Bijekcija (bijekcinė funkcija) – apibrėžimas ir savybės
Bijekcija (bijekcinė funkcija) – aiškus apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai: 1-1 korespondencija, injekcija ir surjekcija suprantamai.
Matematikoje bijekcinė funkcija arba bijekcija - tai funkcija f : A → B, kuri yra ir injekcija, ir surjekcija. Tai reiškia, kad kiekvienam kodinės srities B elementui b yra lygiai vienas A srities elementas a toks, kad f(a)=b. Kitas bijekcijos pavadinimas yra 1-1 korespondencija.
Terminą bijekcija ir su juo susijusius terminus surjekcija ir injekcija įvedė Nikolajus Burbakis (Nicholas Bourbaki). XX a. trečiajame dešimtmetyje jis kartu su grupe kitų matematikų išleido šiuolaikinės pažangiosios matematikos knygų seriją.
Papildomas apibrėžimas ir pasekmės
Bijekcija yra funkcija, kuri sukuria vien-to-vien tikslų atitikimą tarp elementų iš pradinės srities A ir vaizdų srities B. Iš šio apibrėžimo seka kelios svarbios pasekmės:
- Jeigu f yra bijekcija, tai kiekvienas b iš B turi tik vieną priešvaizdį a iš A.
- Bijekcija egzistuoja tik tada, kai A ir B turi „tą pačią dydį“ (t. y. yra ekvivalentūs pagal kardinalumą).
- Jeigu A yra galutinis rinkinys, tada egzistavimas bijekcijos tarp A ir B reiškia, kad A ir B turi vienodą elementų skaičių.
Savybės
- Inverto egzistavimas: Funkcija f yra bijekcija tada ir tik tada, kai egzistuoja unikali funkcija f-1 : B → A, vadinama atvirkštine funkcija, tokia, kad f-1(f(a)) = a visiems a∈A ir f(f-1(b)) = b visiems b∈B.
- Kompozicija: Jei f: A→B ir g: B→C yra bijekcijos, tai jų kompozicija g∘f: A→C taip pat yra bijekcija. Be to, (g∘f)-1 = f-1∘g-1.
- Panašumas (ekvivalencija pagal kardinalumą): Būtent bijekcijos leidžia apibrėžti, kada du rinkinių dydžiai laikomi lygiais (t. y. turi tą patį kardinalumą).
- Permutacijos: Bijekcija iš A į patį save (t. y. f: A→A) vadinama permutacija, jei A yra galutinis rinkinys.
Atvirkštinė funkcija ir simbolika
Atvirkštinė funkcija paprastai žymima f-1. Reikia atkreipti dėmesį į dviprasmybę:
- f-1 gali reikšti atvirkštinę funkciją (kai f yra bijekcija), t. y. vienalytę žemėlapį iš B atgal į A.
- Taip pat f-1(S) gali reikšti priešvaizdį (preimage) tam tikroje S ⊆ B, net jei f nėra bijekcija. Ši sąvoka reiškia visų a∈A, kuriems f(a)∈S, rinkinį.
Patikrinimo metodai
- Injektyvumo patikra: Parodyti, kad jeigu f(a1) = f(a2), tai a1 = a2.
- Surjektyvumo patikra: Parodyti, kad kiekvienam b∈B egzistuoja a∈A su f(a) = b.
- Horizontalios linijos testas: Realiųjų skaičių funkcijoms f: R→R gali padėti vizualus horizontalios linijos testas — jei kiekviena horizontalioji linija kertanti parinktį grafikas kerta ją ne daugiau kaip vieną kartą, funkcija yra injektyvi. Reikalingas ir surjektyvumas į visą R, kad būtų bijekcija.
- Galutiniai rinkiniai: Jei A ir B yra galutiniai ir |A| = |B|, bijekcijos egzistavimas yra lygiavertis faktui, kad bet kuri injekcija iš A į B yra surjekcija (ir atvirkščiai).
Pavyzdžiai
- Skaičių aibės: f(x) = x + 1 yra bijekcija iš Z į Z (čia Z — sveikieji skaičiai). f(x) = x^3 yra bijekcija iš R į R, o f(x) = x^2 nėra bijekcija iš R į R (nes neinjektyvi ir ne surjektyvi į visus R).
- Intervalai: Eksponentinė funkcija f(x) = e^x yra bijekcija iš R į (0,∞), bet ne į visą R.
- Baigtiniai rinkiniai: Funkcija, kuri pertvarko elementus {1,2,3} į {a,b,c} pagal taisyklę 1↦a, 2↦b, 3↦c, yra bijekcija.
Taikymas: kardinalumas ir skaičiavimai
Bijekcijos naudojamos lyginant skirtingų rinkinių dydžius. Du rinkiniai turi tą patį kardinalumą tada ir tik tada, kai egzistuoja bijekcija tarp jų. Šis požiūris leidžia aptarti begalinius rinkinius, pvz., parodyti, kad natūraliųjų skaičių aibė N ir sveikųjų skaičių aibė Z turi tą patį kardinalumą (egzistuoja bijekcija).
Topologinė pastaba
Jeigu f yra bijekcija tarp topologinių erdvių ir yra kontinuumo tipo (t. y. nuosekli), tai nebūtinai reiškia, kad f-1 yra kontinuoma. Tačiau, pavyzdžiui, kontinuoma bijekcija iš kompaktiškos erdvės į Hausdorfo erdvę yra homeomorfizmas (t. y. jos atvirkštinė taip pat kontinuoma).
Santrauka
Bijekcija yra pagrindinė sąvoka matematinėje analizėje, algebroje ir teorinėje matematikoje, leidžianti nustatyti vienareikšmišką atitikimą tarp dviejų rinkinių. Ji užtikrina inverto egzistavimą, susieja kardinalumo sąvokas ir yra kertinė priemonė, dirbant su permutacijomis, skaičiavimo teorija bei funkcijų tyrimu.
Pagrindinės savybės
Oficialiai:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
yra bijektyvi funkcija, jei ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}
yra unikalus a ∈ A {\displaystyle a\in A}
toks, kad f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementas b {\displaystyle b}
vadinamas elemento a {\displaystyle a}
atvaizdu.
- Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas yra lygiai vieno srities A elemento atvaizdas.
Elementas a {\displaystyle a} vadinamas elemento b {\displaystyle b} išankstiniu atvaizdu.
- Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas turi lygiai vieną pirmavaizdį srityje A.
Pastaba: "Surjekcija" reiškia mažiausiai vieną išankstinį vaizdą. Injekcija reiškia ne daugiau kaip vieną išankstinį vaizdą. Taigi bijekcija reiškia lygiai vieną išankstinį atvaizdą.
Kardinalumas
Kardinalumas - tai aibės elementų skaičius. A={X,Y,Z,W} kardinalumas yra 4. Rašome #A=4.
- Apibrėžimas: Dvi aibės A ir B yra vienodo kardinalumo, jei tarp jų egzistuoja bijekcija. Taigi #A=#B reiškia, kad yra bijekcija iš A į B.
Bijekcijos ir atvirkštinės funkcijos
- Bijekcijos yra apverčiamos apverčiant rodykles. Nauja funkcija vadinama atvirkštine funkcija.
Oficialiai: Tegul f : A → B yra bijekcija. Atvirkštinė funkcija g : B → A apibrėžiama taip: jei f(a)=b, tai g(b)=a. (Taip pat žr. Atvirkštinė funkcija.)
- Atvirkštinės funkcijos atvirkštinė funkcija yra pradinė funkcija.
- Funkcija turi atvirkštinę funkciją tada ir tik tada, kai ji yra bijekcija.
Pastaba: atvirkštinės funkcijos f užrašymas yra painus. Būtent,
f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}
reiškia atvirkštinę funkcijos f funkciją, bet x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}
reiškia skaičiaus x atvirkštinę vertę.
Pavyzdžiai
Elementarios funkcijos
Tegul f(x):ℝ→→ℝ yra realiosios reikšmės funkcija y=f(x), kurios realusis argumentas yra x. (Tai reiškia, kad ir įėjimas, ir išėjimas yra skaičiai.)
- Grafinė reikšmė: Funkcija f yra bijekcija, jei kiekviena horizontali tiesė kerta f grafiką lygiai viename taške.
- Algebrinė reikšmė: Funkcija f yra bijekcija, jei kiekvienam realiajam skaičiui yo galime rasti bent vieną realųjį skaičių xo tokį, kad yo =f(xo ) ir jei f(xo )=f(x1 ) reiškia xo =x1 .
Įrodyti, kad funkcija yra bijekcija, reiškia įrodyti, kad ji yra ir siurjekcija, ir injekcija. Taigi formalūs įrodymai retai būna lengvi. Toliau aptarsime ir neįrodysime. (Žr. siurjekciją ir injekciją.)
Pavyzdys: Tiesinė įstrižos linijos funkcija yra bijekcija. T. y. y=ax+b, kur a≠0 yra bijekcija.
Diskusijos: Kiekviena horizontali tiesė kerta nuožulniąją tiesę lygiai viename taške (žr. įrodymus: "Surjekcija" ir "Injekcija"). 1 paveikslėlis.
Pavyzdys: f(x)=x3 yra bijekcija. 2 paveikslas ir 5 paveikslas plona geltona kreivė. Jos atvirkštinė funkcija yra kubinių šaknų funkcija f(x)= ∛x ir ji taip pat yra bijekcija f(x):ℝ→ℝ. 5 paveikslėlis: stora žalia kreivė.
Pavyzdys: Kvadratinė funkcija f(x) = x2 nėra bijekcija (iš ℝ→ℝ). 3 paveikslas. Tai nėra surjekcija. Tai nėra injekcija. Tačiau galime apriboti ir jos sritį, ir kodinę sritį iki neneigiamų skaičių aibės (0,+∞), kad gautume (apverčiamą) bijekciją (žr. pavyzdžius toliau).
Pastaba: tai parodo paskutinis pavyzdys. Norėdami nustatyti, ar funkcija yra bijekcija, turime žinoti tris dalykus:
- domenas
- funkcijų mašina
- codomain
Pavyzdys: Tarkime, kad mūsų funkcijos mašina yra f(x)=x².
- Ši mašina ir domenas=ℝ ir kodomenas=ℝ nėra surjekcija ir injekcija. Tačiau,
- toje pačioje mašinoje ir domenas=[0,+∞), ir kodas=[0,+∞) yra ir siurjekcija, ir injekcija, taigi ir bijekcija.
Bijekcijos ir jų priešingybės
Tegul f(x):A→B, kur A ir B yra ℝ poaibiai.
- Tarkime, kad f nėra bijekcija. Bet kuriam x, kuriame egzistuoja f išvestinė ir ji nėra lygi nuliui, yra x apylinkė, kurioje galime apriboti f sritį ir kod sritį, kad jos būtų dvinarė.
- Atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y=x atžvilgiu. (Taip pat žr. Atvirkštinė funkcija.)
Pavyzdys: Kvadratinė funkcija, apibrėžta ribotoje srityje ir kodomenoje [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}
apibrėžta f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 
yra bijekcija. 6 paveikslėlis: plona geltona kreivė.
Pavyzdys: Kvadratinės šaknies funkcija, apibrėžta ribotoje srityje ir kodomenoje [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} apibrėžta f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 
yra bijekcija, apibrėžta kaip atvirkštinė kvadratinės funkcijos funkcija: x2 . 6 paveikslas: stora žalia kreivė.
Pavyzdys: Eksponentinė funkcija, apibrėžta srityje ℝ ir apribotoje kodinėje srityje (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )}
apibrėžta f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1} 
yra bijekcija. 4 paveikslėlis: plona geltona kreivė (a=10).
Pavyzdys: Logaritminės funkcijos pagrindas a, apibrėžtas ribotoje srityje (0,+∞) ir kodinėje srityje ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} }
apibrėžta f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} 
yra bijekcija, apibrėžta kaip atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija: ax . 4 paveikslas: stora žalia kreivė (a=10).
| Dvipusė sankirta: kiekviena vertikalioji linija (srityje) ir kiekviena horizontalioji linija (bendroje srityje) kerta lygiai vieną grafo tašką. | ||
|
1. Dvipusė injekcija. Visos įstrižosios tiesės yra bijekcijos f(x):ℝ→ℝ. |
2. Dvipusė sandauga. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² nėra surjekcija. Ji nėra injekcija. |
|
4. Dvipusės funkcijos. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (plona geltona spalva) ir jos atvirkštinė f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (stora žalia spalva). |
5. Bijekcijos. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (plona geltona spalva) ir atvirkštinė f(x)=∛x (stora žalia spalva). |
6. Bijekcijos. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (plona geltona spalva) ir jo atvirkštinė f(x)=√x (stora žalia spalva). |
Susiję puslapiai
- Funkcija (matematika)
- Surjekcinė funkcija
- Injekcinė funkcija
- Atvirkštinė funkcija
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra bijektyvi funkcija?
Atsakymas: Bijekcinė funkcija, dar vadinama bijekcija, yra matematinė funkcija, kuri yra ir injekcija, ir surjekcija.
K: Ką reiškia, kad funkcija yra injekcija?
A: Injekcija reiškia, kad bet kurių dviejų elementų a ir a' srityje A atveju, jei f(a)=f(a'), tai a=a'.
K: Ką reiškia, kad funkcija yra surjekcija?
Atsakymas: Surjekcija reiškia, kad kiekvienam kodinės srities B elementui b yra bent vienas srities A elementas a, toks, kad f(a)=b.
K: Koks yra lygiavertis teiginys bijekcijai?
A: Ekvivalentinis bijekcijos teiginys reiškia, kad kiekvienam kodinės srities B elementui b yra lygiai vienas srities A elementas a, toks, kad f(a)=b.
K: Kaip kitaip vadinama bijekcija?
A: Bijekcija dar vadinama "1-1 atitikimu" arba "vienas su vienu atitikimu".
K: Kas įvedė terminus bijekcija, siurjekcija ir injekcija?
A: Terminus bijekcija, siurjekcija ir injekcija įvedė Nikolas Burbakis (Nicolas Bourbaki) ir grupė kitų matematikų XX a. trečiajame dešimtmetyje.
K: Ką Bourbaki ir kiti matematikai paskelbė XX a. ketvirtajame dešimtmetyje?
A: Bourbaki ir kiti matematikai išleido nemažai knygų apie šiuolaikinę pažangiąją matematiką.
Ieškoti