Bijekcija (bijekcinė funkcija) – apibrėžimas ir savybės

Oficialiai:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} yra bijektyvi funkcija, jei ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} yra unikalus a ∈ A {\displaystyle a\in A} toks, kad f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Elementas b {\displaystyle b} vadinamas elemento a {\displaystyle a} atvaizdu.

• Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas yra lygiai vieno srities A elemento atvaizdas.

Elementas a {\displaystyle a} vadinamas elemento b {\displaystyle b} išankstiniu atvaizdu.

• Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas turi lygiai vieną pirmavaizdį srityje A.

Pastaba: "Surjekcija" reiškia mažiausiai vieną išankstinį vaizdą. Injekcija reiškia ne daugiau kaip vieną išankstinį vaizdą. Taigi bijekcija reiškia lygiai vieną išankstinį atvaizdą.

Kardinalumas - tai aibės elementų skaičius. A={X,Y,Z,W} kardinalumas yra 4. Rašome #A=4.

• Apibrėžimas: Dvi aibės A ir B yra vienodo kardinalumo, jei tarp jų egzistuoja bijekcija. Taigi #A=#B reiškia, kad yra bijekcija iš A į B.

• Bijekcijos yra apverčiamos apverčiant rodykles. Nauja funkcija vadinama atvirkštine funkcija.

Oficialiai: Tegul f : A → B yra bijekcija. Atvirkštinė funkcija g : B → A apibrėžiama taip: jei f(a)=b, tai g(b)=a. (Taip pat žr. Atvirkštinė funkcija.)

• Atvirkštinės funkcijos atvirkštinė funkcija yra pradinė funkcija.
• Funkcija turi atvirkštinę funkciją tada ir tik tada, kai ji yra bijekcija.

Pastaba: atvirkštinės funkcijos f užrašymas yra painus. Būtent,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} reiškia atvirkštinę funkcijos f funkciją, bet x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} reiškia skaičiaus x atvirkštinę vertę.

Elementarios funkcijos

Tegul f(x):ℝ→→ℝ yra realiosios reikšmės funkcija y=f(x), kurios realusis argumentas yra x. (Tai reiškia, kad ir įėjimas, ir išėjimas yra skaičiai.)

• Grafinė reikšmė: Funkcija f yra bijekcija, jei kiekviena horizontali tiesė kerta f grafiką lygiai viename taške.
• Algebrinė reikšmė: Funkcija f yra bijekcija, jei kiekvienam realiajam skaičiui y_o galime rasti bent vieną realųjį skaičių x_o tokį, kad y_o =f(x_o ) ir jei f(x_o )=f(x₁ ) reiškia x_o =x₁ .

Pavyzdys: Tiesinė įstrižos linijos funkcija yra bijekcija. T. y. y=ax+b, kur a≠0 yra bijekcija.

Diskusijos: Kiekviena horizontali tiesė kerta nuožulniąją tiesę lygiai viename taške (žr. įrodymus: "Surjekcija" ir "Injekcija"). 1 paveikslėlis.

Pavyzdys: f(x)=x³ yra bijekcija. 2 paveikslas ir 5 paveikslas plona geltona kreivė. Jos atvirkštinė funkcija yra kubinių šaknų funkcija f(x)= ∛x ir ji taip pat yra bijekcija f(x):ℝ→ℝ. 5 paveikslėlis: stora žalia kreivė.

Pavyzdys: Kvadratinė funkcija f(x) = x² nėra bijekcija (iš ℝ→ℝ). 3 paveikslas. Tai nėra surjekcija. Tai nėra injekcija. Tačiau galime apriboti ir jos sritį, ir kodinę sritį iki neneigiamų skaičių aibės (0,+∞), kad gautume (apverčiamą) bijekciją (žr. pavyzdžius toliau).

• domenas
• funkcijų mašina
• codomain

Pavyzdys: Tarkime, kad mūsų funkcijos mašina yra f(x)=x².

• Ši mašina ir domenas=ℝ ir kodomenas=ℝ nėra surjekcija ir injekcija. Tačiau,
• toje pačioje mašinoje ir domenas=[0,+∞), ir kodas=[0,+∞) yra ir siurjekcija, ir injekcija, taigi ir bijekcija.

Bijekcijos ir jų priešingybės

Tegul f(x):A→B, kur A ir B yra ℝ poaibiai.

• Tarkime, kad f nėra bijekcija. Bet kuriam x, kuriame egzistuoja f išvestinė ir ji nėra lygi nuliui, yra x apylinkė, kurioje galime apriboti f sritį ir kod sritį, kad jos būtų dvinarė.
• Atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y=x atžvilgiu. (Taip pat žr. Atvirkštinė funkcija.)

Pavyzdys: Kvadratinė funkcija, apibrėžta ribotoje srityje ir kodomenoje [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} apibrėžta f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

yra bijekcija. 6 paveikslėlis: plona geltona kreivė.

Pavyzdys: Kvadratinės šaknies funkcija, apibrėžta ribotoje srityje ir kodomenoje [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} apibrėžta f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

yra bijekcija, apibrėžta kaip atvirkštinė kvadratinės funkcijos funkcija: x² . 6 paveikslas: stora žalia kreivė.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} apibrėžta f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}

yra bijekcija. 4 paveikslėlis: plona geltona kreivė (a=10).

Pavyzdys: Logaritminės funkcijos pagrindas a, apibrėžtas ribotoje srityje (0,+∞) ir kodinėje srityje ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} } apibrėžta f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1}

yra bijekcija, apibrėžta kaip atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija: a^x . 4 paveikslas: stora žalia kreivė (a=10).

• Funkcija (matematika)
• Surjekcinė funkcija
• Injekcinė funkcija
• Atvirkštinė funkcija