Hiperkubas — n-matmenų kubas: apibrėžimas, savybės ir formulės

Geometrijoje hiperkubas yra n-matmenų kvadrato (n = 2) ir kubo (n = 3) analogas. Tai uždara, kompaktiška, išgaubta figūra, kurios 1‑skeletą sudaro grupės priešingų lygiagrečių tiesių atkarpų, išdėstytų kiekviename erdvės matmenyje, statmenų viena kitai ir vienodo ilgio. Vienetinio hiperkubo ilgiausia įstrižainė n matmenų erdvėje yra lygi ${\sqrt {n}}$ .

Apibrėžimas ir užrašymas

N‑matmenų hiperkubas dar vadinamas n‑kubu arba n‑matmenų kubu. Taip pat vartojamas terminas "matų politopas", ypač H. S. M. Coxeterio darbuose (kilęs iš Elte, 1912 m.), tačiau dabar jis jau yra mažiau paplitęs.

Hiperkūbas yra specialus hiperkvadrato (dar vadinamo n‑ortotopu) atvejis. Dažnai vienetiniu hiperkubu vadinamas hiperkubas, kurio kraštinės ilgis yra 1 ir kurio kampai (arba viršūnės) yra 2ⁿ taškų erdvėje Rⁿ, kurių kiekviena koordinatė lygi 0 arba 1. Tokiu atveju viršūnės sudaro rinkinį {0,1}ⁿ.

Savybės ir pagrindinės formulės

Viršūnių skaičius: 2ⁿ.
Briaunų (kraštinių) skaičius: n · 2ⁿ⁻¹. (Kiekvienas iš 2ⁿ viršūnių turi n briaunų, bet skaičiuojant kiekvieną briauną du kartus reikia dalinti iš 2.)
k‑išmatmeninių sienelių skaičius: C(n,k) · 2^n−k, kur C(n,k) yra binominis koeficientas. Pvz., 2‑išmatmeninės kvadratinės plokštumos (2‑veidai) skaičius: C(n,2)·2ⁿ⁻².
Hipervoliumas (n‑tasis tūris): jei kraštinės ilgis = a, tai hipertūris = aⁿ. Vienetinio hiperkubo tūris = 1.
„Paviršiaus“ (n−1)‑matmeninė apimtis: 2n · aⁿ⁻¹. Vienetinio hiperkubo atveju (a = 1) šis dydis lygus 2n.
Ilgiausia įstrižainė: hiperkubo su kraštinės ilgiu a įstrižainės ilgis = a · √n. Todėl vienetinio hiperkubo ilgiausia įstrižainė = √n.
Inradius ir circumradius: inradius (įbrėžtoji apskritimo spindulys) = a/2; circumradius (apibrėžtoji spindulys) = (a/2)·√n. Vienetiniam hiperkubui inradius = 1/2, circumradius = √n/2.
Grafas: hiperkubo 1‑skeletas yra n‑reguliarus grafas su 2ⁿ viršūnių, vadinamas hiperkubiniu (angl. hypercube graph). Jo diametras = n, o viršūnių atstumas atitinka Hammingo atstumą tarp jų koordinatinių vektorių.
Simetrijos: hiperkubo grupė simetrijų yra hiperoctaedrinė grupė (B_n), kurios kardinalumas = 2ⁿ n!; ji apima koordinatės permutacijas ir koordinatės pakeitimus į priešingas reikšmes.
Dualinis poliedras: hiperkubo dualas (poliarinis) yra kryžminis poliedras (cross‑polytope), pvz., keturmatmeniniam hiperkubui (tesseract) dualas yra 16‑ląstelinė kryžinė figūra.

Pavyzdžiai ir interpretacijos

n = 0: 0‑matmenų hiperkubas yra vienas taškas.
n = 1: 1‑matmenų hiperkubas yra tiesės atkarpa.
n = 2: 2‑matmenų hiperkubas yra kvadratas.
n = 3: 3‑matmenų hiperkubas yra įprastas kubas.
n = 4: 4‑matmenų hiperkubas vadinamas tesseraktu (arba hiperkubu), kurį dažnai vaizduoja projekcijomis į 3 matmenis.

Taikymai ir papildoma informacija

Hiperkubai ir jų grafai yra plačiai naudojami informatikos teorijoje (pvz., paralelinėse architektūrose), kombinatorikoje (Hammingo erdvės), optimizacijoje ir statistikoje (vienetinių tinklų modeliai).
Projekcijos ir ortografinės skliautės (nets) leidžia vaizduoti aukštesnių matmenų hiperkubus plokštumoje; tesseracto projekcijos dažnai naudojamos aiškinti ketvirtą matmenį.
Hiperkubo dalys (hiperskaičiai) ir hiperkubo sekcijos plokštumomis ar hipersankirtomis turi sudėtingas formas ir svarstomos tiek teorinėje geometrijoje, tiek taikomuosiuose modeliuose.

Vienetinis hiperkubas — tai hiperkubas, kurio kraštinės ilgis yra vienas vienetas. Dažnai vienetinis hiperkubas apibrėžiamas kaip visų 2ⁿ taškų rinkinys Rⁿ, kurių koordinatės yra 0 arba 1; toks užrašymas ypač patogus kombinatorinėms ir skaitmeninėms interpretacijoms.

Statyba

Hiperkubą galima apibrėžti didinant figūros matmenų skaičių:

0 - Taškas yra nulinio matmens hiperkubas.

1 - Jei šį tašką perkelsime vieną vienetą ilgio, jis nusidrieks tiesės atkarpą, kuri yra vienetinis vieneto matmens hiperkubas.

2 - Jei šią tiesės atkarpą perkelsime jos ilgiu statmena kryptimi nuo jos pačios, ji sudarys dvimatį kvadratą.

3 - Jei kvadratą perkelsime vienu ilgio vienetu kryptimi, statmena plokštumai, kurioje jis guli, susidarys trimatis kubas.

4 - Perkėlus kubą vienu vienetu ilgio į ketvirtąjį matmenį, susidaro keturmatis vienetinis hiperkubas (vienetinis teseraktas).

Tai galima apibendrinti bet kokiam matmenų skaičiui. Šį tūrių išplėtimo procesą galima matematiškai įforminti kaip Minkovskio sumą: d matmenų hiperkubas yra d tarpusavyje statmenų vieneto ilgio linijų atkarpų Minkovskio suma, todėl jis yra zonotopo pavyzdys.

Hiperkubo 1-skeletonas yra hiperkubo grafas.

Schema, kurioje parodyta, kaip iš taško sukurti teseraktą.

Animacija, rodanti, kaip iš taško sukurti teseraktą.

Susiję puslapiai

Simpleksas - n-matmenų trikampio analogas
Hipertiesiakampis - bendrasis hiperkubo atvejis, kai pagrindas yra stačiakampis.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra hiperkubas?

Atsakymas: Hiperkubas yra n-matmenų kvadrato (n = 2) ir kubo (n = 3) analogas. Tai uždara, kompaktiška, išgaubta figūra, kurios 1-skeletą sudaro grupės priešingų lygiagrečių tiesių atkarpų, išdėstytų kiekviename erdvės matmenyje, statmenų viena kitai ir vienodo ilgio.

Klausimas: Kokia yra ilgiausia n-matmenų hiperkubo įstrižainė?

A: Ilgiausia n-matmenų hiperkubo įstrižainė yra lygi n {\displaystyle {\sqrt {n}}.

K: Ar yra kitas n-matmenų hiperkubo terminas?

Atsakymas: n-matmenų hiperkubas dar vadinamas n-kubu arba n-matmenų kubu. Taip pat buvo vartojamas terminas "matų daugiakampio", bet dabar jis jau yra pakeistas.

K: Ką reiškia "vienetinis hiperkubas"?

A: Vienetinis hiperkubas - tai hiperkubas, kurio kraštinės ilgis yra vienas vienetas. Dažnai vienetinis hiperkubas reiškia konkretų atvejį, kai visų kampų koordinatės lygios 0 arba 1.

K: Kaip galime apibrėžti "hiperkampą"?

Atsakymas: Hiperkvadratas (dar vadinamas n-ortotopu) apibrėžiamas kaip bendrasis hiperkubo atvejis.