Kantoro diagonalinis argumentas: įrodymas apie begalinių aibių kardinalumą

Kantoro diagonalinis argumentas: aiškus, intriguojantis įrodymas apie begalinių aibių kardinalumo skirtumus ir matematinį pagrindimą, suprantamai paaiškintas.

Autorius: Leandro Alegsa

14-11-2025 20:45

Kantoro įstrižainės argumentas yra matematinis metodas, naudojamas kardinalumo palyginimui ir įrodymams apie begalinių aibių dydžių santykius. Jį sukūrė ir populiarinino Kantoras, paskelbęs darbų 1877, 1891 ir 1899 m.; pirmasis diagonalinio argumento variantas pasirodė 1890 m. Vokietijos matematikų draugijos (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) žurnale. Diagonalinis argumentas leidžia tiek parodyti, kad dvi aibės yra vienodo kardinalumo (egzistuoja bijekcija), tiek – priešingai – įrodyti, kad tam tikros aibės negali būti išvardytos eilės forma (t. y. jos yra didesnio kardinalumo nei natūraliųjų skaičių aibė).

Ką reiškia "vienodas kardinalumas"

Dviejų aibių vienodas kardinalumas reiškia, kad tarp jų egzistuoja bijekcija – vienareikšmis vienas prie vieno atitikmuo. Trumpai tariant, kiekvienam pirmosios aibės elementui priskiriamas vienas ir tik vienas antrosios aibės elementas, ir atvirkščiai. Tai apima ir baigtines aibes, ir begalines: pvz., natūraliųjų skaičių aibė ir sveikųjų skaičių aibė turi tą patį (skaičiuojamą) kardinalumą, nors atrodo, kad sveikųjų daugiau.

Diagonalinės idėjos santrauka

Diagonalinis argumentas stato kontrargumentą prieš prielaidą, kad tam tikra begalinė aibė yra išvardijama eilėje.
Pagrindinė mintis: užrašyti visus galimus aibės elementus kaip eilutę (ar lentelę) ir tada sukonstruoti naują elementą, kuris skiriasi nuo n-tojo sąrašo elemento n-toje vietoje. Toks elementas negali būti joks iš sąraše esančių, todėl prielaida, kad sąrašas buvo pilnas, yra klaidinga.

Įrodymas – realiųjų skaičių neapskaitymas

Tarkime, kad visi realieji skaičiai intervale (0,1) būtų išvardyti: s1, s2, s3, ... ir kiekvienas užrašytas dešimtainiu skaičiumi. Sudarykime lentelę, kurios n-ta eilutė atitinka skaičių sn, o eilutės skaitmenys yra sn = 0.d_{n1} d_{n2} d_{n3} ... . Dabar sukonstruokime naują skaičių t = 0.c1 c2 c3 ..., kur cn skirtingas nuo d_{nn} (pvz., cn = 1, jei d_{nn} ≠ 1; kitu atveju cn = 2). Toks t skiriasi nuo kiekvieno sn bent n-toje dešimtainėje vietoje, taigi t nėra nė vienas iš sąrašo elementų. Priešingybė sumažinta į prieštarą: sąrašas negalėjo būti išsamus. (Pastaba: dėl dešimtainių išsiplėtimų, kai skaičius turi dvi dešimtaines reprezentacijas, galima naudoti dvejetainę (0/1) plėtrą arba specialiai vengti simbolių 9, kad išvengti dviprasmybių.)

Cantor teoréma (galios aibė ir jos pasekmė)

Cantor įrodė ir platesnį teiginį: bet kokios aibės A galios aibė P(A) (visų A pogrupių aibė) turi griežtai didesnį kardinalumą negu pati A. Formaliai: nėra surjekcijos iš A į P(A). Įrodymas vėl panaudoja diagonalinę konstrukciją. Jei f : A → P(A) būtų surjekcija, apibrėžkime D = { x ∈ A : x ∉ f(x) }. Kadangi f yra surjekcija, egzistuotų a ∈ A toks, kad f(a) = D. Kyla kontradikcija: ar a ∈ D? Jei taip, pagal apibrėžimą a ∉ f(a) = D — prieštara; jei ne, tada a ∈ f(a) = D — vėl prieštara. Iš čia seka, kad surjekcija neegzistuoja ir |P(A)| > |A|.

Pasekmės ir pavyzdžiai

Nuo šių rezultatų seka, kad aibių kardinalumų eilė nėra baigtinė: kiekviena aibė turi galios aibę, kurios kardinalumas didesnis.
Natūraliųjų skaičių aibė N yra skaičiuojama (countable), taip pat skaičiuojami racionalieji skaičiai Q. Tačiau realieji skaičiai R yra neskaičiuojami (uncountable) — tai parodo diagonalinio argumento taikymas.
Cantor–Schröder–Bernstein teorema susijusi, bet atskira: jei yra injekcijos A → B ir B → A, tai egzistuoja bijekcija A ↔ B. Diagonalinis argumentas dažniausiai naudojamas nebijekcijų įrodymams (t. y. parodyti, kad tam tikra bijekcija negali egzistuoti), o ne teigti bijekcijos egzistavimą.

Istorinė ir metodologinė reikšmė

Kantoro įstrižainės argumentas tapo kertiniu moderniosios aibės teorijos pagrindu. Jis pakeitė supratimą apie begalybę matematikoje: atsirado aiškus skirtumas tarp skaičiuojamos begalybės ir didesnių begalybių, bei įrodė, kad begalinės aibės gali turėti skirtingus dydžius. Diagonalizacija taip pat plačiai naudojama kitose srityse — logikoje, kompiuterių moksle (pvz., Turingo nesprendžiamumo įrodymai) ir teorinėje informatikai.

Pirmasis Kantoro įstrižainės argumentas

Toliau pateiktame pavyzdyje naudojamos dvi paprasčiausios begalinės aibės - natūraliųjų skaičių ir teigiamų trupmenų aibės. Norima parodyti, kad abi šios aibės, N {\displaystyle \mathbb {N} } $\mathbb {N}$ ir Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} } $\mathbb {Q^{+}}$ yra vienodo kardinalumo.

Pirmiausia frakcijos išlyginamos į masyvą taip:

1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&&{\tfrac {1}{3}}&&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&&{\tfrac {2}{2}}&&&{2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&&{\tfrac {3}{3}}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&&\\\{\tfrac {4}{1}}&&&{\tfrac {4}{2}}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}&&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Tada skaičiai suskaičiuojami, kaip parodyta paveikslėlyje. Dalys, kurias galima supaprastinti, neįtraukiamos:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 5 4 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}} _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&&{{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow}&{{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\\color {MidnightBlue}\rightarrow }\&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&{{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\{\{tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&{{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{{color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\{tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Mėlyna}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&&{\tfrac {5}{3}}&&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}} ${\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Taip bus skaičiuojamos dalybos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 1 2 2 3 1 3 1 3 1 4 2 3 3 2 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}$

Atmetus trupmenas, kurias vis dar galima supaprastinti, gaunama bijekcija, kuri kiekvieną natūraliųjų skaičių elementą susieja su vienu trupmenos elementu:

Norint parodyti, kad visi natūralieji skaičiai ir trupmenos turi tą patį kardinalumą, reikia pridėti elementą 0; po kiekvienos trupmenos pridedamas jos neiginys;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}15}&{\color {Mėlyna}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}$

Tokiu būdu yra visiška bijekcija, kuri kiekvienam natūraliajam skaičiui priskiria frakciją. Kitaip tariant, abiejų aibių kardinalumas vienodas. Šiandien aibės, turinčios tiek pat elementų, kiek ir natūraliųjų skaičių aibė, vadinamos suskaičiuojamomis. Aibės, turinčios mažiau elementų nei natūraliųjų skaičių aibė, vadinamos daugiausiai suskaičiuojamomis. Pagal šią apibrėžtį racionaliųjų skaičių / trupmenų aibė yra suskaičiuojama.

Begalinės aibės dažnai pasižymi intuicijai prieštaraujančiomis savybėmis: Davidas Hilbertas tai įrodė eksperimente, kuris vadinamas Hilberto "Grand Hotel" paradoksu.

Realieji skaičiai

Realiųjų skaičių aibės kardinalumas nėra toks pat kaip natūraliųjų skaičių; realiųjų skaičių yra daugiau nei natūraliųjų skaičių. Pirmiau išdėstyta mintis turėjo įtakos jo įrodymui. 1891 m. straipsnyje Kantoras nagrinėjo visų begalinių dvejetainių skaitmenų sekų (t. y. kiekvienas skaitmuo yra nulis arba vienetas) aibę T.

Jis pradeda konstruktyviu šios teoremos įrodymu:

Jei s₁ , s₂ , ... , s_n , ... yra bet koks T elementų išvardijimas, tai visada yra T elementas s, kurio išvardijime neatitinka joks s ._n

Norėdami tai įrodyti, turėdami T elementų sąrašą, pvz.

s₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂ =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Seka s sudaroma pasirenkant 1-ąjį skaitmenį kaip papildantį 1-ąjį s₁ skaitmenį (sukeičiant 0 su 1 ir atvirkščiai), 2-ąjį skaitmenį kaip papildantį 2-ąjį s₂ skaitmenį, 3-iąjį skaitmenį kaip papildantį 3-iąjį s₃ skaitmenį ir apskritai kiekvienam n - n^th skaitmenį kaip papildantį n^th skaitmenį s_n . Pateiktame pavyzdyje gaunama tokia seka:

s₁	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

Pagal konstrukciją s skiriasi nuo kiekvieno s_n , nes skiriasi jų n^th skaitmenų (pavyzdyje jie paryškinti). Todėl s negali atsirasti išvardijime.

Remdamasis šia teorema, Kantoras įrodo, kad:

Aibė T yra neįskaitoma.

Jis daro prielaidą, kad T buvo suskaičiuojamas. Tokiu atveju visus jos elementus galima užrašyti kaip išvardijimą s₁ , s₂ , ... , s_n , ... . Taikant ankstesnę teoremą šiam išvardijimui, gautume seką s, kuri nepriklauso išvardijimui. Tačiau s buvo T elementas, todėl jis turėtų būti išvardijime. Tai prieštarauja pradinei prielaidai, todėl T turi būti nesuskaičiuojama.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Kantoro įstrižainės argumentas?

A: Kantoro įstrižainės argumentas yra matematinis metodas, kuriuo galima įrodyti, kad dviejų begalinių aibių kardinalumas yra vienodas.

K: Kada Kantoras paskelbė straipsnius apie savo diagonalinį argumentą?

A: Kantoras straipsnius apie savo diagonalinį argumentą paskelbė 1877, 1891 ir 1899 m.

K: Kur buvo paskelbtas pirmasis Kantoro diagonalinio argumento įrodymas?

A: Pirmasis Kantoro įstrižainės argumento įrodymas buvo paskelbtas 1890 m. Vokietijos matematikų draugijos (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) žurnale.

K: Kada, anot Kantoro, dvi aibės turi vienodą kardinalumą?

A: Pasak Kantoro, dvi aibės yra vienodo kardinalumo, jei kiekvienam pirmosios aibės elementui galima priskirti po vieną antrosios aibės elementą, o kiekvienam antrosios aibės elementui - po vieną pirmosios aibės elementą.

Klausimas: Ar Kantoro teiginys apie kardinalumą tinka aibėms, turinčioms baigtinį elementų skaičių?

Atsakymas: Taip, Kantoro teiginys tinka aibėms su baigtiniu elementų skaičiumi.

Klausimas: Ar intuityvus Kantoro teiginys apie kardinalumą aibėms su begaliniu elementų skaičiumi?

Atsakymas: Ne, Kantoro teiginys apie kardinalumą yra mažiau intuityvus aibėms su begaliniu elementų skaičiumi.

K: Kiek kartų Kantoras paskelbė straipsnių apie savo įstrižainės argumentą?

A: Kantoras straipsnius apie savo diagonalinį argumentą skelbė tris kartus - 1877, 1891 ir 1899 metais.

Ieškoti