√2 — kvadratinė šaknis iš 2: apibrėžimas, savybės ir geometrinė prasmė

Sužinokite √2 reikšmę, savybes ir geometrinę prasmę: istorija, įrodymai, iracionalumas bei Pitagoro ryšys – aiškiai ir suprantamai.

Autorius: Leandro Alegsa

07-01-2026 15:26

Kvadratinė šaknis iš 2, arba (1/2)-oji 2 galybė, matematikoje užrašoma kaip √2 arba $2 $ ^1⁄₂ , yra teigiamas iracionalusis skaičius, kuris, padaugintas iš savęs, yra lygus skaičiui 2. Teisingiau būtų sakyti, kad ji vadinama pagrindine kvadratine šaknimi iš 2, siekiant atskirti ją nuo neigiamos savęs pačios versijos, kur tai taip pat yra tiesa.

Geometriškai kvadratinė šaknis iš 2 yra įstrižainės ilgis per kvadratą, kurio kraštinės ilgis lygus vienetui; ją galima rasti naudojant Pitagoro teoremą.

Apibrėžimas ir bazinės savybės

Skaičius √2 yra teigiamo sprendinio reikšmė lygybei x² = 2. Tai yra algebrinis skaičius — jis yra šaknis polinomo x² − 2 su racionaliais (netgi sveikais) koeficientais. Minimalusis polinomas yra x² − 2, todėl √2 yra kvadratinis irrationalusis skaičius (algebrinės laipsnio 2). Kiti svarbūs pastebėjimai:

√2 ≈ 1.4142135623730950488… — dešimtainė išraiška yra begalinė ir neperiodinė, t. y. skaičius yra iracionalus.
Turi tęstinę paprastąją gambinę (continued fraction) išraišką: √2 = [1; 2, 2, 2, …], ty periodiška dalis susideda iš nuolatinių 2.
Polinomas x² − 2 yra minimalusis polinomas, todėl laukas Q(√2) turi laipsnį 2 virš racionaliųjų skaičių ir yra vienas iš paprasčiausių kvadratinių laukas.

Irracionalumo įrodymas (trumpas)

Labiausiai žinomas √2 irrationalumo įrodymas naudoja prieštaravimą su mažinančia trupinių forma:

Tarkime priešingai, kad √2 yra racionalus: √2 = p/q, kur p ir q yra sveikieji skaičiai be bendro daliklio (pirminė trupmena).
Iš to seka p² = 2q². Taigi p² yra lyginis, reiškia, p yra lyginis (p = 2k), todėl p² = 4k².
Įstatant atgal: 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², tad ir q yra lyginis. Tačiau tai prieštarauja prielaidai, kad p ir q neturi bendro daliklio (abu būtų dalūs iš 2).
Todėl pradinė prielaida klaidinga ir √2 yra iracionalus.

Desimtainė išraiška, artiniai ir tęstinė trupmena

Pirmieji dešimtainiai skaitmenys: 1.4142135623730950488… — jie ne kartojasi periodiškai. Kadangi √2 turi tęstinę paprastąją trupmeną [1;2,2,2,…], jos konvergentai duoda labai gerus racionalius artinius:

1 = 1
3/2 = 1.5
7/5 = 1.4
17/12 ≈ 1.4167
41/29 ≈ 1.4138
99/70 ≈ 1.4142857

Šie konvergentai yra pagrindinės gerų aproksimacijų šaltinis ir yra susiję su Pellio lygtimi (žemiau).

Ryšys su Pellio lygtimi ir vienetais

Lygtis x² − 2y² = ±1 (Pellio lygtis su d = 2) turi begales sveikųjų sprendinių. Pirmieji sprendiniai seka iš konvergentrų ir duoda puikias aproksimacijas √2 ≈ x/y. Be to, skaičius 1 + √2 yra fundamentali vienetė ringe sveikųjų elementų Q(√2), o visi vienetai pavidalo ±(1 + √2)^n.

Geometrinė prasmė ir konstrukcijos

Geometriškai √2 yra įstrižainės ilgis kvadrate, kurio kraštinė lygi 1. Paprasčiausia konstrukcija su tiesikampiu trikampiu: nubrėžus dvi statmenas atkarpas, kurių ilgiai lygūs 1, hipotenūzos ilgis pagal Pitagoro teoremą bus √2.

Naudojant tiesiąją ir kompasą, galima konstrukciškai gauti segmentą, kurio ilgis yra √2 kartų duoto vieneto ilgis: sukonstruokite kvadratą su krašte 1 ir nubrėžkite įstrižainę — tai ir bus √2.

Pritaikymas praktikoje

Popieriaus formatas ISO 216 (A serija): santykis tarp kraštinių yra 1:√2, todėl sulenkus lapą per pusę, gaunamas tas pats proporcijų santykis.
√2 atsiranda architektūroje, inžinerijoje ir grafikoje kiekvieną kartą, kai svarbu išlaikyti proporcingumą tarp ilgio ir pločio po dalinimo per pusę.
Be to, √2 pasirodo įvairiuose matematiniuose modeliuose, fizikoje ir teorinėje kompiuterijoje (pvz., tam tikros metrikos ar normalizacijos koeficientai).

Istorija ir pastabos

√2 žinojimas siejamas su senovės graikų matematika; laikoma, kad Pytagorės mokyklos narys Hippasas atrado, kad √2 negali būti išreikštas kaip santykis dviejų sveikųjų skaičių, o tai turėjo didelį filosofinį ir matematinį poveikį tuo metu. Nuo to laiko √2 tapo klasikinio irrationalumo pavyzdžiu ir svarbiu elementu algebrinėje bei skaičių teorijoje.

Apibendrinant: √2 yra fundamentaliai svarbus matematikoje — tai teigiamas, algebraiškai paprastas, tačiau racionaliai neišreiškiamas skaičius, turintis aiškią geometrijinę prasmę ir daug praktinių bei teorinių taikymų.

Kvadratinė šaknis iš 2 yra lygi stačiojo trikampio, kurio kraštinių ilgis 1, hipotenzės ilgiui

Įrodymas, kad kvadratinė šaknis iš 2 nėra racionali

Skaičius 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ nėra racionalus. Štai įrodymas.

Tarkime, kad 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ yra racionalus. Taigi yra keletas skaičių a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ tokių, kad a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Galime pasirinkti a ir b taip, kad a arba b būtų nelyginis. Jei a ir b būtų lyginės, tuomet trupmeną būtų galima supaprastinti (pavyzdžiui, užuot rašę 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}). ${\frac {2}{4}}$ vietoj to galėtume užrašyti 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Jei abi lygties puses pakeliame kvadratu, gauname a² / b² = 2 ir a² = 2 b² .
Dešinioji pusė yra 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Šis skaičius yra lyginis. Taigi ir kairioji pusė turi būti lyginė. Taigi a 2 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ yra lyginis. Jei nelyginis skaičius yra kvadratu padaugintas iš nelyginio skaičiaus, tai rezultatas bus nelyginis skaičius. O jei lyginis skaičius bus pakeltas į kvadratą, tai rezultatas irgi bus lyginis skaičius. Taigi a {\displaystyle a} yra lyginis.
Kadangi a yra lyginis, jį galima užrašyti taip: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Naudojama 3 veiksmo lygtis. Gauname 2b² = (2k)²
Galima naudoti eksponentizacijos taisyklę (žr. straipsnį) - rezultatas yra 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}. $2b^{2}=4k^{2}$ .
Abi pusės dalijamos iš 2. Taigi b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Tai reiškia, kad b {\displaystyle b} $b$ yra lyginis.
2 žingsnyje sakėme, kad a yra nelyginis arba b yra nelyginis. Tačiau 4 žingsnyje buvo pasakyta, kad a yra lyginis, o 7 žingsnyje buvo pasakyta, kad b yra lyginis. Jei prielaida, kurią padarėme 1 žingsnyje, yra teisinga, tai visi šie kiti dalykai turi būti teisingi, bet kadangi jie nesutampa tarpusavyje, jie visi negali būti teisingi; vadinasi, mūsų prielaida nėra teisinga.

Netiesa, kad 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ yra racionalusis skaičius. Taigi 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ yra iracionalus skaičius.

Ieškoti