Sinuso dėsnis (sinų taisyklė) — formulė, taikymai ir dviprasmiškumas
Išsamus Sinuso dėsnis: formulė, taikymai trianguliacijoje, skaičiavimo klaidos ir dviprasmiškumas — supraskite, kaip rasti trikampio kraštines ir kampus.
Sinuso dėsnis (dar vadinamas sinų taisykle) yra viena iš pagrindinių trigonometrinių teoremų skirtų trikampiams. Ji teigia, kad bet kuriame trikampyje su kraštinėmis a, b, c ir prieš jas esančiais kampais A, B, C galioja proporcija:
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}},=\,{\frac {b}{\sin B}}},=\,{\frac {c}{\sin C}}},=\,D\! } 
Lygties ekvivalentas užrašymas yra
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}},=\,{\frac {\sin B}{b}},=\,{\frac {\sin C}{c}}}! } 
D žymi trikampio aprašančio apskritimo skersmenį (dažniau rašoma kaip 2R, kur R – aprašytojo apskritimo spindulys). Taigi dažniau sutinkama formulė:
- a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
Praktinis panaudojimas
Sinuso dėsnį naudojame, kai reikia rasti žinomų trikampio elementų pagrindu trūkstamus kampus ar kraštines. Dažniausi atvejai:
- Du kampai ir viena kraštinė (A, B ir a žinomi) → randama kita kraštinė: b = a · sin B / sin A.
- Dvi kraštinės ir kampas, nesusijęs su tomis kraštinėmis (SSA) → gali būti 0, 1 arba 2 sprendiniai (dviprasmiškas atvejis, žemiau aprašyta išsamiau).
- Naudojama trianguliacijoje: geodezijoje, navigacijoje, astronomijoje ir kitose srityse, kur reikia nustatyti atstumus ar kampus pasitelkus kampinius matavimus.
Dviprasmiškas atvejis (SSA)
Jei žinomos dvi kraštinės ir kampas, kuris yra prieš vieną iš tų kraštinių (SSA), sinuso dėsnis gali duoti du skirtingus trikampius. Įvertinimui dažnai skaičiuojama šitaip:
- Tarkime žinomi a (kraštinė prieš A), b (kita kraštinė) ir kampas A. Apskaičiuokite aukštį h = b · sin A.
- Sprendimo skaičius priklauso nuo a ir h:
- Jei a < h → jokių trikampių (nėra sprendinio).
- Jei a = h → vienas statmenas trikampis (vienas sprendinys).
- Jei h < a < b → du skirtingi trikampiai (dviprasmiškas atvejis): kampas B gali būti arba arcsin(a·sinA/b) arba 180° − arcsin(...).
- Jei a ≥ b → vienas trikampis (vienas sprendinys).
Skaitinis jautrumas
Sprendžiant kampus pagal sinuso dėsnį reikia naudoti funkciją arcsin. Jos nuolydis d(arcsin x)/dx = 1/√(1−x^2) tampa didelis, kai x artėja prie ±1, t. y. kai sinθ artėja prie 1 arba −1 (kampas artimas 90° arba 270°). Todėl:
- kai kampas, kurį skaičiuojame, yra arti 90°, mažos matavimo ar apvalinimo klaidos sinuso reikšmėje gali sukelti didelę paklaidą apskaičiuotame kampe;
- dėl to praktikoje, kai kampai artimi 90° arba kai SSA atveju kyla dviprasmybė, verta patikrinti sprendinį papildomai arba naudoti kitus metodus (pvz., kosinuso dėsnį arba tiesioginius vektorių metodus).
Įrodymo užuomazga
Vienas paprastas įrodymas remiasi trikampio aprašyto apskritimo savybėmis: lanku paimto kampo (centrinio arba išorinės dalies) ryšiai su sinusu leidžia parodyti, kad a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Iš čia seka a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Pavyzdys
Tarkime A = 30°, a = 10, B = 45°. Norime rasti b:
- sin A = sin 30° = 0,5;
- sin B = sin 45° ≈ 0,7071;
- todėl b = a · sin B / sin A = 10 · 0,7071 / 0,5 ≈ 14,142.
Kada naudoti kosinuso dėsnį
Kosinuso dėsnis (c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C) labiau tinka, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų (SAS), arba kai reikia rasti kampą, jeigu žinomos visos trys kraštinės (SSS). Sinuso dėsnis geriausias, kai žinomi kampas ir prieš jį esanti kraštinė arba kai žinomi du kampai (tuomet trečias kampas randamas iš kampų sumos 180°).
Santrauka
- Sinuso dėsnis: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
- Naudojamas, kai žinomi du kampai ir kraštinė arba dvi kraštinės ir kampas prieš vieną jų (SSA), bet SSA gali būti dviprasmiškas.
- Praktikoje verta atkreipti dėmesį į skaitinį jautrumą, ypač kai arcsin argumentas artėja prie ±1.
Sinuso dėsnis yra viena iš dviejų pagrindinių trigonometrinių lygties, naudojamų kampams ir kraštinėms skaliniuose trikampiuose nustatyti; kita — kosinuso dėsnis.
Trikampis, pažymėtas raidėmis, reikalingomis šiam paaiškinimui. A, B ir C yra kampai. a - kraštinė, esanti priešais A . b - kraštinė, esanti priešais B . c - kraštinė, esanti priešais C.
Įrodymas
Bet kurio trikampio plotą T {\displaystyle T}
galima užrašyti kaip pusę jo pagrindo padaugintą iš jo aukščio (skaičiuojant nuo viršūnės, esančios ne pagrinde). Priklausomai nuo to, kurią pusę pasirinksime kaip pagrindą, plotas gali būti išreikštas taip
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Padauginę juos iš 2 / a b c {\displaystyle 2/abc} 
gauname
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}},. } 
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra mėlynasis įstatymas?
A: Sinuso dėsnis, dar vadinamas sinuso dėsniu, yra matematinė teorema, kuri teigia, kad jei turite tokį trikampį, koks pavaizduotas paveikslėlyje, lygtis yra teisinga.
K: Ką sako ši lygtis?
A: Ši lygtis sako, kad kiekvienos kraštinės ilgio ir priešingo kampo sinuso santykis yra lygus.
K: Kaip jis naudojamas?
A: Sinuso dėsnį galima naudoti likusioms trikampio kraštinėms rasti, kai žinote du kampus ir vieną kraštinę. Jį taip pat galima naudoti, kai žinote dvi kraštines ir vieną kampą, kurio abi kraštinės nesudaro.
K: Kas atsitinka dviprasmišku atveju?
A: Kai kuriais atvejais formulėje pateikiamos dvi galimos įtraukto kampo vertės. Tai vadinama dviprasmišku atveju.
Klausimas: Kaip ji palyginama su kitomis trigonometrinėmis lygtimis?
A: Sinuso dėsnis yra viena iš dviejų trigonometrinių lygčių, naudojamų ilgiams ir kampams skaleniniuose trikampiuose rasti. Kitas yra kosinuso dėsnis.
K: Kokia yra D reikšmė? A: D yra lygus trikampio perimetro skersmeniui.
Ieškoti