Pastovi funkcija: apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai (matematika)
Atraskite pastovios funkcijos apibrėžimą, savybes ir aiškius matematikos pavyzdžius — suprantamai ir su iliustracijomis.
Matematikoje pastovioji funkcija - tai funkcija, kurios išėjimo reikšmė yra tokia pati kiekvienai įėjimo reikšmei. Pavyzdžiui, funkcija y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}
yra pastovi funkcija, nes y ( x ) {\displaystyle y(x)} reikšmė yra 
4, nepriklausomai nuo įvesties reikšmės x {\displaystyle x}
(žr. paveikslėlį).
Apibrėžimas
Pastovioji funkcija yra funkcija f: X → Y, kuriai egzistuoja konstanta c ∈ Y, tokia, kad
f(x) = c visiems x ∈ X.
Taigi, nepriklausomai nuo to, kokį elementą iš domeno X parenkame, vaizdas visada yra tas pats vienas elementas c iš kodomeno Y.
Pagrindinės savybės
- Grafikas: realiosios pastovios funkcijos f: ℝ → ℝ, f(x)=c grafikas plokštumoje yra horizontali linija y = c.
- Derivacija: jei f yra diferencijuojama intervale, tai f'(x) = 0 visiems x tame intervale.
- Kontinuitetas: pastovios funkcijos yra visur kontinučios (bet kuriuo tašku galima užtikrinti norimą ε–δ sąlygą).
- Injektyvumas: pastovioji funkcija nėra injektyvi, jeigu domenas X turi daugiau nei vieną elementą. Ji gali būti injektyvi tik tada, kai X turi tik vieną elementą.
- Surjektyvumas: f: X → Y yra surjektyvi tik jei Y = {c} (kodomenas sutampa su viena reikšme c). Kitaip tariant, ji užpildo tik vieną tašką Y.
- Lineariškumas: kaip linijinis žemėlapis tarp vektorių erdvių, funkcija f(x)=c yra linijinė tik tuo atveju, jeigu c = 0 (t. y. nulinė funkcija).
- Algebrinės operacijos: dviejų pastoviųjų funkcijų sumą, skirtumą ar sandaugą taip pat gauname kaip pastovią funkciją: jei f(x)=a ir g(x)=b, tai f+g = a+b, f·g = a·b ir pan.
Trumpi įrodymai / paaiškinimai
- Derivacija lygiai nuliui: naudodami diferencialo apibrėžimą, f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h)-f(x))/h = lim_{h→0} (c-c)/h = 0.
- Kontinuitetas: pasirinkus bet kokį x0∈X, imant ε>0, galime pasirinkti bet kurį δ>0, nes |f(x)-f(x0)| = |c-c| = 0 < ε visuomet.
- Neinjektyvumas: jei X turi bent du skirtingus elementus x1≠x2, tai f(x1)=c=f(x2) ir todėl funkcija nepriklauso injektyvių.
Pavyzdžiai
- f(x) = 4, tiesioginė iliustracija: bet kur x, f(x)=4.
- g: ℤ → ℝ, g(n) = 0 — konstantinė nulinė funkcija iš sveikųjų į realiuosius skaičius.
- h: A → B, jei A bet koks rinkinys, B bet koks rinkinys ir pasirenkame c ∈ B, tai h(x)=c visiems x∈A.
- Funkcijų sekose: seka a_n = 7 yra pastovi seka; ji atitinka pastovios funkcijos idėją, kur domenas yra natūrinių skaičių indeksai.
Derivacija ir integracija
Jeigu f(x)=c konstanta, tai:
- f'(x)=0 (kaip minėta).
- Neapibrėžtoji integralė (antiderivatyvas) yra F(x) = c x + C, kur C – integravimo konstanta.
Kompozicija ir kiti išvediniai
- Kompozicija su kitomis funkcijomis: jeigu f(x)=c, tai bet kuri kompozicija g∘f yra konstantinė: (g∘f)(x)=g(c) — konstanta.
- Jeigu k(x) yra konstantinė ir p(x) bet kuri funkcija, tai p∘k yra konstanta p(c).
Topologinės ir kategorinės pastabos
- Pastovios funkcijos tarp topologinių erdvių yra visada kontinučios.
- Vaizdas (image) pastovios funkcijos yra vieno elemento aibė {c}, todėl bet kokios konexiškumo savybės persikelia — vaizdas yra konveksinis ir sujungtas taškas.
- Kategorijose pastovus morfizmas žymi morfizmą, kuris visus objektus "nusiunčia" į tam tikrą fiksuotą objektą (dažnai svarbu universalaus savybių nagrinėjimuose).
Praktinė reikšmė ir pastebėjimai
Pastovios funkcijos matematikoje yra paprastos, bet svarbios kaip kraštutiniai atvejai, naudojami palyginimams ir pavyzdžiams. Jos rodo maksimalią praradimo informacijos pusiausvyrą (visi įėjimai duoda tą pačią išėjimo reikšmę), naudojamos modeliuose su fiksuotu rezultatu arba kaip nulinių/sapių testai analizei bei teorijose (pvz., funkcionalinė analizė, topologija, algebra).
Pastovioji funkcija y=4
Pagrindinės savybės
Formaliai pastovioji funkcija f(x):R→R turi formą f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c}
. Paprastai rašome y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} 
arba tiesiog y = c {\displaystyle y=c}
.
- Funkcija y=c turi 2 kintamuosius x ir у ir 1 konstantą c. (Šioje funkcijos formoje nematome x, bet jis yra.)
- Konstanta c yra realusis skaičius. Prieš pradėdami dirbti su tiesine funkcija, c pakeičiame tikruoju skaičiumi.
- Y=c sritis arba įvestis yra R. Taigi galima įvesti bet kokį realųjį skaičių x. Tačiau išėjimas visada yra vertė c.
- Y=c intervalas taip pat yra R. Tačiau, kadangi išvestis visada yra c reikšmė, kodinė sritis yra tik c.
Pavyzdys: Funkcija y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} arba tiesiog y = 4 {\displaystyle y=4}
yra konkreti pastovioji funkcija, kurios išėjimo reikšmė yra c = 4 {\displaystyle c=4}
. Domenas yra visi realieji skaičiai ℝ. Kodomenas yra tik {4}. Būtent, y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,.... Nesvarbu, kokia x reikšmė būtų įvesta, išvesties rezultatas yra "4".
- Pastoviosios funkcijos y = c grafikas {\displaystyle y=c} yra horizontali tiesė plokštumoje, einanti per tašką ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}
. - Jei c≠0, tai pastovioji funkcija y=c yra nulinio laipsnio daugianaris vienam kintamajam x.
- Šios funkcijos y-interceptas yra taškas (0,c).
- Ši funkcija neturi x intercepto. Tai reiškia, kad ji neturi šaknies arba nulio. Ji niekada nekerta x ašies.
- Jei c=0, tai y=0. Tai nulinis polinomas arba identiškai nulinė funkcija. Kiekvienas realusis skaičius x yra šaknis. Y=0 grafikas yra x ašis plokštumoje.
- Pastovioji funkcija yra lyginė funkcija, todėl y ašis yra kiekvienos pastoviosios funkcijos simetrijos ašis.
Pastoviosios funkcijos išvestinė
Funkcijos išvestinė, atsižvelgiant į jos apibrėžimą, parodo funkcijos (išėjimo) reikšmių kitimo greitį, atsižvelgiant į įėjimo reikšmių pokytį. Pastovi funkcija nekinta, todėl jos išvestinė lygi 0. Dažnai rašoma: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} 
Pavyzdys: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}
yra pastovi funkcija. Y išvestinė yra identiškai nulinė funkcija y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}}})'=0} 
Taip pat galioja ir atvirkštinis (priešingas) principas. Jei funkcijos išvestinė visur lygi nuliui, vadinasi, funkcija yra pastovi.
Matematiškai užrašome šiuos du teiginius:
y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\forall x\in \mathbb {R} } 
Apibendrinimas
Funkcija f : A → B yra pastovioji funkcija, jei f(a) = f(b) kiekvienam a ir b A.
Pavyzdžiai
Realaus pasaulio pavyzdys: Parduotuvė, kurioje kiekviena prekė parduodama už 1 eurą. Šios funkcijos sritis yra parduotuvėje esančios prekės. Bendroji sritis yra 1 euras.
Pavyzdys: Tegul f : A → B, kur A={X,Y,Z,W} ir B={1,2,3} ir f(a)=3 kiekvienam a∈A. Tada f yra pastovi funkcija.
Pavyzdys: z(x,y)=2 yra pastovioji funkcija iš A=ℝ² į B=ℝ, kurioje kiekvienas taškas (x,y)∈ℝ² yra atvaizduotas į reikšmę z=2. Šios pastoviosios funkcijos grafikas yra horizontali plokštuma (lygiagreti x0y plokštumai) trimatėje erdvėje, einanti per tašką (0,0,0,2).
Pavyzdys: Polinė funkcija ρ(φ)=2,5 yra pastovi funkcija, kuri kiekvieną kampą φ atvaizduoja į spindulį ρ=2,5. Šios funkcijos grafikas yra 2,5 spindulio apskritimas plokštumoje.
|
|
|
|
Kitos savybės
Yra ir kitų pastoviųjų funkcijų savybių. Žr. Pastovioji funkcija angliškoje Vikipedijoje
Susiję puslapiai
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Kas yra pastovioji funkcija?
A: Pastovioji funkcija - tai funkcija, kurios išėjimo reikšmė išlieka tokia pati kiekvienai įėjimo reikšmei.
K: Ar galite pateikti pastoviosios funkcijos pavyzdį?
Atsakymas: Taip, pastovios funkcijos pavyzdys būtų y(x) = 4, kai y(x) reikšmė visada lygi 4, nepriklausomai nuo įėjimo reikšmės x.
K: Kaip nustatyti, ar funkcija yra pastovi?
Atsakymas: Ar funkcija yra pastovi, galima nustatyti pagal tai, ar jos išėjimo reikšmė išlieka tokia pati esant kiekvienai įvesties reikšmei.
K: Ką reiškia, kai sakome, kad "y(x)=4", kalbant apie konstantines funkcijas?
A: Kai sakome, kad "y(x)=4", tai reiškia, kad funkcijos y(x) išėjimo reikšmė visada bus lygi 4, nepriklausomai nuo to, kokia yra įėjimo reikšmė x.
K: Ar galima kaip nors įsivaizduoti, kaip atrodo pastoviosios funkcijos?
Atsakymas: Taip, vienas iš būdų, kaip vizualizuoti, kaip atrodo pastovioji funkcija, yra vaizdas arba grafikas.
Klausimas: Ar konstantinių funkcijų išvestis keičiasi priklausomai nuo įvesties?
Atsakymas: Ne, konstantų funkcijose išvestis nesikeičia priklausomai nuo įvesties.
Ieškoti