Niutono metodas
Niutono metodu galima rasti realiuosius funkcijos nulius. Šis algoritmas kartais vadinamas Niutono-Rafsono metodu, pavadintu sero Izaoko Niutono ir Džozefo Rafsono garbei.
Šis metodas naudoja funkcijos išvestinę, kad rastų jos šaknis. Reikia nustatyti pradinę nulinės vietos "spėjamąją vertę". Iš šios vertės pagal šią formulę apskaičiuojamas naujas spėjimas:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}} 
Čia xn yra pradinis spėjimas, o xn+1 - kitas spėjimas. Funkcija f (kurios nulį ieškome) turi išvestinę f'.
Pakartotinai taikant šią formulę sugeneruotiems spėjimams (t. y. nustatant xn reikšmę kaip formulės išvestį ir iš naujo skaičiuojant), spėjimų reikšmė priartės prie funkcijos nulio.
Niutono metodą galima paaiškinti grafiškai, nagrinėjant liestinių susikirtimus su x ašimi. Pirmiausia apskaičiuojama tiesė, liečianti f tiesę xn. Tada randama šios liestinės ir x ašies sankirta. Galiausiai šios sankirtos vieta x įrašoma kaip kitas spėjimas xn+1.
Funkcija (mėlyna) naudojama liestinės (raudona) tiesės (xn) nuolydžiui apskaičiuoti.
Niutono metodo problemos
Niutono metodu galima greitai rasti sprendinį, jei spėjamoji vertė prasideda pakankamai arti norimos šaknies. Tačiau kai pradinė spėjimo reikšmė nėra arti, priklausomai nuo funkcijos, Niutono metodas gali rasti atsakymą lėtai arba iš viso nerasti atsakymo.
Tolesnis skaitymas
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Niutono metodas: Kantorovičiaus teorijos atnaujintas požiūris. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Antrasis spausdintas leidimas. Serija Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Istorinė Niutono ir panašių į Niutoną metodų konvergencijos analizės raida". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (red.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century (Skaitmeninė analizė : istorinė raida XX amžiuje). North-Holland. p. 241-263.
Taip pat žr.
- Kantorovičiaus teorema (Leonido Kantorovičiaus teiginys apie Niutono metodo konvergavimą)
| Valdžios institucijų kontrolė |
|
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Niutono metodas?
A: Niutono metodas - tai algoritmas, skirtas rasti realiuosius funkcijos nulius. Jis naudoja funkcijos išvestinę jos šaknims apskaičiuoti ir reikalauja pradinės nulinės vietos spėjamosios vertės.
K: Kas sukūrė šį metodą?
A: Šį metodą sukūrė seras Izaokas Niutonas ir Džozefas Rafsonas, todėl kartais jis vadinamas Niutono-Rafsono metodu.
K: Kaip veikia šis algoritmas?
A: Šis algoritmas veikia pakartotinai taikant formulę, pagal kurią imama pradinė spėjamoji vertė (xn) ir apskaičiuojama nauja spėjamoji vertė (xn+1). Kartojant šį procesą, spėjimai artėja prie funkcijos nulio.
Klausimas: Ko reikia, norint naudoti šį algoritmą?
A: Norėdami naudoti šį algoritmą, turite turėti pradinę "spėjamąją vertę" nulio vietai nustatyti ir žinių apie duotosios funkcijos išvestinę.
K: Kaip Niutono metodą paaiškinti grafiškai?
A: Niutono metodą galime paaiškinti grafiškai, žiūrėdami į liestinių linijų susikirtimus su x ašimi. Pirmiausia apskaičiuojama tiesė, liečianti f tiesę xn. Tada surandame šios liestinės tiesės susikirtimą su x ašimi ir užrašome jos x padėtį kaip kitą spėjimą - xn+1.
Klausimas: Ar yra kokių nors apribojimų naudojant Niutono metodą?
A: Taip, jei pradinė spėjimo reikšmė yra per daug nutolusi nuo tikrosios šaknies, gali prireikti daugiau laiko arba net nepavykti konverguoti į šaknį dėl svyravimų aplink ją arba nutolimo nuo jos.
