Geometrijoje hiperkubas yra n-matmenų kvadrato (n = 2) ir kubo (n = 3) analogas. Tai uždara, kompaktiška, išgaubta figūra, kurios 1‑skeletą sudaro grupės priešingų lygiagrečių tiesių atkarpų, išdėstytų kiekviename erdvės matmenyje, statmenų viena kitai ir vienodo ilgio. Vienetinio hiperkubo ilgiausia įstrižainė n matmenų erdvėje yra lygi {\displaystyle {\sqrt {n}}}.

Apibrėžimas ir užrašymas

N‑matmenų hiperkubas dar vadinamas n‑kubu arba n‑matmenų kubu. Taip pat vartojamas terminas "matų politopas", ypač H. S. M. Coxeterio darbuose (kilęs iš Elte, 1912 m.), tačiau dabar jis jau yra mažiau paplitęs.

Hiperkūbas yra specialus hiperkvadrato (dar vadinamo n‑ortotopu) atvejis. Dažnai vienetiniu hiperkubu vadinamas hiperkubas, kurio kraštinės ilgis yra 1 ir kurio kampai (arba viršūnės) yra 2n taškų erdvėje Rn, kurių kiekviena koordinatė lygi 0 arba 1. Tokiu atveju viršūnės sudaro rinkinį {0,1}n.

Savybės ir pagrindinės formulės

  • Viršūnių skaičius: 2n.
  • Briaunų (kraštinių) skaičius: n · 2n−1. (Kiekvienas iš 2n viršūnių turi n briaunų, bet skaičiuojant kiekvieną briauną du kartus reikia dalinti iš 2.)
  • k‑išmatmeninių sienelių skaičius: C(n,k) · 2n−k, kur C(n,k) yra binominis koeficientas. Pvz., 2‑išmatmeninės kvadratinės plokštumos (2‑veidai) skaičius: C(n,2)·2n−2.
  • Hipervoliumas (n‑tasis tūris): jei kraštinės ilgis = a, tai hiper­tūris = an. Vienetinio hiperkubo tūris = 1.
  • „Paviršiaus“ (n−1)‑matmeninė apimtis: 2n · an−1. Vienetinio hiperkubo atveju (a = 1) šis dydis lygus 2n.
  • Ilgiausia įstrižainė: hiperkubo su kraštinės ilgiu a įstrižainės ilgis = a · √n. Todėl vienetinio hiperkubo ilgiausia įstrižainė = √n.
  • Inradius ir circumradius: inradius (įbrėžtoji apskritimo spindulys) = a/2; circumradius (apibrėžtoji spindulys) = (a/2)·√n. Vienetiniam hiperkubui inradius = 1/2, circumradius = √n/2.
  • Grafas: hiperkubo 1‑skeletas yra n‑reguliarus grafas su 2n viršūnių, vadinamas hiperkubiniu (angl. hypercube graph). Jo diametras = n, o viršūnių atstumas atitinka Hammingo atstumą tarp jų koordinatinių vektorių.
  • Simetrijos: hiperkubo grupė simetrijų yra hiperoctaedrinė grupė (Bn), kurios kardinalumas = 2n n!; ji apima koordinatės permutacijas ir koordinatės pakeitimus į priešingas reikšmes.
  • Dualinis poliedras: hiperkubo dualas (poliarinis) yra kryžminis poliedras (cross‑polytope), pvz., keturmatmeniniam hiperkubui (tesseract) dualas yra 16‑ląstelinė kryžinė figūra.

Pavyzdžiai ir interpretacijos

  • n = 0: 0‑matmenų hiperkubas yra vienas taškas.
  • n = 1: 1‑matmenų hiperkubas yra tiesės atkarpa.
  • n = 2: 2‑matmenų hiperkubas yra kvadratas.
  • n = 3: 3‑matmenų hiperkubas yra įprastas kubas.
  • n = 4: 4‑matmenų hiperkubas vadinamas tesseraktu (arba hiperkubu), kurį dažnai vaizduoja projekcijomis į 3 matmenis.

Taikymai ir papildoma informacija

  • Hiperkubai ir jų grafai yra plačiai naudojami informatikos teorijoje (pvz., paralelinėse architektūrose), kombinatorikoje (Hammingo erdvės), optimizacijoje ir statistikoje (vienetinių tinklų modeliai).
  • Projekcijos ir ortografinės skliautės (nets) leidžia vaizduoti aukštesnių matmenų hiperkubus plokštumoje; tesseracto projekcijos dažnai naudojamos aiškinti ketvirtą matmenį.
  • Hiperkubo dalys (hiperskaičiai) ir hiperkubo sekcijos plokštumomis ar hipersankirtomis turi sudėtingas formas ir svarstomos tiek teorinėje geometrijoje, tiek taikomuosiuose modeliuose.

Vienetinis hiperkubas — tai hiperkubas, kurio kraštinės ilgis yra vienas vienetas. Dažnai vienetinis hiperkubas apibrėžiamas kaip visų 2n taškų rinkinys Rn, kurių koordinatės yra 0 arba 1; toks užrašymas ypač patogus kombinatorinėms ir skaitmeninėms interpretacijoms.