Matematikoje pastovioji funkcija - tai funkcija, kurios išėjimo reikšmė yra tokia pati kiekvienai įėjimo reikšmei. Pavyzdžiui, funkcija y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}{\displaystyle y(x)=4} yra pastovi funkcija, nes y ( x ) {\displaystyle y(x)} reikšmė yra {\displaystyle y(x)}4, nepriklausomai nuo įvesties reikšmės x {\displaystyle x}x (žr. paveikslėlį).

Apibrėžimas

Pastovioji funkcija yra funkcija f: X → Y, kuriai egzistuoja konstanta c ∈ Y, tokia, kad

f(x) = c visiems x ∈ X.

Taigi, nepriklausomai nuo to, kokį elementą iš domeno X parenkame, vaizdas visada yra tas pats vienas elementas c iš kodomeno Y.

Pagrindinės savybės

  • Grafikas: realiosios pastovios funkcijos f: ℝ → ℝ, f(x)=c grafikas plokštumoje yra horizontali linija y = c.
  • Derivacija: jei f yra diferencijuojama intervale, tai f'(x) = 0 visiems x tame intervale.
  • Kontinuitetas: pastovios funkcijos yra visur kontinučios (bet kuriuo tašku galima užtikrinti norimą ε–δ sąlygą).
  • Injektyvumas: pastovioji funkcija nėra injektyvi, jeigu domenas X turi daugiau nei vieną elementą. Ji gali būti injektyvi tik tada, kai X turi tik vieną elementą.
  • Surjektyvumas: f: X → Y yra surjektyvi tik jei Y = {c} (kodomenas sutampa su viena reikšme c). Kitaip tariant, ji užpildo tik vieną tašką Y.
  • Lineariškumas: kaip linijinis žemėlapis tarp vektorių erdvių, funkcija f(x)=c yra linijinė tik tuo atveju, jeigu c = 0 (t. y. nulinė funkcija).
  • Algebrinės operacijos: dviejų pastoviųjų funkcijų sumą, skirtumą ar sandaugą taip pat gauname kaip pastovią funkciją: jei f(x)=a ir g(x)=b, tai f+g = a+b, f·g = a·b ir pan.

Trumpi įrodymai / paaiškinimai

  • Derivacija lygiai nuliui: naudodami diferencialo apibrėžimą, f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h)-f(x))/h = lim_{h→0} (c-c)/h = 0.
  • Kontinuitetas: pasirinkus bet kokį x0∈X, imant ε>0, galime pasirinkti bet kurį δ>0, nes |f(x)-f(x0)| = |c-c| = 0 < ε visuomet.
  • Neinjektyvumas: jei X turi bent du skirtingus elementus x1≠x2, tai f(x1)=c=f(x2) ir todėl funkcija nepriklauso injektyvių.

Pavyzdžiai

  • f(x) = 4, tiesioginė iliustracija: bet kur x, f(x)=4.
  • g: ℤ → ℝ, g(n) = 0 — konstantinė nulinė funkcija iš sveikųjų į realiuosius skaičius.
  • h: A → B, jei A bet koks rinkinys, B bet koks rinkinys ir pasirenkame c ∈ B, tai h(x)=c visiems x∈A.
  • Funkcijų sekose: seka a_n = 7 yra pastovi seka; ji atitinka pastovios funkcijos idėją, kur domenas yra natūrinių skaičių indeksai.

Derivacija ir integracija

Jeigu f(x)=c konstanta, tai:

  • f'(x)=0 (kaip minėta).
  • Neapibrėžtoji integralė (antiderivatyvas) yra F(x) = c x + C, kur C – integravimo konstanta.

Kompozicija ir kiti išvediniai

  • Kompozicija su kitomis funkcijomis: jeigu f(x)=c, tai bet kuri kompozicija g∘f yra konstantinė: (g∘f)(x)=g(c) — konstanta.
  • Jeigu k(x) yra konstantinė ir p(x) bet kuri funkcija, tai p∘k yra konstanta p(c).

Topologinės ir kategorinės pastabos

  • Pastovios funkcijos tarp topologinių erdvių yra visada kontinučios.
  • Vaizdas (image) pastovios funkcijos yra vieno elemento aibė {c}, todėl bet kokios konexiškumo savybės persikelia — vaizdas yra konveksinis ir sujungtas taškas.
  • Kategorijose pastovus morfizmas žymi morfizmą, kuris visus objektus "nusiunčia" į tam tikrą fiksuotą objektą (dažnai svarbu universalaus savybių nagrinėjimuose).

Praktinė reikšmė ir pastebėjimai

Pastovios funkcijos matematikoje yra paprastos, bet svarbios kaip kraštutiniai atvejai, naudojami palyginimams ir pavyzdžiams. Jos rodo maksimalią praradimo informacijos pusiausvyrą (visi įėjimai duoda tą pačią išėjimo reikšmę), naudojamos modeliuose su fiksuotu rezultatu arba kaip nulinių/sapių testai analizei bei teorijose (pvz., funkcionalinė analizė, topologija, algebra).