Poincaré hipotezė
Poinkarė hipotezė - tai klausimas apie sferas matematikoje. Ji pavadinta prancūzų matematiko ir fiziko Henri Poincaré, kuris ją suformulavo 1904 m., vardu.
Sfera (dar vadinama 2 sfera, nes tai yra dvimatis paviršius, nors paprastai ji laikoma trimatės erdvės vidumi) turi savybę, kad bet kurią jos kilpą galima sutraukti į tašką (jei aplink sferą apvyniojame gumą, ją galima nuslinkti iki taško). Matematikai sako, kad 2 sfera yra paprastai sujungta. Kitoms erdvėms ši savybė nebūdinga, pavyzdžiui, donatui: vieną kartą visą donatą apjuosusios gumytės negalima nuslinkti žemyn iki taško, jai nepaliekant paviršiaus.
Matematikai žinojo, kad ši savybė būdinga tik 2 sferai, nes bet kuri kita paprastai sujungta erdvė, neturinti briaunų ir pakankamai maža (matematikų terminais tariant, kompaktiška), iš tikrųjų yra 2 sfera. Tačiau tai nebėra tiesa, jei pašalinsime mažumo idėją, nes be galo didelė plokštuma taip pat yra paprastai sujungta. Be to, taisyklingasis diskas (apskritimas ir jo vidus) yra paprastai sujungtas, tačiau jis turi kraštinę (ribinį apskritimą).
Spėjime klausiama, ar tas pats pasakytina ir apie 3 sferą, kuri yra natūraliai keturių matmenų objektas. Šis klausimas paskatino daugelį šiuolaikinės matematikos, ypač topologijos, sričių. Šį klausimą 2002 m. galutinai išsprendė rusų matematikas Grigorijus Perelmanas, naudodamasis geometrijos metodais ir parodydamas, kad jis iš tiesų yra teisingas. Už savo darbą jis buvo apdovanotas Fieldso medaliu ir 1 mln. dolerių Tūkstantmečio premija, tačiau abiejų šių premijų jis atsisakė.
Poincare'o hipotezę taip pat galima išplėsti į didesnius matmenis: tai yra apibendrinta Poincare'o hipotezė. Keista, bet šį faktą buvo lengviau įrodyti didesnių matmenų sferoms: 1960 m. Smale'as įrodė, kad jis teisingas 5, 6 ir didesnių matmenų sferoms. 1982 m. Freedmanas įrodė, kad šis teiginys teisingas ir 4 sferai, už ką jam buvo įteiktas Fieldso medalis.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Poincaré spėjimas?
A: Poincaré hipotezė - tai klausimas apie sferas matematikoje, pavadintas Henri Poincaré vardu, kuriuo klausiama, ar tam tikros 2 sferos savybės tinka ir 3 sferai.
Klausimas: Kokia savybe pasižymi 2 sfera?
Atsakymas: 2-sfera turi savybę, kad bet kurią jos kilpą galima sutraukti į tašką.
Klausimas: Ar ši savybė būdinga tik 2-sferai?
Atsakymas: Ši savybė būdinga tik 2-sferai, kalbant apie mažas erdves, kurios neturi briaunų. Tačiau be galo didelė plokštuma ir taisyklingasis diskas (apskritimas ir jo vidus) yra paprastai sujungti, tačiau jie turi briaunas.
Klausimas: Kas įrodė, kad tai teisinga didesnių matmenų sferoms?
A: 1960 m. Smale'as įrodė, kad tai teisinga 5, 6 ir didesnėms sferoms, o 1982 m. Freedmanas įrodė, kad tai teisinga ir 4 matmenų sferoms.
K: Kas išsprendė Poincaré hipotezę?
A: Poincaré spėjimą išsprendė rusų matematikas Grigorijus Perelmanas, kuris, naudodamasis geometrijos metodais, įrodė, kad spėjimas iš tikrųjų yra teisingas.
K: Kokius apdovanojimus už savo darbą gavo Perelmanas?
A: Už darbą sprendžiant Poinkarė hipotezę Perelmanas gavo Fieldso medalį ir 1 mln. dolerių Tūkstantmečio premiją, tačiau abiejų apdovanojimų atsisakė.
