Išgaubtasis taisyklingasis 4‑politopas (polichronas) — apibrėžimas ir pavyzdžiai

Sužinokite išsamų išgaubtojo taisyklingojo 4‑politopo (polichrono) apibrėžimą, Šlėflio istoriją, šešis pavyzdžius ir unikalią 24‑ląstelę su aiškiais pavyzdžiais.

Autorius: Leandro Alegsa

16-10-2025 14:13

Matematikoje išgaubtasis taisyklingasis 4-politopas (arba polichronas) yra keturmatė (4D) politopas, kuris yra ir taisyklingas, ir išgaubtas. Kitaip tariant, tai yra keturių dimensijų analogas Platono kūnų (trimačiai taisyklingi daugiasieniai) ir taisyklingų daugiakampių (dvimatės taisyklingos figūros) sąvokoms: kiekvieną tokį 4-politopą riboja vienodo tipo ir dydžio trimačiai „ląsteliai“ (3D Platono kūnai), sujungti pagal taisyklingą schemą.

Istorija ir pavadinimas

Šiuos daugiakampius XIX a. viduryje pirmą kartą aprašė šveicarų matematikas Liudvigas Šlėflis. Šlėflis parodė, kad egzistuoja tik lygiai šešios tokios konveksinės taisyklingos keturių matmenų figūros. Penkios iš jų turi aiškų trimatį analogą (Platono kūnų plėtinį į vieną aukštesnę dimensiją), o viena — 24‑ląstelė — neturi atitikmens trimatėje erdvėje.

Šešios išgaubtos taisyklingos 4-politopos (polichronai)

5‑ląstelė (4‑simpleksas), Schläfli simbolis {3,3,3}. Ląstelės: 5 tetraedrai. Viršūnių sk.: 5, briaunų: 10, plokštuminių veidų (triangulių): 10, ląstelių: 5. Tai analogas trikampei paprasčiausiai struktūrai (simplicial struktūra) keturiuose matmenyse.
8‑ląstelė (hiperkubas, tesseraktas), Schläfli simbolis {4,3,3}. Ląstelės: 8 kubai. Viršūnių sk.: 16, briaunų: 32, veidų (kvadratų): 24, ląstelių: 8. Tai tiesioginės kubo ekstensijos į 4D pavyzdys.
16‑ląstelė (dvikrypis, 4‑dvikrypis), Schläfli simbolis {3,3,4}. Ląstelės: 16 tetraedrų. Viršūnių sk.: 8, briaunų: 24, veidų: 32, ląstelių: 16. Tai tesserakto dualas (dvipusė pora).
24‑ląstelė, Schläfli simbolis {3,4,3}. Ląstelės: 24 oktaedrai. Viršūnių sk.: 24, briaunų: 96, veidų (triangulių): 96, ląstelių: 24. Ši figūra yra savarankiškai dualinė ir neturi tiesioginio trimatės erdvės Platono kūno atitikmens.
120‑ląstelė, Schläfli simbolis {5,3,3}. Ląstelės: 120 dodekaedrų. Viršūnių sk.: 600, briaunų: 1200, veidų (penagonų): 720, ląstelių: 120. Tai viena iš didesnių ir sudėtingesnių taisyklingų 4-politopų.
600‑ląstelė, Schläfli simbolis {3,3,5}. Ląstelės: 600 tetraedrų. Viršūnių sk.: 120, briaunų: 720, veidų (triangulių): 1200, ląstelių: 600. Tai 120‑ląstelės dualas.

Savybės ir ryšiai

Dualumas: 5‑ląstelė ir 24‑ląstelė yra savi dualai ({3,3,3} yra savidualus), 8‑ląstelė ({4,3,3}) yra dualas 16‑ląstelei ({3,3,4}), o 120‑ląstelė ({5,3,3}) — dualas 600‑ląstelei ({3,3,5}).
Visi ląstelės tipai yra Platono kūnai: kiekviename politopo ląstelės visos yra to paties Platono tipo (tetraedrai, kubai, oktaedrai, dodekaedrai ir t. t.).
Išgaubtumas (konveksija): visi šeši polichronai yra išgaubti (konveksiniai), t. y. bet kurie du jų taškai galima sujungti segmente, einančiame viduje figūros.

Konstrukcijos ir vaizdavimas

Keturių matmenų objektus praktiškai įsivaizduoti galima per projekcijas ir kryžmines sekcijas:

Schlegelio diagramos: 4-politopas projektuojamas į 3D taip, kad viena ląstelė atsidurtų „viduje“, o likusios būtų išdėstytos aplink ją — tai leidžia iliustruoti ląstelių susijungimus ir kaimynystes.
Ortogonalios projekcijos į 3D arba 2D, matematinės animacijos ir modeliavimas leidžia pamatyti simetrijas, briaunų išdėstymą ir kitus topologinius bruožus.

Praktinė reikšmė ir taikymai

Nors polichronai yra abstraktūs geometriniai objektai, jų tyrimas svarbus simetrijos teorijai, grupių teorijai, daugiamatės geometrijos, kvantinės fizikos ir kompiuterinės grafikos koncepcijoms. Be to, jie pateikia įdomius pavyzdžius, kaip plėsti intuiciją apie erdvę į aukštesnes dimensijas.

Kiekvieną išgaubtą taisyklingą 4-politopą riboja 3 matmenų ląstelių aibė, kurios visos yra to paties tipo ir dydžio Platono kūnai. Jie yra taisyklingai sujungti išilgai atitinkamų sienelių, sudarydami simetriškas ir visiškai reguliarias keturių matmenų struktūras.

Savybės

Toliau pateiktose lentelėse išvardytos kai kurios šešių išgaubtųjų taisyklingųjų daugiakampių savybės. Visų šių polichorų simetrijos grupės yra Kokseterio grupės ir pateiktos tame straipsnyje aprašyta notacija. Po grupės pavadinimo esantis skaičius yra grupės eilė.

Vardai	Šeima	Schläfli simbolis	Viršūnės	Kraštai	Veidai	Ląstelės	Viršūnių skaičiai	Dvigubas politopas	Simetrijos grupė
Pentachorono5-celiųpentatopashiperpiramidėhipertetraedras4-simpleksas	simpleksas (n-veidrodis)	{3,3,3}	5	10	10 trikampiai	5 tetraedrai	tetraedrai	(savarankiškas dvilypumas)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hiperkubas (n-kubas)	{4,3,3}	16	32	24 kvadratai	8 kubeliai	tetraedrai	16 ląstelių	B₄	384
Hexadecachoron16-cellorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex	kryžminis politopas (n-orthopleksas)	{3,3,4}	8	24	32 trikampiai	16 tetraedrai	aštuoniukės	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 trikampiai	24 aštuoniukės	kubeliai	(savarankiškas dvilypumas)	F₄	1152
Hekatonikosachoronas120-celiųldodekapleksashiperdodekaedraspolydodekaedras		{5,3,3}	600	1200	720 penkiakampiai	120 dodekaedrai	tetraedrai	600 ląstelių	H₄	14400
Heksakosichoronas600 ląsteliųtetrapleksashiperikozaedraspolitetraedras		{3,3,5}	120	720	1200 trikampiai	600 tetraedrai	ikosaedrai	120 celių	H₄	14400

Kadangi kiekvienos iš šių figūrų ribos topologiškai atitinka 3 sferą, kurios Eulerio charakteristika lygi nuliui, turime 4 dimensijų Eulerio daugianarės formulės analogą:

N0 - N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

kur N_k reiškia k-veidų skaičių daugiakampyje (viršūnė yra 0-veidas, briauna yra 1-veidas ir t. t.).

Vizualizacijos

Toliau esančioje lentelėje pateiktos kai kurios šių daugiakampių 2 dimensijų projekcijos. Įvairių kitų vizualizacijų galima rasti kitose toliau nurodytose interneto svetainėse. Kokseterio-Dinkino diagramų grafikai taip pat pateikti po Šlėflio simboliu.

5 elementų	8 ląstelių	16 ląstelių	24 ląstelių	120 ląstelių	600 ląstelių
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Vielinio karkaso ortografinės projekcijos Petrie poligonų viduje.

Kietosios ortografinės projekcijos
tetraedrinis apvalkalas (ląstelinis/viršūnių centruotas)	kubinis apvalkalas (orientuotas į ląsteles)	aštuoniasienis apvalkalas (su centruotomis viršūnėmis)	kuboktaedrinis apvalkalas (ląstelių centruotas)	sutrumpintas rombinio trikampio stačiakampio apvalkalas (centruotas į ląstelę)	Pentakio ikosidodekaedrinis apvalkalas (centruotas į viršūnę)
Šlegelio diagramos (perspektyvinė projekcija)
(orientuota į ląsteles)	(orientuota į ląsteles)	(orientuota į ląsteles)	(orientuota į ląsteles)	(orientuota į ląsteles)	(Į viršūnę orientuotas)
Stereografinės stereografinės projekcijos (hipersferinės)

Susiję puslapiai

Reguliarusis politopas
Platoninis kietasis kūnas

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra išgaubtas taisyklingasis 4-politopas?

A: Išgaubtasis taisyklingasis 4-politopas yra 4 matmenų politopas, kuris yra ir taisyklingas, ir išgaubtas.

K: Kokie yra išgaubtų taisyklingų 4-politopų analogai trijuose ir dviejuose matmenyse?

Atsakymas: Išgaubtų taisyklingų taisyklingų keturpolių analogai trimačiuose matmenyse yra Platono kūnai, o dvimačiuose matmenyse - taisyklingi daugiakampiai.

K: Kas pirmasis aprašė išgaubtus taisyklinguosius keturpolius?

A: XIX a. viduryje šveicarų matematikas Liudvikas Šlėflis (Ludwig Schläfli) pirmą kartą aprašė išgaubtus taisyklingus keturpolius.

Klausimas: Kiek yra išgaubtų taisyklingų 4-politopų?

A: Yra lygiai šešios išgaubtos taisyklingos 4-politopės.

Klausimas: Kokia yra unikali 24 ląstelių politopų savybė tarp išgaubtų taisyklingų 4 politopų?

Atsakymas: 24-ių ląstelių politopas neturi trimačio atitikmens tarp išgaubtų reguliariųjų 4-ių politopų.

K: Kokios yra trimatės ląstelės, ribojančios kiekvieną išgaubtą taisyklingąjį 4-politopą?

A: Kiekvieną išgaubtą taisyklingąjį keturpolitopą riboja daugybė trimačių ląstelių, kurios visos yra to paties tipo ir dydžio Platono kietieji kūnai.

Klausimas: Kaip 3 matmenų ląstelės yra sujungtos į išgaubtą taisyklingąjį 4-politopą?

Atsakymas: Išgaubtame taisyklingame taisyklingame 4-politope trimatės ląstelės yra taisyklingai sujungtos išilgai savo atitinkamų paviršių.

Ieškoti