Kontinuumo hipotezė: apibrėžimas, istorija ir matematinė reikšmė
Kontinuumo hipotezės apibrėžimas, istorija ir matematinė reikšmė: Kantoras, Hilbertas, Gėdelis ir Koenas — išsamus paaiškinimas bei poveikis aibių teorijai.
Kontinuumo hipotezė — tai hipotezė, kad nėra aibės, kurios kardinalumas būtų didesnis už natūraliųjų skaičių kardinalumą ir tuo pačiu mažesnis už realiųjų skaičių aibę. Kitaip tariant, nėra „tarpinės“ begalinės dydžio aibės tarp natūraliųjų skaičių ir realiųjų skaičių. Šią idėją 1877 m. pirmasis suformulavo Georgas Kantoras.
Apibrėžimas ir paprastas paaiškinimas
Matematiškai kontinuumo hipotezė teigia, kad nėra kardinalinės reikšmės κ tokios, jog ℵ0 < κ < 2^{ℵ0}. Dažniausiai ją užrašo kaip 2^{ℵ0} = ℵ1 (jei ℵ1 žymi pirmąjį begalinį karinių kardinalą po ℵ0). Čia ℵ0 (aleph_0, natūralųjų skaičių kardinalumas) ir 2^{ℵ0} yra realiųjų skaičių aibės kardinalumas, dažnai vadinamas kontinuumu, pažymimu c.
Intuityviai: natūraliųjų skaičių aibė yra „begalinė“ (turi kardinalą ℵ0), realiųjų skaičių aibė taip pat yra begalinė, bet didesnė. Cantoro diaganalės argumentas įrodo, kad realiųjų skaičių negalima išvardinti taip, kaip natūraliuosius — tai reiškia |R| > |N|. Be to, realiųjų skaičių aibė turi tą pačią kardinalumą kaip visų natūraliųjų skaičių potaibių aibė P(N), todėl 2^{ℵ0} = |P(N)| = |R|.
Trumpa istorija
Georgas Kantoras 19 a. pabaigoje tyrinėjo skirtingas begalinės aibės „dydžių“ rūšis ir suformulavo kontinuumo hipotezę. Ji tapo vienu iš svarbiausių klausimų aibių teorijoje. Vėliau šį klausimą įtraukė ir Davidas Hilbertas kaip pirmąjį iš savo 23 problemas, paskelbtų 1900 m.
XX a. viduryje paaiškėjo, kad kontinuumo hipotezė nėra lengvai išsprendžiama naudojant įprastus aibių teorijos aksiomų rinkinius. 1940 m. Kurtas Gėdelis parodė, kad kontinuumo hipotezės paneigti negalima Zermelo–Fraenkelio aibių teorijoje su pasirinkimo aksioma — iš dalies parodydamas, kad hipotezė galioja konstruktyvioje visatoje L, o tai reiškia: jeigu ZFC yra nuosekli, tada ZFC + CH taip pat yra nuosekli. Originali nuoroda į aibių teoriją šiame tekste yra Zermelo-Fraenkelioaibių teoriją (Zermelo–Fraenkelio aibių teorija, dažniausiai žymima ZF arba ZFC).
1963 m. Polas Koenas (Paul Cohen) sukūrė metodą, vadinamą forcing, ir parodė, kad kontinuumo hipotezės įrodyti negalima iš ZFC aksiomų — galima sukonstruoti modelius, kuriuose CH neigia. Taigi CH yra nepriklausoma nuo ZFC: nei įrodoma, nei paneigiama, jeigu ZFC yra nuosekli. Už šiuos darbus Cohenas 1966 m. gavo Fieldso medaliu.
Matematinė reikšmė ir pasekmės
Kontinuumo hipotezės nepriklausomybė nuo ZFC reiškia, kad tradiciniai aibių teorijos aksiomos nei priverčia CH būti teisinga, nei klaidinga. Dėl to matematikai tyrinėja papildomas aksiomas (pvz., skirtingų “inner model” teorijų, didelių kardinalų aksiomų, determinacijos aksiomų), kurios gali leisti spręsti CH ir artimus klausimus arba suteikti papildomą stabilumą kardinalinei aritmetikai.
Kontinuumo hipotezės sprendimas (jei būtų įvestas kaip papildoma aksioma) turėtų pasekmių įvairioms sritims: topologijai (pvz., tam tikrų erdvių egzistencija ar separabilumo savybės), funkcijų teorijai, matuoklės teorijai, bei logikai. Todėl dalis matematikų priima CH kaip galimą papildomą aksiomą, kiti ją atmeta arba lieka neutralesni dėl filosofinių priežasčių.
Tolesni klausimai ir dabartinė padėtis
Nors CH yra nepriklausoma nuo ZFC, aibių teorijoje tęsiasi intensyvūs tyrimai: formuojamos naujos aksiomos, nagrinėjamos didžiųjų kardinalų pasekmės, tobulinamos inner model teorijos ir forcing technikos. Kai kurie mokslininkai siekia „natūralių“ aksiomų, kurios galėtų lemti vienareikšmį sprendimą dėl kontinuumo dydžio, tačiau iki šiol nėra plačiai priimto papildomo aksiomatinio sprendimo.
Santrauka: Kontinuumo hipotezė teigia, kad nėra tarpinių kardinalumų tarp natūraliųjų ir realiųjų skaičių aibių. Ji buvo suformuluota Georgo Kantoro, paskelbta kaip Hilberto problema, o XX a. viduryje Kurt Gėdelio ir Paolo Coheno darbai parodė, kad šis klausimas yra nepriklausomas nuo įprastinės Zermelo–Fraenkelio aibių teorijos su pasirinkimo aksioma (ZFC). Dėl to kontinuumo hipotezė lieka vienas iš fundamentaliausių ir įdomiausių klausimų matematinėje logikoje ir aibių teorijoje.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra kontinuumo hipotezė?
Atsakymas: Tęstinumo hipotezė - tai hipotezė, kad nėra aibės, kuri būtų ir didesnė už natūraliųjų skaičių aibę, ir mažesnė už realiųjų skaičių aibę.
K: Kas ir kada iškėlė kontinuumo hipotezę?
A.: Georgas Kantoras 1877 m. iškėlė kontinuumo hipotezę.
K: Ar yra be galo daug natūraliųjų skaičių?
Atsakymas: Taip, natūraliųjų skaičių yra be galo daug.
K: Koks yra natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas?
Atsakymas: Natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas yra begalinis.
K: Ar realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų skaičių?
Atsakymas: Taip, realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų.
Klausimas: Ar galima falsifikuoti kontinuumo hipotezę naudojant Zermelo-Fraenkelio aibių teoriją?
A: Kurtas Gėdelis 1939 m. įrodė, kad hipotezės negalima paneigti naudojant Zermelo-Fraenkelio aibių teoriją.
K: Kas parodė, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorija negalima įrodyti kontinuumo hipotezės?
A: 1960 m. Paulas Cohenas parodė, kad Zermelo-Fraenkelio aibių teorija negalima įrodyti kontinuumo hipotezės.
Ieškoti