Injekcija (matematika)

Matematikoje injekcinė funkcija - tai funkcija f : A → B, turinti tokią savybę. Kiekvienam B srities B elementui b yra ne daugiau kaip vienas A srities elementas a toks, kad f(a)=b.

Injekcijos sąvoką ir su ja susijusias sąvokas surjekcija ir bijekcija įvedė Nikolajus Burbakis (Nicholas Bourbaki). XX a. trečiajame dešimtmetyje jis kartu su grupe kitų matematikų išleido šiuolaikinės pažangiosios matematikos knygų seriją.

Injekcinė funkcija dažnai vadinama 1-1 funkcija. Tačiau 1-1 korespondencija yra bijektyvi funkcija (ir injekcinė, ir siurjektyvi). Tai painu, todėl būkite atsargūs.

Pagrindinės savybės

Oficialiai:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ yra injekcinė funkcija, jei ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\ dešinioji rodyklė \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ arba lygiaverčiai

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ yra injekcinė funkcija, jei ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementas a {\displaystyle a} vadinamas elemento b {\displaystyle b} $b$ pirmavaizdžiu, jei f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Kiekvienam B elementui b injekcijos turi vieną arba nė vieno išankstinio atvaizdo.

Kardinalumas

Kardinalumas - tai aibės elementų skaičius. A={X,Y,Z,W} kardinalumas yra 4. Rašome #A=4.

Jei kodinės srities kardinalumas yra mažesnis už srities kardinalumą, funkcija negali būti injekcija. (Pavyzdžiui, nėra būdo atvaizduoti 6 elementus į 5 elementus be dublikato.)

Pavyzdžiai

Elementarios funkcijos

Tegul f(x):ℝ→→ℝ yra realiosios reikšmės funkcija y=f(x), kurios realusis argumentas yra x. (Tai reiškia, kad ir įėjimas, ir išėjimas yra realieji skaičiai.)

Grafinė reikšmė: Funkcija f yra injekcija, jei kiekviena horizontali tiesė kerta f grafiką ne daugiau kaip viename taške.
Algebrinė reikšmė: Funkcija f yra injekcija, jei f(x_o )=f(x₁ ) reiškia x_o =x₁ .

Pavyzdys: Nuožulniosios linijos tiesinė funkcija yra 1-1. T. y. y=ax+b, kur a≠0 yra injekcija. (Ji taip pat yra surjekcija, taigi ir bijekcija.)

Įrodymas: Tegul x_o ir x₁ yra realieji skaičiai. Tarkime, kad tiesė atvaizduoja šias dvi x reikšmes į tą pačią y reikšmę. Tai reiškia, kad a-x_o +b=a-x₁ +b. Iš abiejų pusių atimkite b. Gauname a-x_o =a-x₁ . Dabar abi puses padalykite iš a (nepamirškite a≠0). Gauname x_o =x₁ . Taigi įrodėme formalųjį apibrėžimą ir funkciją y=ax+b, kur a≠0 yra injekcija.

Pavyzdys: f(x)=x³ yra injekcija. Tačiau trečiojo laipsnio polinominė funkcija: f(x)=x³ -3x nėra injekcija.

1 diskusija: Bet kuri horizontali linija kerta grafiką

f(x)=x³ lygiai vieną kartą. (Be to, tai yra surjekcija.)

2 diskusija. Bet kuri horizontali tiesė tarp y=-2 ir y=2 kerta grafiką trijuose taškuose, todėl ši funkcija nėra injekcija. (Tačiau ji yra surjekcija.)

Pavyzdys: Kvadratinė funkcija f(x) = x² nėra injekcija.

Diskusijos: Bet kuri horizontali tiesė y=c, kur c>0, kerta grafiką dviejuose taškuose. Taigi ši funkcija nėra injekcija. (Taip pat tai nėra surjekcija.)

Pastaba: Neinjekcinę funkciją galima paversti injekcine, pašalinant dalį srities. Tai vadiname srities apribojimu. Pavyzdžiui, apribokite f(x)=x² sritį iki neneigiamų skaičių (teigiamų skaičių ir nulio). Apibrėžkite

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ kur f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Ši funkcija dabar yra injekcija. (Taip pat žr. funkcijos apribojimą.)

Pavyzdys: Eksponentinė funkcija f(x) = 10^x yra injekcija. (Tačiau tai nėra surjekcija.)

Diskusijos: Bet kuri horizontali tiesė kerta grafiką ne daugiau kaip viename taške. Horizontaliosios tiesės y=c, kai c>0, kerta jį lygiai viename taške. Horizontaliosios tiesės y=c, kai c≤0, nekerta grafiko nė viename taške.

Pastaba: Tai, kad eksponentinė funkcija yra injekcinė, galima panaudoti atliekant skaičiavimus.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Pavyzdys: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injekcija: jokia horizontali linija nekerta daugiau nei vieno grafiko taško

Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ir surjekcija)

Ne injekcija. f(x):ℝ→ℝ (yra siurjekcija)

Ne injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne siurjekcija)

Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne siurjekcija)

Injekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (ir surjekcija)

Kiti pavyzdžiai

Pavyzdys: logaritminė funkcija 10 bazės f(x):(0,+∞)→ℝ, apibrėžta f(x)=log(x) arba y=log₁₀ (x), yra injekcija (ir surjekcija). (Tai atvirkštinė funkcija 10^x .)

Pavyzdys: Funkcija f:ℕ→ℕ, kuri kiekvieną natūralųjį skaičių n atvaizduoja į 2n, yra injekcija. Kiekvienas lyginis skaičius turi lygiai vieną pirmavaizdį. Kiekvienas nelyginis skaičius neturi jokio pirmavaizdžio.

Susiję puslapiai

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra injekcinė funkcija matematikoje?

A: Injekcinė funkcija - tai funkcija f: A → B, turinti savybę, kad skirtingi srities elementai atvaizduojami į skirtingus srities elementus.

K: Koks yra ryšys tarp injekcinės funkcijos srities ir kodinės srities elementų?

A: Kiekvienam kodinės srities B elementui b yra ne daugiau kaip vienas srities A elementas a, toks, kad f(a)=b.

K: Kas įvedė terminus injekcija, surjekcija ir bijekcija?

A: Nikolajus Burbakis ir grupė kitų matematikų įvedė injekcijos, surjekcijos ir bijekcijos terminus.

K: Ką reiškia injekcinė funkcija?

A: Injekcinė funkcija reiškia, kad kiekvienas domeno A elementas atvaizduojamas į unikalų kodomeno B elementą.

K: Kuo injekcinė funkcija skiriasi nuo 1-1 atitikmens?

A: Injekcinė funkcija dažnai vadinama 1-1 (vienas su vienu) funkcija, tačiau ji skiriasi nuo 1-1 korespondencijos, kuri yra bijektyvi funkcija (ir injekcinė, ir siurjektyvi).

K: Kokia yra injekcinės funkcijos savybė?

A: Injekcinės funkcijos savybė yra ta, kad skirtingi srities elementai atvaizduojami į skirtingus srities elementus.

K: Kokia injekcinių funkcijų reikšmė matematikoje?

A: Injekcinės funkcijos yra svarbios daugelyje matematikos sričių, įskaitant topologiją, analizę ir algebrą, nes jos turi savybę, kad skirtingi srities elementai atvaizduojami į skirtingus kodinės srities elementus.