AlegsaOnline.com

Injekcinė funkcija (injekcija) — apibrėžimas ir pavyzdžiai

Sužinokite, kas yra injekcinė funkcija (injekcija): aiškus apibrėžimas, skirtumai su surjekcija ir bijekcija bei aiškūs pavyzdžiai matematikos supratimui.

Autorius: Leandro Alegsa Sukūrimo data: 2022 m. balandžio 20 d. Paskutinis atnaujinimas: 2025 m. gruodžio 14 d.

Matematikoje injekcinė funkcija — tai funkcija f : A → B, turinti tokią savybę: kiekvienam B srities elementui b yra ne daugiau kaip vienas A srities elementas a, toks kad f(a) = b. Kitais žodžiais, skirtingi argumentai turi skirtingas reikšmes. Ekvivalentiškas apibrėžimas yra:

Funkcija f yra injekcinė, jei iš f(a₁) = f(a₂) seka, kad a₁ = a₂.

Injekcijos sąvoką ir su ja susijusias sąvokas surjekcija ir bijekcija įvedė Nicolas Bourbaki (grupės pseudonimas). XX a. trečiajame dešimtmetyje ši grupė kartu su kitais autoriais pradėjo leisti modernios matematikos seriją.

Svarbios savybės

Vienareikšmiškumas: injekcinė funkcija nepriskiria vienai reikšmei kelių skirtingų argumentų.
Kairinė inversija: funkcija f yra injekcinė tuo ir vien tik tuo atveju, jei egzistuoja funkcija g : f(A) → A, tokia kad g ∘ f = id_A (t. y. g yra kairinė f inversija).
Sudėtis: jeigu g ∘ f yra injekcinė, tai f turi būti injekcinė. Priešingai — g nebūtinai turi būti injekcinė.
Galimos reikšmės ir laukai: injekcija iš A į B įmanoma tik jei, bent jau galimų elementų skaičiaus atžvilgiu, A dydis nėra didesnis už B dydį (fininėse srityse: |A| ≤ |B|).

Kaip patikrinti, ar funkcija yra injekcinė

Algebrinis patikrinimas: įrodyti, kad f(x₁) = f(x₂) reiškia x₁ = x₂.
Grafinis (realių funkcijų atveju): horizontalus linijos testas — jei jokioje x–y plokštumoje horizontali tiesė nekerta grafiko daugiau kaip vieną kartą, funkcija injekcinė.
Linearių transformacijų atveju: linijinė transformacija tarp vektorių erdvių yra injekcinė tada ir tik tada, kai jos branduolys (kernel) yra tik nulinis vektorius.

Pavyzdžiai

Injekcinės funkcijos pavyzdžiai:
- f(x) = 2x, apibrėžta visiems realiems x, yra injekcinė (skirtingi x duoda skirtingas reikšmes).
- Funkcija iš galimų skaičių rinkinio A = {1,2,3} į B = {a,b,c,d}, apibrėžta kaip 1↦a, 2↦b, 3↦d — tai injekcija, nes kiekvienam B elementui priskirtas ne daugiau kaip vienas A elementas.
Neinjekciniai pavyzdžiai:
- f(x) = x², apibrėžta visiems realiems x, nėra injekcinė, nes f(1) = f(–1) = 1, bet 1 ≠ –1. Tačiau apribojus apibrėžties sritį, pavyzdžiui x ≥ 0, ši funkcija tampa injekcine.
- Funkcija iš {1,2,3} į {a,b} negali būti injekcinė, nes trijų elementų negalima priskirti dviems elementams vienu vienareikšmišku būdu (|A| > |B| → nėra injekcijos fininėse srityse).

Ryšys su kitomis sąvokomis

Surjekcija (antjekcija): surjekcija reiškia, kad kiekvienam B elementui yra bent vienas A elementas su f(a) = b. Injekcija nurodo „ne daugiau kaip vieną“, surjekcija — „ne mažiau kaip vieną“.
Bijekcija: bijekcija (t. y. viena prie vieno ir ant į) yra ir injekcinė, ir surjekcinė vienu metu; turi tiek kairinę, tiek dešinę inversiją.
Terminų painiava: dažnai sakoma „1-1 funkcija“ apie injekciją, tačiau „1-1 korespondencija“ tradiciškai reiškia bijekciją (vienas prie vieno ir ant į). Todėl geriau vartoti aiškesnius terminus: injekcija arba bijekcija.

Trumpas santraukinimas

Injekcinė funkcija užtikrina, kad skirtingi pradinių duomenų elementai duoda skirtingas rezultatų reikšmes.
Algebrinis patikrinimas, grafinis horizontalus testas ar branduolio tikrinimas (linearių funkcijų atveju) padeda nustatyti, ar funkcija yra injekcinė.
Injekcijos egzistavimas turi įtakos funkcijų sudėties savybėms ir galimybei sukurti inversijas.

Pagrindinės savybės

Oficialiai:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ yra injekcinė funkcija, jei ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\ dešinioji rodyklė \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ arba lygiaverčiai

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ yra injekcinė funkcija, jei ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementas a {\displaystyle a} vadinamas elemento b {\displaystyle b} $b$ pirmavaizdžiu, jei f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Kiekvienam B elementui b injekcijos turi vieną arba nė vieno išankstinio atvaizdo.

Kardinalumas

Kardinalumas - tai aibės elementų skaičius. A={X,Y,Z,W} kardinalumas yra 4. Rašome #A=4.

Jei kodinės srities kardinalumas yra mažesnis už srities kardinalumą, funkcija negali būti injekcija. (Pavyzdžiui, nėra būdo atvaizduoti 6 elementus į 5 elementus be dublikato.)

Pavyzdžiai

Elementarios funkcijos

Tegul f(x):ℝ→→ℝ yra realiosios reikšmės funkcija y=f(x), kurios realusis argumentas yra x. (Tai reiškia, kad ir įėjimas, ir išėjimas yra realieji skaičiai.)

Grafinė reikšmė: Funkcija f yra injekcija, jei kiekviena horizontali tiesė kerta f grafiką ne daugiau kaip viename taške.
Algebrinė reikšmė: Funkcija f yra injekcija, jei f(x_o )=f(x₁ ) reiškia x_o =x₁ .

Pavyzdys: Nuožulniosios linijos tiesinė funkcija yra 1-1. T. y. y=ax+b, kur a≠0 yra injekcija. (Ji taip pat yra surjekcija, taigi ir bijekcija.)

Įrodymas: Tegul x_o ir x₁ yra realieji skaičiai. Tarkime, kad tiesė atvaizduoja šias dvi x reikšmes į tą pačią y reikšmę. Tai reiškia, kad a-x_o +b=a-x₁ +b. Iš abiejų pusių atimkite b. Gauname a-x_o =a-x₁ . Dabar abi puses padalykite iš a (nepamirškite a≠0). Gauname x_o =x₁ . Taigi įrodėme formalųjį apibrėžimą ir funkciją y=ax+b, kur a≠0 yra injekcija.

Pavyzdys: f(x)=x³ yra injekcija. Tačiau trečiojo laipsnio polinominė funkcija: f(x)=x³ -3x nėra injekcija.

1 diskusija: Bet kuri horizontali linija kerta grafiką

f(x)=x³ lygiai vieną kartą. (Be to, tai yra surjekcija.)

2 diskusija. Bet kuri horizontali tiesė tarp y=-2 ir y=2 kerta grafiką trijuose taškuose, todėl ši funkcija nėra injekcija. (Tačiau ji yra surjekcija.)

Pavyzdys: Kvadratinė funkcija f(x) = x² nėra injekcija.

Diskusijos: Bet kuri horizontali tiesė y=c, kur c>0, kerta grafiką dviejuose taškuose. Taigi ši funkcija nėra injekcija. (Taip pat tai nėra surjekcija.)

Pastaba: Neinjekcinę funkciją galima paversti injekcine, pašalinant dalį srities. Tai vadiname srities apribojimu. Pavyzdžiui, apribokite f(x)=x² sritį iki neneigiamų skaičių (teigiamų skaičių ir nulio). Apibrėžkite

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ kur f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Ši funkcija dabar yra injekcija. (Taip pat žr. funkcijos apribojimą.)

Pavyzdys: Eksponentinė funkcija f(x) = 10^x yra injekcija. (Tačiau tai nėra surjekcija.)

Diskusijos: Bet kuri horizontali tiesė kerta grafiką ne daugiau kaip viename taške. Horizontaliosios tiesės y=c, kai c>0, kerta jį lygiai viename taške. Horizontaliosios tiesės y=c, kai c≤0, nekerta grafiko nė viename taške.

Pastaba: Tai, kad eksponentinė funkcija yra injekcinė, galima panaudoti atliekant skaičiavimus.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Pavyzdys: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injekcija: jokia horizontali linija nekerta daugiau nei vieno grafiko taško

Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ir surjekcija)

Ne injekcija. f(x):ℝ→ℝ (yra siurjekcija)

Ne injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne siurjekcija)

Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne siurjekcija)

Injekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (ir surjekcija)

Kiti pavyzdžiai

Pavyzdys: logaritminė funkcija 10 bazės f(x):(0,+∞)→ℝ, apibrėžta f(x)=log(x) arba y=log₁₀ (x), yra injekcija (ir surjekcija). (Tai atvirkštinė funkcija 10^x .)

Pavyzdys: Funkcija f:ℕ→ℕ, kuri kiekvieną natūralųjį skaičių n atvaizduoja į 2n, yra injekcija. Kiekvienas lyginis skaičius turi lygiai vieną pirmavaizdį. Kiekvienas nelyginis skaičius neturi jokio pirmavaizdžio.

Susiję puslapiai

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra injekcinė funkcija matematikoje?

A: Injekcinė funkcija - tai funkcija f: A → B, turinti savybę, kad skirtingi srities elementai atvaizduojami į skirtingus srities elementus.

K: Koks yra ryšys tarp injekcinės funkcijos srities ir kodinės srities elementų?

A: Kiekvienam kodinės srities B elementui b yra ne daugiau kaip vienas srities A elementas a, toks, kad f(a)=b.

K: Kas įvedė terminus injekcija, surjekcija ir bijekcija?

A: Nikolajus Burbakis ir grupė kitų matematikų įvedė injekcijos, surjekcijos ir bijekcijos terminus.

K: Ką reiškia injekcinė funkcija?

A: Injekcinė funkcija reiškia, kad kiekvienas domeno A elementas atvaizduojamas į unikalų kodomeno B elementą.

K: Kuo injekcinė funkcija skiriasi nuo 1-1 atitikmens?

A: Injekcinė funkcija dažnai vadinama 1-1 (vienas su vienu) funkcija, tačiau ji skiriasi nuo 1-1 korespondencijos, kuri yra bijektyvi funkcija (ir injekcinė, ir siurjektyvi).

K: Kokia yra injekcinės funkcijos savybė?

A: Injekcinės funkcijos savybė yra ta, kad skirtingi srities elementai atvaizduojami į skirtingus srities elementus.

K: Kokia injekcinių funkcijų reikšmė matematikoje?

A: Injekcinės funkcijos yra svarbios daugelyje matematikos sričių, įskaitant topologiją, analizę ir algebrą, nes jos turi savybę, kad skirtingi srities elementai atvaizduojami į skirtingus kodinės srities elementus.

Autorius

AlegsaOnline.com - Injekcija (matematika) - Leandro Alegsa

Sukūrimo data: 2022 m. balandžio 20 d.
Paskutinis atnaujinimas: 2025 m. gruodžio 14 d.

URL: https://lt.alegsaonline.com/art/47369