Matematikoje siurjektyvioji arba onto funkcija — tai funkcija f : A → B, turinti tokią savybę: kiekvienam srities B elementui b yra bent vienas srities A elementas a, toks, kad f(a) = b. Kitaip sakant, f padengia visą savo kodinę sritį — f(A) = B. Dažnai rašoma trumpiau: image(f) = B. Ši savybė reiškia, kad kiekvienam b ∈ B egzistuoja bent vienas a ∈ A su f(a) = b.

Sąvoką surjekcija ir su ja susijusias sąvokas injekcija ir bijekcija įvedė matematikų grupė, pasivadinusi Nikolajumi Burbakiu. XX a. trečiajame dešimtmetyje ši matematikų grupė išleido seriją knygų apie šiuolaikinę pažangiąją matematiką. Prancūziškas priešdėlis sur reiškia virš arba ant ir buvo pasirinktas todėl, kad siurjektyvioji funkcija savo sritį perkelia į savo kodinę sritį.

Formalesnis apibrėžimas ir žymėjimai

Funkcija f: A → B yra surjektyvi, jei

∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A : f(a) = b.

Kartais žymima f: A ↠ B (dviguba rodyklė) arba sakoma "f yra surjekcija iš A į B".

Pagrindinės savybės

  • Image ir kodinė sritis sutampa: f(A) = B.
  • Prevaizdė (angl. preimage) kiekvienam b ∈ B nėra tuščia: f⁻¹({b}) ≠ ∅ visiems b.
  • Kompozicija: jeigu f: A → B ir g: B → C yra surjektyvios, tai g ∘ f: A → C taip pat yra surjektyvi.
  • Ryšys su inversija: funkcija f yra surjektyvi tada ir tik tada, kai egzistuoja g: B → A tokia, kad f ∘ g = id_B. Tokia g vadinama dešiniąja inversija (right inverse). (Reikėtų pažymėti, kad bendrame ZF aksiomos kontekste tokios g egzistavimas už visų atvejų gali reikalauti pasirinkimo aksiomos — AC.)
  • Jei A ir B yra baigtinės aibės, tai surjekcija f: A → B reiškia |A| ≥ |B|. Jeigu f yra bijektyvi, tada |A| = |B|.

Patikra, ar funkcija yra surjektyvi

  • Analitiškai: užrašykite lygtį f(x) = b ir parodykite, kad kiekvienam b ∈ B egzistuoja bent vienas sprendinys x ∈ A.
  • Vaizdiniu: braižant grafiką (pvz., realiųjų skaičių atveju), surjektyvi funkcija į R turi užimti visus vertikalius lygius — jos reikšmės apima visą R arba nurodytą kodinę sritį.
  • Baigtinių aibių atveju pakanka parodyti, kad vaizdų skaičius lygus kodinės srities elementų skaičiui ir kiekvienas elementas yra pasiektas.

Pavyzdžiai

  • f: R → R, f(x) = x³ — surjektyvi (kiekvienam realiam b sprendinys x = ∛b).
  • f: R → R, f(x) = eˣ — nėra surjektyvi į R, nes reikšmės yra tik (0, ∞); bet ji yra surjektyvi kaip funkcija iš R į (0, ∞).
  • f: Z → Z, f(n) = 2n — nėra surjektyvi į Z, nes negalima gauti nelyginių skaičių; tačiau ji yra surjektyvi iš Z į parinių skaičių aibę.
  • Baigtinis pavyzdys: f: {1,2,3} → {a,b}, apibrėžta f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a — ši f yra surjektyvi, nes tiek a, tiek b turi priešvaizdžius.
  • Begalinės aibės: egzistuoja surjekcija N → Z (natūralių skaičių surjekcija į visus sveikuosius), taip pat N → Q; todėl surjektyvios funkcijos gali jungti skirtingas begalines kardinalybes.

Ryšiai su kitomis sąvokomis

  • Injektyvumas (vienareikšmiškumas) ir surjektyvumas kartu duoda bijekciją — tokiu atveju egzistuoja abipusė inversija g: B → A su g ∘ f = id_A ir f ∘ g = id_B.
  • Surjektyvi funkcija turi dešinę inversiją (f ∘ g = id_B). Egzistavimas tokios dešinės inversijos be papildomų prielaidų dažnai reikalauja pasirinkimo aksiomos, kai B yra didelė aibė.

Pastebėjimai ir patarimai

  • Visada aiškiai nurodykite funkcijos kodinę sritį — funkcija gali būti surjektyvi arba nesurjektyvi priklausomai nuo to, į kokią aibę žiūrima (pvz., eˣ nėra surjektyvi į R, bet yra surjektyvi į (0,∞)).
  • Norėdami parodyti, kad funkcija nėra surjektyvi, pakanka rasti bent vieną elementą b ∈ B, kuris neturi priešvaizdžio.

Santrauka: siurjektyvioji funkcija apibrėžiama taip, kad jos vaizdų aibė sutampa su kodine sritimi; tai pagrindinė funkcijų savybė, svarbi funkcijų tipologijoje ir aibių teorijoje, kartu susijusi su injektyvumu, bijektyvumu ir egzistencijos sąlygomis inversinėms funkcijoms.