Poincaré hipotezė: apibrėžimas, istorija ir Perelmano įrodymas

Poincaré hipotezė: aiškus apibrėžimas, istorija ir Grigorijaus Perelmano įrodymas — nuo topologijos pagrindų iki mokslo intrigos ir premijų atsisakymo.

Poincaré hipotezė – tai klausimas apie sferas matematikoje. Ji pavadinta prancūzų matematiko ir fiziko Henri Poincaré vardu, kuris ją suformulavo 1904 m.

Apibrėžimas

Paprastai sujungtos (liet. simply connected) erdvės savybė reiškia, kad bet kurią uždarą kilpą toje erdvėje galima nuolat susitraukti iki taško, nepertraukiamai judinant ją erdvėje. Tai intuityviai reiškia – kilpa neturi „pririšimo“ prie kokios nors skylės ar kitos kliūties.

2 sfera (S²) yra dvimatė paviršiaus forma – jos paviršius yra dvimatis, nors ją dažnai vaizduojame kaip rutulį trimatėje erdvėje. S² turi savybę, kad bet kurią jos kilpą galima susitraukti iki taško, t. y. ji yra paprastai sujungta. Priešingai, donato (toro) paviršius nėra paprastai sujungtas: kilpa, apjuosianti skylę, jos negalima nuslinkti iki taško, neišardant paviršiaus.

Poincaré hipotezė klausia, ar tas pats teiginys galioja ir trimatėms uždaroms erdvėms be ribų (t. y. uždaroms, kompaktiškoms tridimensinėms manifoldėms). Formaliau: ar kiekviena uždara tridimensinė manifoldė, kuri yra paprastai sujungta (turi trivialią pirmąją fundamentalinę grupę), yra homeomorfiška 3 sferai (S³)? 3 sfera S³ yra trijų dimensijų paviršius, esantis keturių matmenų erdvėje (pvz., vienetinio atstumo nuo pradinio taško rinkinys R⁴).

Istorija ir kontekstas

Poincaré pirmasis uždavė šį klausimą, bet tuo pačiu jis ir parodė, kad vien tik homologijų (homology) informacija nevisada yra pakankama – jis sukūrė pirmąjį pavyzdį, vadinamą Poincaré homology sphere, kuris turi tokią pat homologijų grupių struktūrą kaip S³, bet ne yra homeomorfiškas S³. Tai paskatino perorientuoti klausimą į fundamentalinę grupę (kilpų grupę) ir suformuluoti žinomą hipotezę.

Šis klausimas skatino didelę dalį šiuolaikinės topologijos ir 3-dimensionalios geometrinės teorijos vystymosi. Netiesiogiai tai susiję su William Thurston suformuluota geometrijos (geometrizacijos) konjektūra, kuri siūlė platų klasifikavimo planą uždaroms 3-manifoldėms.

Įrodymai didesnėms dimensijoms

Poincaré hipotezė gali būti suformuluota ir aukštesnėms dimensijoms (vadinama apibendrinta Poincaré hipoteze). Netikėtai, aukštesnėms nei 3 dimensijoms problema pasirodė lengviau valdoma:

• 1960–1970 m. Stephen Smale (ir toliau vystant darbą) įrodė hipotezę aukštesnėms dimensijoms, ypač taikydamas h-kobordizmo teoremą ir kitus diferencialinės topologijos metodus; konkrečiai, jis parodė teisingumą pakankamai aukštoms dimensijoms (dažnai minimos dim > 4 situacijos).
• 1982 m. Michael Freedman įrodė 4-dimensinį atvejį topologinėje kategorijoje (už šį darbą jis buvo pagerbtas Fieldso medaliu), taip užbaigdamas apibendrintos hipotezės sprendimą visoms aukštesnėms nei 3 dimensijoms sferoms.

Hamiltono programa ir Perelmano įrodymas

Rimtas proveržis įvyko dėka Richard Hamiltono, kuris 1980–aisiais įvedė Ricci srautą (Ricci flow) – evoliucinę diferencialinių lygčių sistemą, skirtą „lyginti“ metrikas ant manifoldės, analogišką šilumos laidumo lygtims. Hamilton pasiūlė programą, kaip panaudojant Ricci srautą ir tam tikrus „operacinius“ metodus (surgery), galima klasifikuoti tridimensines manifoldes ir taip įrodyti Poincaré hipotezę.

2002–2003 m. rusų matematikas Grigorijus Perelmanas paskelbė seriją straipsnių (išsiuntė juos internete), kuriuose pateikė ryškų Hamiltono programos užbaigimą. Perelmanas:

• pateikė entropijos formulę Ricci srautui ir rodė jo monotoniškumą;
• tyrė singuliarumų tipą ir parodė, kaip juos kontroliuoti ir saugiai „operuoti“ (Ricci flow with surgery);
• iš to sekė Thurston geometrijos (geometrizacijos) konjektūros išsprendimas uždaroms 3-manifoldėms, o kartu ir Poincaré hipotezės teisingumas.

Perelmano darbai sulaukė intensyvaus patikrinimo iš matematikų bendruomenės. Kelios grupės parengė išsamius patikslinimus ir išvedžius Perelmano argumentus (tarp jų — John Morgan ir Gang Tian, Bruce Kleiner ir John Lott, taip pat Cao ir Zhu pateikė paaiškinimus). Po kruopštaus tikrinimo konsensusas buvo, kad Perelmano metodai yra teisingi ir Poincaré hipotezė iš tiesų įrodyta.

Pripažinimas ir atmetimas

Už savo darbą Perelmanui buvo pasiūlytas Fieldso medalis (2006 m.) ir 1 mln. dolerių Tūkstantmečio prizas (Millennium Prize) iš Clay Mathematics Institute (2010 m.), tačiau jis abu šiuos apdovanojimus atsisakė priimti. Perelmanas taip pat gavo plačiai pripažinimą iš matematikų bendruomenės už sėkmingą Hamiltono programos užbaigimą ir geometrijos problemų sprendimą, bet pats liko gana izoliavęsis nuo viešo akademinio gyvenimo.

Svarba ir pasekmės

Perelmano įrodymas turi didelę reikšmę matematikoje: jis užbaigė vieną iš seniausių ir garsiausių topologijos problemų, parodė, kaip geometriniai ir analitiniai metodai (Ricci srautas) gali būti panaudoti topologiniams klasifikavimo uždaviniams, ir įkvėpė tolesnius tyrimus 3-dimensinėje geometrijoje bei evoliucinėse lygtimis grįstose metodikose.

Trumpai:

• Poincaré hipotezė: kiekviena uždara, kompaktiška, paprastai sujungta tridimensinė manifoldė be ribų yra homeomorfiška 3 sferai S³.
• Ji buvo galutinai įrodyta Grigorijaus Perelmano (2002–2003 m.), naudojant Ricci srautą ir Hamiltono programos idėjas.
• Apibendrinta hipotezė aukštesnėms dimensijoms buvo išspręsta anksčiau: Smale ir kiti 5+ dimensijoms, Freedman – 4 dimensijai.

Ši istorija yra pavyzdys, kaip fundamentali teorinė problema gali skatinti naujų metodų kūrimą ir kryžminį sąveikavimą tarp analizės, diferencinės geometrijos ir topologijos.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Poincaré spėjimas?

Klausimas: Kokia savybe pasižymi 2 sfera?

Klausimas: Ar ši savybė būdinga tik 2-sferai?

Klausimas: Kas įrodė, kad tai teisinga didesnių matmenų sferoms?

K: Kas išsprendė Poincaré hipotezę?

K: Kokius apdovanojimus už savo darbą gavo Perelmanas?

Paieška pagal raidę