Kvadratinė šaknis iš 2

Kvadratinė šaknis iš 2, arba (1/2)-oji 2 galybė, matematikoje užrašoma kaip √2 arba 2​1⁄2 , yra teigiamas iracionalusis skaičius, kuris, padaugintas iš savęs, yra lygus skaičiui 2. Teisingiau būtų sakyti, kad ji vadinama pagrindine kvadratine šaknimi iš 2, siekiant atskirti ją nuo neigiamos savęs pačios versijos, kur tai taip pat yra tiesa.

Geometriškai kvadratinė šaknis iš 2 yra įstrižainės ilgis per kvadratą, kurio kraštinės ilgis lygus vienetui; ją galima rasti naudojant Pitagoro teoremą.

Kvadratinė šaknis iš 2 yra lygi stačiojo trikampio, kurio kraštinių ilgis 1, hipotenzės ilgiuiZoom
Kvadratinė šaknis iš 2 yra lygi stačiojo trikampio, kurio kraštinių ilgis 1, hipotenzės ilgiui

Įrodymas, kad kvadratinė šaknis iš 2 nėra racionali

Skaičius 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} nėra racionalus. Štai įrodymas.

  1. Tarkime, kad 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} yra racionalus. Taigi yra keletas skaičių a , b {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} tokių, kad a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}{\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
  2. Galime pasirinkti a ir b taip, kad a arba b būtų nelyginis. Jei a ir b būtų lyginės, tuomet trupmeną būtų galima supaprastinti (pavyzdžiui, užuot rašę 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}). {\displaystyle {\frac {2}{4}}}vietoj to galėtume užrašyti 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ).
  3. Jei abi lygties puses pakeliame kvadratu, gauname a2 / b2 = 2 ir a2 = 2 b2 .
  4. Dešinioji pusė yra 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. Šis skaičius yra lyginis. Taigi ir kairioji pusė turi būti lyginė. Taigi a 2 2 {\displaystyle a^{2}}{\displaystyle a^{2}} yra lyginis. Jei nelyginis skaičius yra kvadratu padaugintas iš nelyginio skaičiaus, tai rezultatas bus nelyginis skaičius. O jei lyginis skaičius bus pakeltas į kvadratą, tai rezultatas irgi bus lyginis skaičius. Taigi a {\displaystyle a}a yra lyginis.
  5. Kadangi a yra lyginis, jį galima užrašyti taip: a = 2 k {\displaystyle a=2k}{\displaystyle a=2k} .
  6. Naudojama 3 veiksmo lygtis. Gauname 2b2 = (2k)2
  7. Galima naudoti eksponentizacijos taisyklę (žr. straipsnį) - rezultatas yra 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}. {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Abi pusės dalijamos iš 2. Taigi b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Tai reiškia, kad b {\displaystyle b}{\displaystyle b} yra lyginis.
  9. 2 žingsnyje sakėme, kad a yra nelyginis arba b yra nelyginis. Tačiau 4 žingsnyje buvo pasakyta, kad a yra lyginis, o 7 žingsnyje buvo pasakyta, kad b yra lyginis. Jei prielaida, kurią padarėme 1 žingsnyje, yra teisinga, tai visi šie kiti dalykai turi būti teisingi, bet kadangi jie nesutampa tarpusavyje, jie visi negali būti teisingi; vadinasi, mūsų prielaida nėra teisinga.

Netiesa, kad 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} yra racionalusis skaičius. Taigi 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} yra iracionalus skaičius.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3