Tęstinumo hipotezė
Tęstinumo hipotezė - tai hipotezė, kad nėra aibės, kuri būtų ir didesnė už natūraliųjų skaičių, ir mažesnė už realiųjų skaičių aibę. Šią hipotezę 1877 m. iškėlė Georgas Kantoras.
Natūraliųjų skaičių yra be galo daug, natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas yra begalinis. Tai pasakytina ir apie realiųjų skaičių aibę, tačiau realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų. Sakome, kad natūraliųjų skaičių kardinalumas yra begalinis, o realiųjų skaičių kardinalumas yra begalinis, tačiau realiųjų skaičių kardinalumas yra didesnis už natūraliųjų skaičių kardinalumą.
Ši hipotezė yra pirmasis uždavinys iš 23 uždavinių, kuriuos 1900 m. paskelbė Davidas Hilbertas. Kurtas Gėdelis 1939 m. parodė, kad hipotezės negalima paneigti naudojant Zermelo-Fraenkelioaibių teoriją. Zermelo-Fraenkelio aibių teorija yra dažniausiai matematikoje naudojama aibių teorija. Praėjusio amžiaus septintajame dešimtmetyje Polas Koenas (Paul Cohen) parodė, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorija taip pat negalima įrodyti kontinuumo hipotezės. Už tai Cohenas buvo apdovanotas Fieldso medaliu.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra kontinuumo hipotezė?
Atsakymas: Tęstinumo hipotezė - tai hipotezė, kad nėra aibės, kuri būtų ir didesnė už natūraliųjų skaičių aibę, ir mažesnė už realiųjų skaičių aibę.
K: Kas ir kada iškėlė kontinuumo hipotezę?
A.: Georgas Kantoras 1877 m. iškėlė kontinuumo hipotezę.
K: Ar yra be galo daug natūraliųjų skaičių?
Atsakymas: Taip, natūraliųjų skaičių yra be galo daug.
K: Koks yra natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas?
Atsakymas: Natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas yra begalinis.
K: Ar realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų skaičių?
Atsakymas: Taip, realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų.
Klausimas: Ar galima falsifikuoti kontinuumo hipotezę naudojant Zermelo-Fraenkelio aibių teoriją?
A: Kurtas Gėdelis 1939 m. įrodė, kad hipotezės negalima paneigti naudojant Zermelo-Fraenkelio aibių teoriją.
K: Kas parodė, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorija negalima įrodyti kontinuumo hipotezės?
A: 1960 m. Paulas Cohenas parodė, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorija negalima įrodyti kontinuumo hipotezės.
