Tikimybė yra taikomosios matematikos dalis, kuri padeda aprašyti ir kiekybiškai įvertinti atsitiktinius reiškinius — t. y. tokius įvykius, kurie gali įvykti arba neįvykti. Tikimybės teorija naudojama statistikoje, fizikoje, informatikos moksle, inžinerijoje, ekonomikoje ir kasdienėse situacijose, kur reikia vertinti neapibrėžtumą.

Kas yra įvykis ir kaip matuojama tikimybė?

Įvykis — tai bet koks stebėjimo rezultatas ar rezultatų rinkinys, apie kurį galime kalbėti. Tikimybė priskiria įvykiui skaičių, žymimą P(E), kuris parodo, kiek realistiška, kad tas įvykis įvyks.

Įvykio tikimybė (p) visada yra nuo nulio (neįmanoma) iki vieneto (neabejotina).

Klasiškasis ir dažninis tikimybių aiškinimas

  • Klasiškasis (Laplaso) apibrėžimas: jei visi įmanomi rezultatai yra lygiai tikėtini, tada P(E) = (palankių rezultatų skaičius) / (viso galimų rezultatų skaičius). Tai dažniausiai taikoma žaidimų su kauliukais, kortomis ar moneta pavyzdžiams.
  • Dažninis (empirinis) aiškinimas: tikimybė apibrėžiama kaip įvykio dažnio santykis ilgalaikiu stebėjimu: P(E) ≈ (įvykio skaičius) / (bandymų skaičius), kai bandymų skaičius eina į begalybę.
  • Aksiominė (Kolmogorovo) teorija: tikimybės apibrėžiamos griežtomis aksiomomis, kurios leidžia dirbti su sudėtingesnėmis erdvėmis ir įvykiais.

Paprasti pavyzdžiai

Pavyzdžiui, mes galime suvokti monetos metimą: jei monetą išmesite į orą ir leisite jai nusileisti, daugeliu atvejų pusę laiko ji parodys vieną pusę, o pusė laiko — kitą. Ant daugelio monetų vienoje pusėje pavaizduotas žmogaus veidas, vadinamas „galva“, o kitoje — „uodega“. Jei moneta sąžininga, P(galva) = 1/2 ir P(uodega) = 1/2.

Jei metame kauliuką (daugiskaita: kauliukai), ant kurio yra šeši vienodai tikėtini skaičiai 1–6, klasiškasis skaičiavimas duoda: P(kristi 1) = 1/6, P(kristi 2) = 1/6 ir pan. Tikimybė, kad kris bet kuris skaičius tarp 1 ir 6, yra 1, nes tai apima visus galimus rezultatus.

Tikimybę galima nustatyti pasitelkiant matematiką. Kartais reikalingi sudėtingesni skaičiavimai, pavyzdžiui, skaičiuojant tikimybę, kad keli kauliukai duos tam tikrą sumą ar kad keli įvykiai įvyks vienu metu.

Nepriklausomi įvykiai ir daugyba

Jei du įvykiai yra nepriklausomi (vieno įvykio rezultatas nekeičia kito tikimybės), tuomet tikimybė, kad įvyks abu įvykiai kartu, yra jų tikimybių sandauga:

  • P(A ir B) = P(A) × P(B), jei A ir B yra nepriklausomi.

Pavyzdys: norint sužinoti tikimybę, kad metant du kauliukus gausime 3 ir 5 (vienas kauliukas rodo 3, kitas — 5), kiekvieno kauliuko tikimybė duoti konkrečią vertę yra 1/6, tad kartu P = 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 0,027777.... Jei metate tris kauliukus ir norite gauti konkrečią kombinaciją (pvz., 3, tada 5, tada 2), P = (1/6)^3 = 1/216 ≈ 0,0046296.

Sudėtis, komplementas ir priklausomi įvykiai

  • Sudėtis (A arba B): P(A arba B) = P(A) + P(B) − P(A ir B). Jeigu A ir B yra disjunktiniai (negalimi kartu), taikoma paprastesnė formulė P(A arba B) = P(A) + P(B).
  • Komplementas: P(ne A) = 1 − P(A). Tai naudinga, kai paprasčiau suskaičiuoti, kokia tikimybė, kad įvykis neįvyks.
  • Priklausomi įvykiai ir sąlyginė tikimybė: jei įvykių rezultatai priklauso vienas nuo kito, tuomet naudojama sąlyginė tikimybė P(A | B) — tikimybė įvykio A, esant žinomam, kad įvyko B, ir tais atvejais P(A ir B) = P(B) × P(A | B).

Praktiniai patarimai skaičiuojant tikimybes

  • Nustatykite visų galimų vienodai tikėtinų rezultatų skaičių (t. y. imties erdvę).
  • Suskaičiuokite palankių rezultatų skaičių įvykiui, kurio tikimybę norite rasti.
  • Jei įvykiai nepriklausomi, dauginkite jų tikimybes; jei reikalinga „ar“ operacija, naudokite sudėties taisyklę.
  • Sudėtingesnėms užduotims (pvz., keli kauliukai ir skaičių sumos) gali prireikti kombinatorikos (derinių, kombinacijų skaičiavimo) arba kompiuterinio modeliavimosi (simuliacijų).

Trumpi pavyzdžiai

  • Monetos metimas: P(galva) = 1/2.
  • Vientisas kauliukas: P(skaičius 4) = 1/6.
  • Du nepriklausomi kauliukai: P(3 ant pirmojo ir 5 ant antro) = 1/36.
  • Komplementas: P(ne 4 ant vieno kauliuko) = 1 − 1/6 = 5/6.

Tikimybė suteikia mums įrankį ne tik suprasti žaidimų rezultatus, bet ir modeliuoti realaus pasaulio riziką, prognozuoti įvykių dažnį ir priimti sprendimus remiantis skaičiais. Pradėkite nuo paprastų pavyzdžių, supraskite pagrindines taisykles ir palaipsniui pereikite prie sudėtingesnių situacijų.