Švarcšildo metrika (Švarcšildo sprendinys): apibrėžimas ir reikšmė astrofizikoje

Švarcšildo metrika pirmą kartą buvo apskaičiuota 1916 m. ir pateikta kaip Karlo Švarcšildo sprendinys Einšteino lauko lygtims. Ji dažnai vadinama Švarcšildo sprendiniu ir yra esminis bendrojo reliatyvumo sprendinys astrofizikos kontekste. Metrika — tai formulė, apibūdinanti erdvėlaikio atstumą (linijinį intervalą) tarp įvykusių taškų; konkrečiai Švarcšildo metrika aprašo gravitacinį lauką aplink idealią, nesisukančią, sferinę ir neįkrautą juodąją skylę, be magnetinio lauko ir su kosmologine konstanta lygi nuliui.

Apibrėžimas ir formulė

Švarcšildo metrika pateikiama per linijinį intervalą (metrikos elementą) (ds)², kuris nurodo, kaip atstumas ir laikas susiję tarp dviejų gretimų taškų erdvėlaikyje. Standartinė forma (naudojant sferines koordinates t, r, θ, φ ir signatūrą (-,+,+,+)) yra:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Čia:

c — šviesos greitis vakuume,
G — gravitacinė konstanta,
M — centrinio masyvaus objekto (pvz., juodosios skylės) masė,
t, r, θ, φ — atitinkamai laikas, radialinė koordinatė ir sferinės kampinės koordinatės,
ds — proper (savitas) laiko arba atstumo elementas priklausomai nuo trajektorijos tipo (laiko-like ar erdviškai-like).

Dažnai įvedamas Švarcšildo spindulys (Schwarzschild radius) r_s, kuris yra r_s = 2GM/c². Šis atstumas žymi įvykių horizonto (event horizon) radialinę padėtį idealiam, nesisukančiam juodosios skylės modeliui.

Pagrindinės savybės

Sferinė simetrija: sprendinys yra simetriškas pagal sferas — nėra priklausomybės nuo kampinių koordinačių φ ir θ išskyrus standartinę sferinę matriką r²(dθ² + sin²θ dφ²).
Vakuuminis sprendinys: metrika tenkina vakuumines Einšteino lygtys (T_{μν}=0) už centro (r>0), t. y. nėra tarpinio masės–energijos tensorio.
Assumptions: neturi krūvio, neturi sukimosi (nebent pereitumėme prie Kerr sprendinio), ir kosmologinė konstanta laikoma nuliu.
Įvykių horizontas: koordinačių singularumas r = r_s = 2GM/c² (kur metrikos komponentas g_tt pakeičia ženklą) yra tik koordinatinė singularybė — ją galima pašalinti naudojant kitą koordinatę (pvz., Kruskal–Szekeres). Fizikinis singularumas yra r = 0, kur laužiasi krūvio kreivės ir kreivumo skaliarai diverguoja.

Fizikinė reikšmė ir pasekmės

Trajektorijos ir gravitacija: metrika nurodo, kaip laisvos dalelės ir fotonai juda. Judėjimas vykdomas pagal geodezijas, kurios yra tiesiausios kreivės erdvėlaikyje.
Laiko dilatacija: laikrodžiai, esantys arti masyvaus objekto, rodo sulėtėjusį laiką stebintiems iš tolimos vietos. T.y., g_tt komponentas sukelia gravitacinį laiko užlaikymą.
Šviesos kreivimas: Švarcšildo metrika prognozuoja, kad šviesa bus nukrypinta skriejant šalia masyvaus kūno — tai yra vienas iš klasinių bendrojo reliatyvumo patvirtinimų (pvz., Eddington 1919 stebėjimai).
Perihelio precesija: planetų orbitų elipsių poslinkis (pvz., Merkurijaus perihelio precesija) gali būti paaiškintas Švarcšildo sprendiniu be papildomų parametrų.
Juodųjų skylių savybės: Švarcšildo sprendinys suteikia bazinį modelį juodosios skylės įvykių horizontui, skaičiuojant tokius parametrus kaip raiška, tukštas laukas ar šešėlio forma (shadow).

Taikymas astrofizikoje ir praktika

Analitinė bazė juodųjų skylių teorijai ir numerinėms simuliacijoms — Švarcšildo metrika yra pirmasis žingsnis norint suvokti sudėtingesnius sprendinius (pvz., Kerr arba Reissner–Nordström).
Patikros eksperimentams: lengvo lauko aproksimacija Švarcšildo metrikai leidžia modeliuoti gravitacinį lęšiavimą, laiko poslinkius ir testuoti GR su planetų orbitomis ir radarų signalo laiko matavimais (pvz., GPS sistemos korekcijoms reikalingos gravitacinės laiko dilatacijos pataisos).
Astronominės stebėjimų interpretacija: juodųjų skylių šešėliai, akrecijos diskų spinduliuotė ir kai kurie gravitacinių bangų šablonai remiasi Švarcšildo tipo sprendiniais ar jų išplėtimais.

Apribojimai ir išplėtimai

Švarcšildo metrika taikoma tik neturinčiai sukimosi, neelektrifikuotai, sferiškai simetriškai masei. Realesnės juodosios skylės gali suktis (Kerr metrika) arba turėti krūvį (Reissner–Nordström).
Koordinačių singularumas r = r_s reikalauja atsargumo fizinės interpretacijos — tinkamos koordinatės (pvz., Eddington–Finkelstein arba Kruskal–Szekeres) parodo, kad įvykiai prie ir už horizonto yra nuoseklūs ir horizontas nėra fizinė barjera vietiniams stebėtojams.
Esant kosmologinei konstanta ≠ 0, tinkamesnis sprendinys yra Švarcšildo–de Sitter (Schwarzschild–de Sitter) metrika.

Apibendrinant: Švarcšildo metrika yra esminis bendrojo reliatyvumo sprendinys, kuris padeda suprasti, kaip masyvūs kūnai deformuoja erdvėlaikį ir kaip tai veikia dalelių ir fotonų judėjimą. Ji yra tiek teorinis pagrindas juodųjų skylių supratimui, tiek praktinis įrankis astrofizikos ir eksperimentinės fizikos patikroms.

Išvedimas

Nors sudėtingesnį Švarcšildo metrikos apskaičiavimo būdą galima rasti naudojant Kristofelio simbolius, ją taip pat galima išvesti naudojant pabėgimo greičio ( v e {\displaystyle v_{e}}} $v_{e}$ ), laiko dilatacijos (dt'), ilgio susitraukimo (dr') lygtis:

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v - dalelės greitis
G - gravitacinė konstanta
M - juodosios skylės masė
r - kaip arti dalelė yra nuo sunkaus objekto

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' - tikrasis dalelės laiko pokytis
dt - dalelės laiko pokytis
dr' - tikrasis nueitas atstumas
dr - dalelės atstumo pokytis
v - dalelės greitis
c - šviesos greitis

Pastaba: tikrasis laiko tarpas ir tikrasis atstumas, kurį nukeliauja dalelė, skiriasi nuo laiko ir atstumo, apskaičiuotų atliekant klasikinės fizikos skaičiavimus, nes dalelė keliauja tokiame stipriame gravitaciniame lauke!

Naudojant lygtį plokščiam erdvėlaikiui sferinėse koordinatėse:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds - dalelės kelias

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ yra kampas
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ ir d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ yra kampų pokytis

Įvedus pabėgimo greičio, laiko dilatacijos ir ilgio susitraukimo lygtis (1, 2 ir 3 lygtys) į plokščiojo erdvėlaikio lygtį (4 lygtis), gaunama Švarcšildo metrika:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Iš šios lygties galime išvesti Švarcšildo spindulį ( r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ ) - šios juodosios skylės spindulį. Nors ši formulė dažniausiai naudojama Švarcšildo juodajai skylei apibūdinti, Švarcšildo spindulį galima apskaičiuoti bet kokiam sunkiam objektui.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ yra nustatyta objekto spindulio riba

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Švarcšildo metrika?

A: Švarcšildo metrika yra bendrojo reliatyvumo lygtis astrofizikos srityje, kuri aprašo, kaip dalelė juda erdvėje šalia juodosios skylės. Ją 1916 m. kaip Einšteino lauko lygčių sprendinį apskaičiavo Karlas Švarcšildas.

K: Ką reiškia metrika?

Atsakymas: Metrika reiškia lygtį, kuri aprašo erdvėlaikį; ypač Švarcšildo metrika aprašo gravitacinį lauką aplink Švarcšildo juodąją skylę.

K: Kokios yra kai kurios Švarcšildo juodosios skylės savybės?

A: Švarcšildo juodoji skylė nesisuka, yra sferinė ir neturi magnetinio lauko. Be to, jos kosmologinė konstanta lygi nuliui.

K: Kaip galima apibūdinti gravitacinį lauką aplink Švarcšildo juodąją skylę?

A: Jį galime aprašyti naudodami Švarcildo metrinę lygtį, kuri nusako, kaip dalelės juda erdvėje šalia šio tipo juodųjų skylių.

K: Kas pirmasis apskaičiavo šią lygtį?

A: Karlas Švarcchildas pirmą kartą šią lygtį apskaičiavo 1916 m. kaip Einšteino lauko lygčių sprendinį.

K: Ką šioje lygtyje reiškia (ds)^2?

A: (ds)^2 reiškia atstumą tarp dviejų erdvėlaikio taškų, matuojamą laiko ir erdvės koordinačių atžvilgiu.