Švarcšildo metrika
Švarcšildo metriką 1916 m. apskaičiavo Karlas Švarcšildas kaip Einšteino lauko lygčių sprendinį. Taip pat žinomas kaip Švarcšildo sprendinys, tai bendrojo reliatyvumo lygtis astrofizikos srityje. Metrika reiškia lygtį, kuria aprašomas erdvėlaikis; konkrečiai Švarcšildo metrika aprašo gravitacinį lauką aplink Švarcšildo juodąją skylę - nesisukančią, sferinę juodąją skylę, neturinčią magnetiniolauko ir kurioje kosmologinė konstanta lygi nuliui.
Iš esmės tai lygtis, kuria aprašoma, kaip dalelė juda erdvėje šalia juodosios skylės.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
Išvedimas
Nors sudėtingesnį Švarcšildo metrikos apskaičiavimo būdą galima rasti naudojant Kristofelio simbolius, ją taip pat galima išvesti naudojant pabėgimo greičio ( v e {\displaystyle v_{e}}}
), laiko dilatacijos (dt'), ilgio susitraukimo (dr') lygtis:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v - dalelės greitis
G - gravitacinė konstanta
M - juodosios skylės masė
r - kaip arti dalelė yra nuo sunkaus objekto
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' - tikrasis dalelės laiko pokytis
dt - dalelės laiko pokytis
dr' - tikrasis nueitas atstumas
dr - dalelės atstumo pokytis
v - dalelės greitis
c - šviesos greitis
Pastaba: tikrasis laiko tarpas ir tikrasis atstumas, kurį nukeliauja dalelė, skiriasi nuo laiko ir atstumo, apskaičiuotų atliekant klasikinės fizikos skaičiavimus, nes dalelė keliauja tokiame stipriame gravitaciniame lauke!
Naudojant lygtį plokščiam erdvėlaikiui sferinėse koordinatėse:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds - dalelės kelias
θ {\displaystyle \theta } 
yra kampas
d θ {\displaystyle \theta } ir d ϕ {\displaystyle \phi } 
yra kampų pokytis
Įvedus pabėgimo greičio, laiko dilatacijos ir ilgio susitraukimo lygtis (1, 2 ir 3 lygtys) į plokščiojo erdvėlaikio lygtį (4 lygtis), gaunama Švarcšildo metrika:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Iš šios lygties galime išvesti Švarcšildo spindulį ( r s {\displaystyle r_{s}}
) - šios juodosios skylės spindulį. Nors ši formulė dažniausiai naudojama Švarcšildo juodajai skylei apibūdinti, Švarcšildo spindulį galima apskaičiuoti bet kokiam sunkiam objektui.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} yra nustatyta objekto spindulio riba
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Švarcšildo metrika?
A: Švarcšildo metrika yra bendrojo reliatyvumo lygtis astrofizikos srityje, kuri aprašo, kaip dalelė juda erdvėje šalia juodosios skylės. Ją 1916 m. kaip Einšteino lauko lygčių sprendinį apskaičiavo Karlas Švarcšildas.
K: Ką reiškia metrika?
Atsakymas: Metrika reiškia lygtį, kuri aprašo erdvėlaikį; ypač Švarcšildo metrika aprašo gravitacinį lauką aplink Švarcšildo juodąją skylę.
K: Kokios yra kai kurios Švarcšildo juodosios skylės savybės?
A: Švarcšildo juodoji skylė nesisuka, yra sferinė ir neturi magnetinio lauko. Be to, jos kosmologinė konstanta lygi nuliui.
K: Kaip galima apibūdinti gravitacinį lauką aplink Švarcšildo juodąją skylę?
A: Jį galime aprašyti naudodami Švarcildo metrinę lygtį, kuri nusako, kaip dalelės juda erdvėje šalia šio tipo juodųjų skylių.
K: Kas pirmasis apskaičiavo šią lygtį?
A: Karlas Švarcchildas pirmą kartą šią lygtį apskaičiavo 1916 m. kaip Einšteino lauko lygčių sprendinį.
K: Ką šioje lygtyje reiškia (ds)^2?
A: (ds)^2 reiškia atstumą tarp dviejų erdvėlaikio taškų, matuojamą laiko ir erdvės koordinačių atžvilgiu.
