Pirminis skaičius

Pirminis skaičius yra tam tikros rūšies natūralusis skaičius. Bet kuris natūralusis skaičius yra lygus 1 kartai savęs paties. Jei skaičius lygus bet kurio kito skaičiaus sandaugai, tai toks skaičius vadinamas sudėtiniu skaičiumi. Mažiausias sudėtinis skaičius yra 4, nes 2 x 2 = 4. 1 nėra sudėtinis skaičius. Kiekvienas kitas skaičius yra pirminis skaičius. Pirminiai skaičiai yra skaičiai, išskyrus 1, kurie nėra lygūs m x n (išskyrus 1 x save patį). Mažiausias pirminis skaičius yra 2. Kiti pirminiai skaičiai yra 3, 5, 7, 11 ir 13. Didžiausio pirminio skaičiaus nėra.

Pirminių skaičių atsiradimo būdas yra sudėtinga problema matematikams. Kai skaičius yra didesnis, sunkiau sužinoti, ar jis yra pirminis skaičius. Vienas iš atsakymų yra pirminių skaičių teorema. Viena iš neišspręstų problemų yra Goldbacho spėjimas.

Štai dar vienas būdas galvoti apie pirminius skaičius. Skaičius 12 nėra pirminis, nes galima sudaryti stačiakampį, kurio kraštinių ilgiai yra 4 ir 3. Šio stačiakampio plotas yra 12, nes naudojami visi 12 blokų. To negalima padaryti su 11. Kad ir kaip stačiakampis būtų sudėliotas, visada liks blokų, išskyrus stačiakampį, kurio kraštinių ilgiai 11 ir 1. Todėl 11 turi būti pirminis skaičius.

Kaip rasti mažus pirminius skaičius

Yra paprastas būdas rasti pirminių skaičių sąrašą. Jį sukūrė Eratostenas. Jis pavadintas Eratosteno sietu. Jis sugauna skaičius, kurie nėra pirminiai (kaip sietas), ir praleidžia pirminius skaičius.

Metodas veikia su skaičių sąrašu ir specialiu skaičiumi, vadinamu b, kuris metodo metu kinta. Atliekant metodą, kai kurie skaičiai sąraše apvedami apskritimu, o kiti išbraukiami. Kiekvienas apvestas skaičius yra pirminis, o kiekvienas išbrauktas skaičius yra sudėtinis. Pradžioje visi skaičiai yra paprasti: neapibrėžti ir neperbraukti.

Metodas visada tas pats:

Ant popieriaus lapo užrašykite visus sveikuosius skaičius nuo 2 iki tikrinamo skaičiaus. Nerašykite skaičiaus 1. Pereikite prie kito žingsnio.
Pradėkite nuo skaičiaus b, lygaus 2. Pereikite prie kito žingsnio.
Sąraše apveskite ratuką b. Pereikite prie kito žingsnio.
Pradėdami nuo b, sąraše suskaičiuokite dar b ir tą skaičių išbraukite. Pakartokite skaičiuodami dar b skaičių ir išbraukdami skaičius iki sąrašo pabaigos. Pereikite prie kito žingsnio.

(Pavyzdžiui: Kai b yra 2, apveskite 2 ir išbraukite 4, 6, 8 ir t. t. Kai b yra 3, apvesite 3 ir išbrauksite 6, 9, 12 ir t. t. 6 ir 12 jau buvo išbraukti. Perbraukite juos dar kartą.)

Padidinkite b 1. Pereikite prie kito veiksmo.
Jei b buvo perbraukta, grįžkite prie ankstesnio veiksmo. Jei b yra neišbrauktas sąrašo numeris, pereikite prie 3 žingsnio. Jei b nėra sąraše, pereikite prie paskutinio žingsnio.
(Tai paskutinis žingsnis.) Baigta. Visi pirminiai skaičiai apvedžioti, o visi sudėtiniai skaičiai perbraukti.

Pavyzdžiui, šį metodą galite taikyti skaičių nuo 2 iki 10 sąrašui. Galiausiai skaičiai 2, 3, 5 ir 7 bus apvesti. Jie yra pirminiai skaičiai. 4, 6, 8, 9 ir 10 bus perbraukti. Tai sudėtiniai skaičiai.

Šis metodas arba algoritmas užtrunka pernelyg ilgai, kad būtų galima rasti labai didelius pirminius skaičius. Tačiau jis nėra toks sudėtingas kaip labai dideliems pirminiams skaičiams rasti naudojami metodai, pavyzdžiui, Fermat'o pirmumo testas (testas, kuriuo nustatoma, ar skaičius yra pirminis, ar ne) arba Millerio-Rabino pirmumo testas.

Kam naudojami pirminiai skaičiai

Pirminiai skaičiai labai svarbūs matematikoje ir informatikoje. Toliau pateikiama keletas realaus naudojimo pavyzdžių. Labai ilgus skaičius sunku išspręsti. Sunku rasti jų pirminius veiksnius, todėl dažniausiai šifravimui ir slaptiems kodams naudojami skaičiai, kurie tikriausiai yra pirminiai.

Dauguma žmonių turi banko kortelę, kuria naudodamiesi bankomatu gali pasiimti pinigų iš savo sąskaitos. Ši kortelė yra apsaugota slaptu prieigos kodu. Kadangi kodas turi būti slaptas, jis negali būti saugomas atviru tekstu kortelėje. Kodui slapta saugoti naudojamas šifravimas. Šifravimui naudojamos daugybos, dalybos ir didelių pirminių skaičių liekanų radimas. Praktikoje dažnai naudojamas algoritmas, vadinamas RSA. Jame naudojama kinų liekanų teorema.

Jei el. laiškas pasirašytas skaitmeniniu parašu, naudojamas šifravimas. Taip užtikrinama, kad niekas negalėtų suklastoti jų elektroninio laiško. Prieš pasirašant sukuriama pranešimo hash vertė. Tuomet ji sujungiama su skaitmeniniu parašu ir gaunamas pasirašytas pranešimas. Naudojami daugiau ar mažiau tokie patys metodai kaip ir pirmuoju pirmiau minėtu atveju.

Didžiausio iki šiol žinomo pirminio skaičiaus paieška tapo savotišku sportu. Patikrinti, ar skaičius yra pirminis, gali būti sunku, jei skaičius yra didelis. Didžiausi bet kuriuo metu žinomi pirminiai skaičiai paprastai yra Merseno pirminiai skaičiai, nes greičiausias žinomas pirmumo testas yra Lucaso-Lehmerio testas, kuris remiasi specialia Merseno skaičių forma. Grupė, kuri ieško Merseno pirminių skaičių, yra čia[1].

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra pirminis skaičius?

Atsakymas: Pirminis skaičius - tai natūralusis skaičius, kurio negalima dalyti iš jokio kito natūraliojo skaičiaus, išskyrus 1 ir jį patį.

K: Koks yra mažiausias sudėtinis skaičius?

A: Mažiausias sudėtinis skaičius yra 4, nes 2 x 2 = 4.

K: Kokie yra kiti pirminiai skaičiai po 2?

A: Po 2 einantys pirminiai skaičiai yra 3, 5, 7, 11 ir 13.

K: Ar yra didžiausias pirminis skaičius?

Atsakymas: Ne, nėra didžiausio pirminio skaičiaus. Pirminių skaičių aibė yra begalinė.

K: Ką teigia pagrindinė aritmetikos teorema?

A: Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius gali būti užrašytas kaip pirminių skaičių sandauga unikaliu būdu.

K: Kas yra Goldbacho spėjimas?

A: Goldbacho spėjimas yra neišspręsta matematikos problema, teigianti, kad kiekvienas lyginis sveikasis skaičius, didesnis už du, gali būti išreikštas kaip dviejų pirminių skaičių suma.

K: Kas užrašė įrodymą, kad nėra didžiausio pirminio skaičiaus?

A: Euklidas užrašė įrodymą, kad nėra didžiausio pirminio skaičiaus.