Rymano hipotezė
Rymanno hipotezė yra matematinis klausimas (hipotezė). Daug žmonių mano, kad hipotezės įrodymas yra vienas sunkiausių ir svarbiausių neišspręstų grynosios matematikos uždavinių. Grynoji matematika yra matematikos rūšis, kurios esmė - mąstyti apie matematiką. Tai skiriasi nuo bandymo matematiką pritaikyti realiame pasaulyje. Atsakymas į Rymano hipotezę yra "taip" arba "ne".
Ši hipotezė pavadinta Bernhardo Riemanno vardu. Jis gyveno XIX a. Riemanno hipotezėje keliamas klausimas apie ypatingą dalyką, vadinamą Riemanno zeta funkcija.
Jei atsakymas į klausimą būtų teigiamas, tai reikštų, kad matematikai gali daugiau sužinoti apie pirminius skaičius. Konkrečiai tai padėtų jiems sužinoti, kaip rasti pirminius skaičius. Riemanno hipotezė yra tokia svarbi ir ją taip sunku įrodyti, kad Molio matematikos institutas pasiūlė 1 000 000 JAV dolerių pirmajam ją įrodžiusiam asmeniui.
Rymanno zeta funkcija kompleksinėje plokštumoje. Realioji dalis Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)}
brėžiama horizontaliai, o įsivaizduojamoji dalis Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
vertikaliai. Baltais taškais pažymėti nuliai, kai Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}}
. Spustelėkite, jei norite pamatyti visą vaizdą.
Kas yra Rymanno hipotezė?
Kas yra Rymanno zeta funkcija?
Rymanno zeta funkcija yra tam tikra funkcija. Funkcijos matematikoje yra tokie dalykai kaip lygtys. Funkcijos priima skaičius ir grąžina kitus skaičius. Tai panašu į tai, kaip užduodant klausimą gaunamas atsakymas. Įvestas skaičius vadinamas įvestimi. Skaičius, kurį gaunate atgal, vadinamas verte. Kiekviena įvestis, kurią įvedate į Riemanno zeta funkciją, grąžina jums ypatingą reikšmę. Dažniausiai už kiekvieną įvestį gaunate skirtingą reikšmę. Tačiau kiekvieną kartą, kai naudojate kiekvieną įvestį, gaunate tą pačią vertę. Ir įvestis, kurią įvedate, ir reikšmė, kurią gaunate iš Riemanno zeta funkcijos, yra specialūs skaičiai, vadinami kompleksiniais skaičiais. Kompleksinis skaičius - tai skaičius, turintis dvi dalis.
Kas yra netriviali šaknis?
Kartais, kai į Rymanno zeta funkciją įvedate įvestį, gaunate skaičių nulis. Kai taip atsitinka, tą įvestį vadiname Riemanno zeta funkcijos šaknimi. Kai įvestis duoda nulį, ją vadiname šaknimi. Buvo rasta daug šaknų. Tačiau kai kurias šaknis rasti lengviau nei kitas. Šaknis vadiname trivialiomis arba netrivialiomis. Šaknį vadiname trivialia, jei ją lengva rasti. Tačiau šaknį vadiname "netrivialia", jei ją sunku rasti. Trivialios šaknys yra skaičiai, vadinami "neigiamaisiais lygiaisiais skaičiais". Mes manome, kad jos yra lengvos, nes jas lengva rasti. Yra aiškios taisyklės, kurios nurodo, kokios yra trivialios šaknys. Mes žinome, kas yra trivialios šaknys, nes Bernhardas Riemannas pateikė lygtį. Ši lygtis buvo pavadinta "Riemanno funkcine lygtimi".
Kaip rasti netrivialias šaknis?
Netrivialias šaknis rasti sunkiau. Jas rasti sunkiau nei trivialias šaknis. Jos neturi tokių pat tvarkingų taisyklių, kurios nurodytų, kokios jos yra. Nors jas sunku rasti, netrivialių šaknų rasta daug. Prisiminkite, kad Riemanno zeta funkcijos reikšmė buvo tam tikros rūšies skaičius, vadinamas kompleksiniu skaičiumi. Ir prisiminkite, kad kompleksiniai skaičiai turi dvi dalis. Viena iš šių dalių vadinama tikrąja dalimi. Pastebėjome įdomų dalyką, susijusį su netrivialiųjų šaknų tikrąja dalimi. Visų mūsų rastų netrivialių šaknų realioji dalis yra tas pats skaičius. Šis skaičius yra 1/2, t. y. trupmena. Tai mus veda prie didžiojo Riemanno klausimo apie tai, kokio dydžio yra realiosios dalys. Šis klausimas yra Rymano hipotezė. Klausimas skamba taip: "Ar visos netrivialios šaknys turi 1/2 realiąją dalį?". Mes vis dar bandome išsiaiškinti, ar atsakymas yra "taip", ar "ne".
Ką jau žinome?
Kol kas nežinome atsakymo į šį klausimą. Tačiau žinome keletą gerų faktų. Šie faktai gali mums padėti. Yra būdas, kuriuo galime rasti faktų apie netrivialiųjų šaknų realiąsias dalis. Tai daroma naudojant Rymano specialiąją lygtį (Rymano funkcinę lygtį). Riemanno funkcinė lygtis mums pasako apie realiųjų dalių dydį. Ji sako, kad visų netrivialių nulių realioji dalis yra artima 1/2. Ji sako, kokios mažos gali būti realiosios dalys ir kokios didelės jos gali būti. Tačiau ji nesako, kokios tiksliai jos yra. Konkrečiai sakoma, kad realiosios dalys turi būti didesnės už 0. Tačiau jos turi būti mažesnės už 1. Tačiau vis dar nežinome, ar gali būti netriviali šaknis, kurios realioji dalis labai artima 1/2. Galbūt yra, bet mes jos dar neradome. Kompleksinių skaičių, kurių realioji dalis didesnė už 0, bet mažesnė už 1, grupė vadinama "kritine juosta".
Rymano hipotezė paveikslėlyje
Šio puslapio viršutiniame dešiniajame kampe esančiame paveikslėlyje pavaizduota Rymanno zeta funkcija. Netrivialios šaknys parodytos baltais taškais. Atrodo, kad jos visos yra vienoje linijoje pačiame paveikslėlio viduryje. Jos yra ne per toli į kairę ir ne per toli į dešinę. Tikroji dalis yra tai, kiek toli nuo kairės iki dešinės esate. Būdami paveikslėlio viduryje, jie turi tikrąją 1/2 dalį. Taigi visų paveikslėlyje esančių netrivialių šaknų realioji dalis lygi 1/2. Tačiau mūsų paveikslėlyje ne viskas parodyta, nes Rymano zeta funkcija yra per didelė, kad ją būtų galima parodyti. Taigi, ką daryti su netrivialiosiomis šaknimis, esančiomis virš ir po paveikslėliu? Ar jos taip pat būtų viduryje? O jei jos pažeistų buvimo viduryje dėsningumą? Jos galėtų būti šiek tiek į kairę arba į dešinę. Rymano hipoteze klausiama, ar kiekviena netriviali šaknis (baltas taškas) būtų tiesėje, einančioje per vidurį. Jei atsakymas neigiamas, sakome, kad "hipotezė klaidinga". Tai reikštų, kad yra baltų taškų, kurie nėra ant duotos tiesės.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Rymano hipotezė?
A: Riemanno hipotezė - tai matematinis klausimas (spėjimas), kuriuo keliamas klausimas apie ypatingą dalyką, vadinamą Riemanno zeta funkcija.
K: Su kokia matematikos rūšimi susijusi Riemanno hipotezė?
A: Riemanno hipotezė susijusi su grynąja matematika, t. y. su matematikos rūšimi, kuri skirta mąstyti apie matematiką, o ne bandyti ją pritaikyti realiame pasaulyje.
K: Kas buvo Bernhardas Riemannas?
Atsakymas: Bernhardas Riemannas buvo XIX a. gyvenęs žmogus, kurio vardu pavadinta ši hipotezė.
Klausimas: Koks būtų rezultatas, jei kam nors pavyktų įrodyti Riemanno hipotezę?
A: Jei kas nors įrodytų Riemanno hipotezę, matematikai galėtų daugiau sužinoti apie pirminius skaičius ir kaip juos rasti.
K: Kiek pinigų buvo pasiūlyta už šios hipotezės įrodymą?
A.: Molio matematikos institutas už šios hipotezės įrodymą pasiūlė 1 000 000 JAV dolerių.
K: Ar yra tik vienas šios hipotezės atsakymas?
Atsakymas: Taip, yra tik du galimi šios hipotezės atsakymai - "taip" arba "ne".
