Surjekcija (surjektyvi funkcija): apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai
Surjekcija (surjektyvi funkcija): aiškus apibrėžimas, pagrindinės savybės ir iliustruojantys pavyzdžiai — greita, suprantama medžiaga studentams ir mokytojams.
Matematikoje siurjektyvioji arba onto funkcija — tai funkcija f : A → B, turinti tokią savybę: kiekvienam srities B elementui b yra bent vienas srities A elementas a, toks, kad f(a) = b. Kitaip sakant, f padengia visą savo kodinę sritį — f(A) = B. Dažnai rašoma trumpiau: image(f) = B. Ši savybė reiškia, kad kiekvienam b ∈ B egzistuoja bent vienas a ∈ A su f(a) = b.
Sąvoką surjekcija ir su ja susijusias sąvokas injekcija ir bijekcija įvedė matematikų grupė, pasivadinusi Nikolajumi Burbakiu. XX a. trečiajame dešimtmetyje ši matematikų grupė išleido seriją knygų apie šiuolaikinę pažangiąją matematiką. Prancūziškas priešdėlis sur reiškia virš arba ant ir buvo pasirinktas todėl, kad siurjektyvioji funkcija savo sritį perkelia į savo kodinę sritį.
Formalesnis apibrėžimas ir žymėjimai
Funkcija f: A → B yra surjektyvi, jei
∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A : f(a) = b.
Kartais žymima f: A ↠ B (dviguba rodyklė) arba sakoma "f yra surjekcija iš A į B".
Pagrindinės savybės
- Image ir kodinė sritis sutampa: f(A) = B.
- Prevaizdė (angl. preimage) kiekvienam b ∈ B nėra tuščia: f⁻¹({b}) ≠ ∅ visiems b.
- Kompozicija: jeigu f: A → B ir g: B → C yra surjektyvios, tai g ∘ f: A → C taip pat yra surjektyvi.
- Ryšys su inversija: funkcija f yra surjektyvi tada ir tik tada, kai egzistuoja g: B → A tokia, kad f ∘ g = id_B. Tokia g vadinama dešiniąja inversija (right inverse). (Reikėtų pažymėti, kad bendrame ZF aksiomos kontekste tokios g egzistavimas už visų atvejų gali reikalauti pasirinkimo aksiomos — AC.)
- Jei A ir B yra baigtinės aibės, tai surjekcija f: A → B reiškia |A| ≥ |B|. Jeigu f yra bijektyvi, tada |A| = |B|.
Patikra, ar funkcija yra surjektyvi
- Analitiškai: užrašykite lygtį f(x) = b ir parodykite, kad kiekvienam b ∈ B egzistuoja bent vienas sprendinys x ∈ A.
- Vaizdiniu: braižant grafiką (pvz., realiųjų skaičių atveju), surjektyvi funkcija į R turi užimti visus vertikalius lygius — jos reikšmės apima visą R arba nurodytą kodinę sritį.
- Baigtinių aibių atveju pakanka parodyti, kad vaizdų skaičius lygus kodinės srities elementų skaičiui ir kiekvienas elementas yra pasiektas.
Pavyzdžiai
- f: R → R, f(x) = x³ — surjektyvi (kiekvienam realiam b sprendinys x = ∛b).
- f: R → R, f(x) = eˣ — nėra surjektyvi į R, nes reikšmės yra tik (0, ∞); bet ji yra surjektyvi kaip funkcija iš R į (0, ∞).
- f: Z → Z, f(n) = 2n — nėra surjektyvi į Z, nes negalima gauti nelyginių skaičių; tačiau ji yra surjektyvi iš Z į parinių skaičių aibę.
- Baigtinis pavyzdys: f: {1,2,3} → {a,b}, apibrėžta f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a — ši f yra surjektyvi, nes tiek a, tiek b turi priešvaizdžius.
- Begalinės aibės: egzistuoja surjekcija N → Z (natūralių skaičių surjekcija į visus sveikuosius), taip pat N → Q; todėl surjektyvios funkcijos gali jungti skirtingas begalines kardinalybes.
Ryšiai su kitomis sąvokomis
- Injektyvumas (vienareikšmiškumas) ir surjektyvumas kartu duoda bijekciją — tokiu atveju egzistuoja abipusė inversija g: B → A su g ∘ f = id_A ir f ∘ g = id_B.
- Surjektyvi funkcija turi dešinę inversiją (f ∘ g = id_B). Egzistavimas tokios dešinės inversijos be papildomų prielaidų dažnai reikalauja pasirinkimo aksiomos, kai B yra didelė aibė.
Pastebėjimai ir patarimai
- Visada aiškiai nurodykite funkcijos kodinę sritį — funkcija gali būti surjektyvi arba nesurjektyvi priklausomai nuo to, į kokią aibę žiūrima (pvz., eˣ nėra surjektyvi į R, bet yra surjektyvi į (0,∞)).
- Norėdami parodyti, kad funkcija nėra surjektyvi, pakanka rasti bent vieną elementą b ∈ B, kuris neturi priešvaizdžio.
Santrauka: siurjektyvioji funkcija apibrėžiama taip, kad jos vaizdų aibė sutampa su kodine sritimi; tai pagrindinė funkcijų savybė, svarbi funkcijų tipologijoje ir aibių teorijoje, kartu susijusi su injektyvumu, bijektyvumu ir egzistencijos sąlygomis inversinėms funkcijoms.
Pagrindinės savybės
Oficialiai:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} yra
siurjektyvi funkcija, jei ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\egzistuoja a\in A} tokia
, kad f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementas b {\displaystyle b}
vadinamas elemento a {\displaystyle a}
atvaizdu.
- Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas yra bent vieno srities A elemento atvaizdas.
Elementas a {\displaystyle a} vadinamas elemento b {\displaystyle b} išankstiniu atvaizdu.
- Oficialus apibrėžimas reiškia: Kiekvienas kodinės srities B elementas turi bent vieną pirmavaizdį srityje A.
Išankstinis vaizdas nebūtinai turi būti unikalus. Viršutiniame paveikslėlyje ir {X}, ir {Y} yra elemento {1} išankstiniai atvaizdai. Svarbu tik, kad būtų bent vienas išankstinis atvaizdas. (Taip pat žr.: injekcinė funkcija, bijekcinė funkcija)
Pavyzdžiai
Elementarios funkcijos
Tegul f(x):ℝ→→ℝ yra realiosios reikšmės funkcija y=f(x), kurios realusis argumentas yra x. (Tai reiškia, kad ir įėjimas, ir išėjimas yra skaičiai.)
- Grafinė reikšmė: Funkcija f yra siurjekcija, jei kiekviena horizontali tiesė kerta f grafiką bent viename taške.
- Analitinė reikšmė: Funkcija f yra siurjekcija, jei kiekvienam realiajam skaičiui yo galime rasti bent vieną realųjį skaičių x otokį, kad y=fo(xo).
Bet kuriam iš šių klausimų lygiavertiška rasti išankstinį atvaizdą xo duotajam y: o
- Ar lygtis f(x)-y=0o turi sprendinį? arba
- Ar funkcija f(x)-yo turi šaknį?
Matematikoje tikslias (analitines) šaknis galime rasti tik pirmojo, antrojo (ir trečiojo) laipsnio polinomams. Visų kitų funkcijų šaknis randame apytiksliai (skaitine išraiška). Tai reiškia, kad formalus surjektyvumo įrodymas retai būna tiesioginis. Todėl toliau pateiktos diskusijos yra neoficialios.
Pavyzdys: Tiesinė pasvirusios linijos funkcija yra ant. T. y. y=ax+b, kur a≠0 yra surjekcija. (Ji taip pat yra injekcija, taigi ir bijekcija.)
Įrodymas: Kadangi a≠0, gauname x= (y-boo)/a. Tai reiškia, kad x=o(y-bo)/a yra išankstinis yo atvaizdas. Tai įrodo, kad funkcija y=ax+b, kur a≠0, yra surjekcija. (Kadangi yra lygiai vienas priešdėlis, ši funkcija taip pat yra injekcija.)
Praktinis pavyzdys: y= -2x+4. Koks yra y=2 pirmavaizdis? Sprendimas: Čia a= -2, t. y. a≠0, ir klausimas yra toks: Kokiam x yra y=2? Įstatykime y=2 į funkciją. Gauname x=1, t. y. y(1)=2. Taigi atsakymas yra toks: x=1 yra y=2 pirmavaizdis.
Pavyzdys: Kubinis trečio laipsnio polinomas f(x)=x-3x3 yra siurjekcija.
Diskusijos: Kubinė lygtis x-3x-y=03o turi realius koeficientus (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Kiekviena tokia kubinė lygtis turi bent vieną realiąją šaknį. Kadangi daugianario sritis yra ℝ, vadinasi, toje srityje yra bent vienas priešdėlis xo. Tai reiškia, kad (x0)3-3x-y=00o. Taigi funkcija yra surjekcija. (Tačiau ši funkcija nėra injekcija. Pavyzdžiui, y=2o turi 2 išankstinius atvaizdus: x=-1 ir x=2. Tiesą sakant, kiekvienas y, -2≤y≤2 turi bent 2 išankstinius atvaizdus.)
Pavyzdys: Kvadratinė funkcija f(x) = x2 nėra surjekcija. Nėra tokio x, kad x 2= -1. x² intervalas yra [0,+∞) , t. y. neneigiamų skaičių aibė. (Be to, ši funkcija nėra injekcija.)
Pastaba: Nesurjektyvią funkciją galima paversti siurjekcija, apribojant jos kodinę sritį jos intervalo elementais. Pavyzdžiui, nauja funkcija fN(x):ℝ → [0,+∞), kur fN(x) = x2, yra surjektyvi funkcija. (Tai ne tas pats, kas funkcijos, kuri apriboja sritį, restrikcija!)
Pavyzdys: Eksponentinė funkcija f(x) = 10x nėra siurjekcija. Intervalas yra 10x(0,+∞), t. y. teigiamų skaičių aibė. (Ši funkcija yra injekcija.)
|
Surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (ir injekcija) |
Surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne injekcija) |
Ne siurjekcija. f(x):ℝ→ℝ (nei injekcija) |
|
Ne siurjekcija. f(x):ℝ→ℝ (bet yra injekcija) |
Surjekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (ir injekcija) |
Surjekcija. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Iš paveikslėlio matyti, kad z=2 pirmavaizdis yra tiesė y=2.) |
Kiti pavyzdžiai su realiosiomis funkcijomis
Pavyzdys: logaritminė funkcija 10 bazės f(x):(0,+∞)→ℝ, apibrėžta f(x)=log(x) arba y=log10(x), yra surjekcija (ir injekcija). (Tai yra atvirkštinė 10 xfunkcija.)
- Dekartinės sandaugos A × B projekcija į vieną iš jos veiksnių yra surjekcija.
Pavyzdys: Funkcija f((x,y)):ℝ²→ℝ, apibrėžta z=y, yra surjekcija. Jos grafas yra plokštuma trimatėje erdvėje. Zo pirmavaizdis yra tiesė y=zo plokštumoje xy. 0
- 3D žaidimuose trimatė erdvė projektuojama į dvimatį ekraną su projekcija.
Susiję puslapiai
Klausimai ir atsakymai
K: Kas matematikoje yra surjektyvioji funkcija?
A: Surjektyvioji funkcija matematikoje - tai funkcija f: A → B, turinti tokią savybę, kad kiekvienam B srities elementui b yra bent vienas A srities elementas a toks, kad f(a)=b.
K: Kokia yra surjektyviosios funkcijos reikšmė matematikoje?
A: Surjektyvioji funkcija užtikrina, kad nė vienas kodinės srities elementas nėra neapibrėžtas ir kad f sritis ir kodinė sritis yra ta pati aibė.
K: Kokia yra termino "surjekcija" kilmė?
A: Siurjekcijos terminą įvedė matematikų grupė, vadinama Nikolajumi Burbakiu.
K: Kokia prancūziškojo priešdėlio sur reikšmė žodyje surjective?
A: Prancūziškas priešdėlis sur reiškia virš arba ant.
K: Kodėl tokiai funkcijai apibūdinti buvo pasirinktas terminas "siurjektyvus"?
Atsakymas: Šiai funkcijai apibūdinti pasirinktas terminas "surjektyvi", nes surjektyvi funkcija savo sritį perkelia į savo sritį.
K: Kas XX a. ketvirtajame dešimtmetyje išleido knygų seriją apie šiuolaikinę pažangiąją matematiką?
A: XX a. trečiajame dešimtmetyje grupė matematikų, vadinamų Nikolajumi Burbakiu, išleido seriją knygų apie šiuolaikinę pažangiąją matematiką.
K: Kas yra injekcija ir bijekcija matematikoje?
Atsakymas: Injekcija ir bijekcija matematikoje yra giminingi terminai, susiję su surjekcija. Injekcijos funkcija užtikrina, kad jokie du srities elementai nebūtų atvaizduojami į tą patį kodinės srities elementą. Bijekcijos funkcija yra ir siurjektyvi, ir injekcinė.
Ieškoti