Sinuso dėsnis (dar vadinamas sinų taisykle) yra viena iš pagrindinių trigonometrinių teoremų skirtų trikampiams. Ji teigia, kad bet kuriame trikampyje su kraštinėmis a, b, c ir prieš jas esančiais kampais A, B, C galioja proporcija:

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}},=\,{\frac {b}{\sin B}}},=\,{\frac {c}{\sin C}}},=\,D\! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Lygties ekvivalentas užrašymas yra

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}},=\,{\frac {\sin B}{b}},=\,{\frac {\sin C}{c}}}! } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D žymi trikampio aprašančio apskritimo skersmenį (dažniau rašoma kaip 2R, kur R – aprašytojo apskritimo spindulys). Taigi dažniau sutinkama formulė:

  • a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.

Praktinis panaudojimas

Sinuso dėsnį naudojame, kai reikia rasti žinomų trikampio elementų pagrindu trūkstamus kampus ar kraštines. Dažniausi atvejai:

  • Du kampai ir viena kraštinė (A, B ir a žinomi) → randama kita kraštinė: b = a · sin B / sin A.
  • Dvi kraštinės ir kampas, nesusijęs su tomis kraštinėmis (SSA) → gali būti 0, 1 arba 2 sprendiniai (dviprasmiškas atvejis, žemiau aprašyta išsamiau).
  • Naudojama trianguliacijoje: geodezijoje, navigacijoje, astronomijoje ir kitose srityse, kur reikia nustatyti atstumus ar kampus pasitelkus kampinius matavimus.

Dviprasmiškas atvejis (SSA)

Jei žinomos dvi kraštinės ir kampas, kuris yra prieš vieną iš tų kraštinių (SSA), sinuso dėsnis gali duoti du skirtingus trikampius. Įvertinimui dažnai skaičiuojama šitaip:

  • Tarkime žinomi a (kraštinė prieš A), b (kita kraštinė) ir kampas A. Apskaičiuokite aukštį h = b · sin A.
  • Sprendimo skaičius priklauso nuo a ir h:
    • Jei a < h → jokių trikampių (nėra sprendinio).
    • Jei a = h → vienas statmenas trikampis (vienas sprendinys).
    • Jei h < a < b → du skirtingi trikampiai (dviprasmiškas atvejis): kampas B gali būti arba arcsin(a·sinA/b) arba 180° − arcsin(...).
    • Jei a ≥ b → vienas trikampis (vienas sprendinys).

Skaitinis jautrumas

Sprendžiant kampus pagal sinuso dėsnį reikia naudoti funkciją arcsin. Jos nuolydis d(arcsin x)/dx = 1/√(1−x^2) tampa didelis, kai x artėja prie ±1, t. y. kai sinθ artėja prie 1 arba −1 (kampas artimas 90° arba 270°). Todėl:

  • kai kampas, kurį skaičiuojame, yra arti 90°, mažos matavimo ar apvalinimo klaidos sinuso reikšmėje gali sukelti didelę paklaidą apskaičiuotame kampe;
  • dėl to praktikoje, kai kampai artimi 90° arba kai SSA atveju kyla dviprasmybė, verta patikrinti sprendinį papildomai arba naudoti kitus metodus (pvz., kosinuso dėsnį arba tiesioginius vektorių metodus).

Įrodymo užuomazga

Vienas paprastas įrodymas remiasi trikampio aprašyto apskritimo savybėmis: lanku paimto kampo (centrinio arba išorinės dalies) ryšiai su sinusu leidžia parodyti, kad a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Iš čia seka a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.

Pavyzdys

Tarkime A = 30°, a = 10, B = 45°. Norime rasti b:

  • sin A = sin 30° = 0,5;
  • sin B = sin 45° ≈ 0,7071;
  • todėl b = a · sin B / sin A = 10 · 0,7071 / 0,5 ≈ 14,142.

Kada naudoti kosinuso dėsnį

Kosinuso dėsnis (c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C) labiau tinka, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų (SAS), arba kai reikia rasti kampą, jeigu žinomos visos trys kraštinės (SSS). Sinuso dėsnis geriausias, kai žinomi kampas ir prieš jį esanti kraštinė arba kai žinomi du kampai (tuomet trečias kampas randamas iš kampų sumos 180°).

Santrauka

  • Sinuso dėsnis: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
  • Naudojamas, kai žinomi du kampai ir kraštinė arba dvi kraštinės ir kampas prieš vieną jų (SSA), bet SSA gali būti dviprasmiškas.
  • Praktikoje verta atkreipti dėmesį į skaitinį jautrumą, ypač kai arcsin argumentas artėja prie ±1.

Sinuso dėsnis yra viena iš dviejų pagrindinių trigonometrinių lygties, naudojamų kampams ir kraštinėms skaliniuose trikampiuose nustatyti; kita — kosinuso dėsnis.