Siurjekcija

Pagrindinės savybės

Oficialiai:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} yra siurjektyvi funkcija, jei ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\egzistuoja a\in A} tokia, kad f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Elementas b {\displaystyle b} vadinamas elemento a {\displaystyle a} atvaizdu.

• Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas yra bent vieno srities A elemento atvaizdas.

Elementas a {\displaystyle a} vadinamas elemento b {\displaystyle b} išankstiniu atvaizdu.

• Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas turi bent vieną pirmavaizdį srityje A.

Išankstinis vaizdas nebūtinai turi būti unikalus. Viršutiniame paveikslėlyje ir {X}, ir {Y} yra elemento {1} išankstiniai atvaizdai. Svarbu tik, kad būtų bent vienas išankstinis atvaizdas. (Taip pat žr.: injekcinė funkcija, bijekcinė funkcija)

Pavyzdžiai

Elementarios funkcijos

Tegul f(x):ℝ→→ℝ yra realiosios reikšmės funkcija y=f(x), kurios realusis argumentas yra x. (Tai reiškia, kad ir įėjimas, ir išėjimas yra skaičiai.)

• Grafinė reikšmė: Funkcija f yra siurjekcija, jei kiekviena horizontali tiesė kerta f grafiką bent viename taške.
• Analitinė reikšmė: Funkcija f yra siurjekcija, jei kiekvienam realiajam skaičiui y_o galime rasti bent vieną realųjį skaičių x _otokį, kad y=f_o(x_o).

Pavyzdys: Tiesinė pasvirusios linijos funkcija yra ant. T. y. y=ax+b, kur a≠0 yra surjekcija. (Ji taip pat yra injekcija, taigi ir bijekcija.)

Įrodymas: Kadangi a≠0, gauname x= (y-b_oo)/_a. Tai reiškia, kad x=_o(y-b_o)/_a yra išankstinis y_o atvaizdas. Tai įrodo, kad funkcija y=ax+b, kur a≠0, yra surjekcija. (Kadangi yra lygiai vienas priešdėlis, ši funkcija taip pat yra injekcija.)

Praktinis pavyzdys: y= -2x+4. Koks yra y=2 pirmavaizdis? Sprendimas: Čia a= -2, t. y. a≠0, ir klausimas yra toks: Kokiam x yra y=2? Įstatykime y=2 į funkciją. Gauname x=1, t. y. y(1)=2. Taigi atsakymas yra toks: x=1 yra y=2 pirmavaizdis.

Pavyzdys: Kubinis trečio laipsnio polinomas f(x)=x-3x³ yra siurjekcija.

Diskusijos: Kubinė lygtis x-3x-y=0³_o turi realius koeficientus (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Kiekviena tokia kubinė lygtis turi bent vieną realiąją šaknį. Kadangi daugianario sritis yra ℝ, vadinasi, toje srityje yra bent vienas priešdėlis x_o. Tai reiškia, kad (x₀)³-3x-y=0_0o. Taigi funkcija yra surjekcija. (Tačiau ši funkcija nėra injekcija. Pavyzdžiui, y=2_o turi 2 išankstinius atvaizdus: x=-1 ir x=2. Tiesą sakant, kiekvienas y, -2≤y≤2 turi bent 2 išankstinius atvaizdus.)

Pavyzdys: Kvadratinė funkcija f(x) = x² nėra surjekcija. Nėra tokio x, kad x ²= -1. x² intervalas yra [0,+∞) , t. y. neneigiamų skaičių aibė. (Be to, ši funkcija nėra injekcija.)

Pastaba: Nesurjektyvią funkciją galima paversti siurjekcija, apribojant jos kodinę sritį jos intervalo elementais. Pavyzdžiui, nauja funkcija f_N(x):ℝ → [0,+∞), kur f_N(x) = x², yra surjektyvi funkcija. (Tai ne tas pats, kas funkcijos, kuri apriboja sritį, restrikcija!)

Pavyzdys: Eksponentinė funkcija f(x) = 10^x nėra siurjekcija. Intervalas yra 10^x(0,+∞), t. y. teigiamų skaičių aibė. (Ši funkcija yra injekcija.)

Kiti pavyzdžiai su realiosiomis funkcijomis

Pavyzdys: logaritminė funkcija 10 bazės f(x):(0,+∞)→ℝ, apibrėžta f(x)=log(x) arba y=log₁₀(x), yra surjekcija (ir injekcija). (Tai yra atvirkštinė 10 ^xfunkcija.)

• Dekartinės sandaugos A × B projekcija į vieną iš jos veiksnių yra surjekcija.

Pavyzdys: Funkcija f((x,y)):ℝ²→ℝ, apibrėžta z=y, yra surjekcija. Jos grafas yra plokštuma trimatėje erdvėje. Z_o pirmavaizdis yra tiesė y=z_o plokštumoje xy. 0

• 3D žaidimuose trimatė erdvė projektuojama į dvimatį ekraną su projekcija.

Susiję puslapiai

• Funkcija (matematika)
• Injekcinė funkcija
• Bijektyvioji funkcija