskirstymu išlieka atviri — tai vienas iš svarbiausių iki šiol neišspręstų problemų, kuriai skiriama didžiulė tarptautinė dėmesio dalis.
- Continuum hipotezė (susijusi su Hilberto užduotimis): Kurtas Gödelis ir Paulas Cohenas parodė, kad continuum hipotezė yra neišsprendžiama (nepriklausoma) iš įprastinių ZF (Zermelo–Fraenkel) aibės teorijos su pasirinkimo aksioma — t. y. nei galima jos įrodyti, nei paneigti tame aksiomatiniame rėme.
Statusas ir tolimesnės pasekmės
Ne visos iš 23 užduočių buvo vienareikšmiškai “išspręstos” tradicine prasme: kai kurios yra visiškai išspręstos, kai kurios — parodytos nepriklausomos nuo naudojamų aksiomų, o dar kitos tik iš dalies sprendžiamos arba perorientavo tyrimus į naujas sritis. Kai kurios problemos buvo suformuluotos gana bendrais arba nepakankamai preciziškais terminais, todėl jose reikėjo papildomų apibrėžimų, kad būtų įmanomas griežtas sprendimas.
24-oji problema ir vėlesnė įtaka
Hilberto “24-oji” problema, atrasta jo užrašų, siejosi su kriterijais, kuriais remiantis galima būtų palyginti įrodymų paprastumą ir rasti trumpesnius ar elegantiškesnius sprendimus. Nors ši problema nebuvo viešai paskelbta 1900 m., jos idėjos vėliau sužadino susidomėjimą formalizmu, įrodymų teorija ir optimizavimo metodais matematikoje.
Moderni perspektyva ir Tūkstantmečio problemos
Atsižvelgdamas į šių užduočių poveikį, 2000 m. Molio matematikos institutas suformulavo naują, labiau aktualių šiuolaikinės matematikos klausimų, sąrašą — Tūkstantmečio premijos problemas, kurioms spręsti skiriamos milijono dolerių prizai. Kai kurios iš šių naujų problemų (pvz., Riemanno hipotezė) yra glaudžiai susijusios su Hilberto programos temomis ir rodo, kad pagrindiniai matematikos iššūkiai tęsėsi per kelis amžius.
Poveikis mokslui ir edukacijai
Hilberto 23 problemos parodė, kaip strateginis klausimų kėlimas gali sutelkti tyrimus ir paskatinti naujų metodų atsiradimą. Daugelyje universitetų ir tyrimų centrų šios problemos naudojamos kaip istorinis ir pedagogo įrankis, padedantis studentams suprasti, kokie klausimai buvo ir tebėra kertiniai matematikos raidai.
Apibendrinant, Hilberto problemų sąrašas — tai ne vien sąrašas uždavinių, bet ir katalizatorius, formavęs modernios matematikos raidą. Kai kurios užduotys buvo išspręstos visiškai, kai kurios — parodytos kaip nepriklausomos nuo tam tikrų aksiomų, o kitos tebėra aktyvios tyrimų sritys, kuriose dar laukia svarbių atradimų.
Santrauka
Vienos problemos formuluojamos geriau nei kitos. Iš švariai suformuluotų Hilberto uždavinių 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 ir 21 uždavinių sprendimas priimtas bendru sutarimu. Kita vertus, 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , ir 22 uždavinių sprendiniai yra iš dalies priimtini, tačiau esama ginčų, ar jie išsprendžia uždavinį.
18 uždavinio, Keplerio spėjimo, sprendimui naudojamas kompiuterinis įrodymas. Tai prieštaringai vertinama, nes žmogus skaitytojas negali patikrinti įrodymo per priimtiną laiką.
Lieka 16, 8 (Rymano hipotezė) ir 12 neišspręstų klausimų. Pagal šią klasifikaciją 4, 16 ir 23 yra per daug neaiškūs, kad juos būtų galima pavadinti išspręstais. Šiai klasei taip pat priklausytų ir išimta 24. 6 laikoma fizikos, o ne matematikos problema.
Problemų lentelė
Hilberto dvidešimt trys problemos:
| Problema | Trumpas paaiškinimas | Statusas | Išspręsti metai |
| 1. | Tęstinumo hipotezė (t. y. nėra aibės, kurios kardinalumas būtų griežtai tarp sveikųjų ir realiųjų skaičių) | Įrodyta, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorijoje su pasirinkimo aksioma arba be jos neįmanoma įrodyti arba paneigti (su sąlyga, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorija su pasirinkimo aksioma arba be jos yra nuosekli, t. y. joje nėra dviejų teiginių, kurių vienas būtų kito neiginys). Nėra vieningos nuomonės, ar tai yra problemos sprendimas. | 1963 |
| 2. | Įrodykite, kad aritmetikos aksiomos yra nuoseklios. | Nėra vieningos nuomonės dėl to, ar Gödelio ir Gentzeno rezultatai leidžia išspręsti Hilberto iškeltą problemą. Gėdelio antroji neišbaigtumo teorema, įrodyta 1931 m., rodo, kad pačioje aritmetikoje negalima įrodyti jos nuoseklumo. Gentzeno nuoseklumo įrodymas (1936 m.) rodo, kad aritmetikos nuoseklumas išplaukia iš ordinalo ε0 pagrįstumo. | 1936? |
| 3. | Ar, turint du vienodos apimties daugiakampius, visada įmanoma pirmąjį daugiakampį padalyti į baigtinai daug daug daugiakampių dalių, iš kurių būtų galima vėl surinkti antrąjį daugiakampį? | Išspręsta. Rezultatas: ne, įrodyta naudojant Dehno invariantus. | 1900 |
| 4. | Sudarykite visas metrikas, kuriose tiesės yra geodezijos. | Per daug neaišku, kad būtų galima teigti, ar tai išspręsta, ar ne. | - |
| 5. | Ar ištisinės grupės automatiškai yra diferencinės grupės? | Išsprendė Andrew Gleasonas arba Hidehiko Yamabe, priklausomai nuo to, kaip interpretuojamas pirminis teiginys. Tačiau jei jis suprantamas kaip Hilberto-Smito hipotezės atitikmuo, jis vis dar neišspręstas. | 1953? |
| 6. | Aksiomatizuokite visą fiziką | Iš dalies išspręsta. | - |
| 7. | Ar a b yra transcendentinis, jei algebrinis a ≠ 0,1 ir iracionalusis algebrinis b ? | Išspręsta. Rezultatas: taip, iliustruojama Gelfondo teorema arba Gelfondo-Šneiderio teorema. | 1934 |
| 8. | Riemanno hipotezė ("bet kurios netrivialios Riemanno zeta funkcijos nulio realioji dalis yra ½") ir kitos pirminių skaičių problemos, tarp jų Goldbacho spėjimas ir dvynių pirminių skaičių spėjimas. | Neišspręsta. | - |
| 9-oji | Raskite bendriausią abipusiškumo teoremos dėsnį bet kuriame algebrinių skaičių lauke | Iš dalies išspręsta. | - |
| 10. | Raskite algoritmą, kuris leistų nustatyti, ar duotoji daugianarė Diofanto lygtis su sveikojo skaičiaus koeficientais turi sveikojo skaičiaus sprendinį. | Išspręsta. Rezultatas: neįmanoma, Matijoševičiaus teorema reiškia, kad tokio algoritmo nėra. | 1970 |
| 11-oji | Kvadratinių formų su algebriniais skaitiniais koeficientais sprendimas. | Iš dalies išspręsta. [] | - |
| 12-oji | Išplėskite Kroneckerio ir Weberio teoremą apie abeliškus racionaliųjų skaičių plėtinius bet kokiam bazinių skaičių laukui. | Iš dalies išspręsta taikant klasių lauko teoriją, nors sprendimas nėra toks aiškus kaip Kroneckerio-Veberio teorema. | - |
| 13-oji | 7-ojo laipsnio lygčių sprendimas naudojant dviejų parametrų tolydžias funkcijas. | Neišspręsta. Problemą iš dalies išsprendė Vladimiras Arnoldas, remdamasis Andrejaus Kolmogorovo darbu. | 1957 |
| 14-oji | Ar algebrinės grupės, veikiančios polinomo žiedą, invariantų žiedas visada yra baigtinis? | Išspręsta. Rezultatas: ne, priešpriešą sukonstravo Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15-oji | Griežtas Schuberto skaičiuotės pagrindas. | Iš dalies išspręsta. [] | - |
| 16-oji | Apibūdinkite santykines ovalų, kylančių iš realios algebrinės kreivės ir daugianario vektoriaus lauko ribinių ciklų plokštumoje, padėtis. | Neišspręsta. | - |
| 17-oji | Apibrėžtosios racionaliosios funkcijos išraiška kaip kvadratų sumų kvantiento išraiška | Nusprendė Emil Artin ir Charles Delzell. Rezultatas: Buvo nustatyta viršutinė būtino kvadratinių narių skaičiaus riba. Apatinės ribos nustatymas vis dar lieka neišspręsta problema. | 1927 |
| 18-oji | (a) Ar yra daugiakampio, kuriam trijuose matmenyse galima tik anizoedrinė plytelė? | (a) Nutarta. Rezultatas: taip (Karl Reinhardt). | (a) 1928 m. ( |
| 19-oji | Ar Lagranžo sprendiniai visada yra analitiniai? | Išspręsta. Rezultatas: taip, įrodė Ennio de Giorgi ir, nepriklausomai nuo jo ir skirtingais metodais, Johnas Forbesas Nashas. | 1957 |
| 20-asis | Ar visi variaciniai uždaviniai su tam tikromis kraštinėmis sąlygomis turi sprendinius? | Išspręsta. Svarbi tyrimų tema visą XX a., kurią vainikavo sprendimai[] netiesiniam atvejui. | - |
| 21-oji | Tiesinių diferencialinių lygčių, turinčių nustatytą monodrominę grupę, egzistavimo įrodymas | Išspręsta. Rezultatas: Taip arba ne, priklausomai nuo tikslesnių problemos formuluočių. [] | - |
| 22-oji | Analitinių santykių unifikavimas naudojant automorfines funkcijas | Išspręsta. [] | - |
| 23-oji | Tolesnis variacijų skaičiavimo plėtojimas | Neišspręsta. | - |
Klausimai ir atsakymai
K: Kas 1900 m. paskelbė 23 neišspręstų matematikos uždavinių sąrašą?
A: 1900 m. Davidas Hilbertas paskelbė 23 neišspręstų matematikos uždavinių sąrašą.
K: Ar Hilberto 24-oji problema buvo įtraukta į pirminį sąrašą?
Atsakymas: Ne, 24-asis Hilberto uždavinys buvo rastas Hilberto raštuose po jo mirties.
K: Apie ką yra 24-asis Hilberto uždavinys?
Atsakymas: 24-asis Hilberto uždavinys susijęs su kriterijų, rodančių, kad uždavinio sprendimas yra paprasčiausias įmanomas, paieška.
K: Ar visi 23 Hilberto sąraše esantys uždaviniai buvo išspręsti iki 2012 m.?
Atsakymas: Ne, trys iš 23 Hilberto sąraše esančių uždavinių 2012 m. buvo neišspręsti.
K: Ar kuris nors iš Hilberto sąraše esančių uždavinių buvo per daug neaiškus, kad jį būtų galima išspręsti?
A: Taip, trys iš Hilberto sąraše esančių problemų buvo per daug neaiškios, kad jas būtų galima išspręsti.
K: Kiek iš Hilberto sąraše esančių problemų galėjo būti iš dalies išspręstos?
Atsakymas: Šešias iš Hilberto sąraše esančių problemų galima iš dalies išspręsti.
Klausimas: Ar Molio matematikos institutas sukūrė panašų į Hilberto problemų sąrašą?
A: Taip, 2000 m. Molio matematikos institutas sukūrė panašų sąrašą, pavadintą Tūkstantmečio premijos problemomis.
Ieškoti