Algebrinės struktūros — apibrėžimas, tipai ir pavyzdžiai

Algebrinės struktūros: aiškus apibrėžimas, pagrindiniai tipai (magma, grupės, žiedai, laukai) ir aiškūs pavyzdžiai, padedantys suprasti teoriją ir taikymą.

Matematikoje algebrinė struktūra yra aibė, kurioje apibrėžta viena ar daugiau atliekamų dvejetainių operacijų veiksmų. Algebrinėse struktūrose svarbios savybės yra uždarytumas, asociatyvumas, tapatybės elementai, atvirkštiniai elementai, komutatyvumas ir—kai yra dvi operacijos—distributyvumas. Taip pat nagrinėjami strukūrų dariniai, pavyzdžiui, potaisyklės, homomorfizmai ir kvocientinės struktūros.

Pagrindiniai tipai pagal vieną dvejetainę operaciją

• Magma (matematika) — aibė su apibrėžta dvejetaine operacija (tik reikalaujama uždarytumo).
• Pusgrupė — aibė su asociatyvia operacija (t. y. (ab)c = a(bc) visiems a,b,c).
• Monoidas — pusgrupė, turinti tapatybės elementą (neutralų elementą e, kad e·a = a·e = a).
• Grupė — monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi atvirkštinį elementą (t. y. a·a^{-1} = a^{-1}·a = e).
• Komutacinė grupė — grupė su komutacine operacija (a·b = b·a visiems a,b).

Pagrindiniai tipai pagal dvi dvejetaines operacijas

• Žiedas — aibė su dviem operacijomis, paprastai vadinamomis sudėtimi (+) ir daugyba (·). Sudėtis sudaro komutacinę grupę, daugyba yra pusgrupė (kai kuriuose apibrėžimuose reikalaujama, kad daugyba būtų monoidas), o sudėtis ir daugyba susietos per distributyvinę savybę: a·(b + c) = a·b + a·c ir (a + b)·c = a·c + b·c.
• Komutacinis žiedas — žiedas, kurio daugyba yra komutatyvi.
• Laukas — komutacinis žiedas, kurio nedegusių elementų (ne nulio) aibė sudaro grupę pagal daugybą (t. y. kiekvienas nenulinis elementas turi daugybinį atvirkštinį).

Savybės ir paaiškinimai

• Uždarytumas: operacijos rezultatas priklauso tai pačiai aibei.
• Asociatyvumas: grupėje ar pusgrupėje skliaustai nekeičia rezultatų.
• Tapatybės elementas: elementas, kuris nekeičia kitų elementų operacijos atveju (0 sudėtyje, 1 daugyboje).
• Atvirkštiniai elementai: egzistuoja elementai, grąžinantys tapatybės elementą.
• Komutatyvumas: operacijos rezultatas nesikeičia keičiant operandus (a·b = b·a).
• Distributyvumas: viena operacija paskirstoma per kitą, kaip žieduose: a·(b + c) = a·b + a·c.

Pavyzdžiai

• Skaitmenys ir skaičių aibės:
  • (Z, +) — sveikųjų skaičių aibė su sudėtimi yra begalinė, komutacinė grupė.
  • (N, +) — natūralių skaičių aibė su sudėtimi (jei priskiriamas 0) yra monoidas; be 0 — pusgrupė.
  • (Z, ·) ar (N, ·) — daugybos operacija paprastai sudaro pusgrupę (be 1 nebūtų tapatybės elemento).
  • Z_n (moduliniai sveikieji skaičiai) — žiedas pagal sudėtį ir daugybą mod n; jei n yra pirminis skaičius, Z_p yra laukas.
• Polinomai ir matricos:
  • Polinomų žiedas k[x] su koeficientais lauke k — žiedas (daugelis savybių priklauso nuo k).
  • Matricų žiedas M_n(R) — kvadratinės n×n matricų aibė su matricų sudėtimi ir daugyba; tai žiedas, dažnai nekomutatyvus (kai n>1).
• Laikai ir laukeliai:
  • Q, R, C — racionalieji, realieji ir kompleksiniai skaičiai yra laukai pagal įprastas operacijas.
  • Galios laukai GF(p^k) — galimi baigtiniai laukai, svarbūs skaitmeninėse technologijose ir kodavime.
• Grupės pavyzdžiai:
  • Simetrinė grupė S_n — visų n elementų permutacijų grupė; paprastai nekomutatyvi, išskyrus mažus n.
  • Abeliškos grupės — pvz., realiųjų skaičių aibė su sudėtimi.

Kiti svarbūs sąvokos

• Potaisyklė (substructure): aibė, kuri pati iš savęs su paveldėtomis operacijomis sudaro tą pačią algebrinę struktūrą (pvz., pogrupis, subžiedas, sublaukas).
• Homomorfizmas: reikšmių iš vienos struktūros į kitą perdavimo žemėlapis, išsaugantis operacijas (pvz., grupių homomorfizmas f(a·b)=f(a)·f(b)).
• Kvocientinė struktūra: gaunama dalinant struktūrą per normalų pogrupį ar idealą (pvz., kvocientinis žiedas, kvocientinė grupė).
• Idealai ir moduliai: žiedams analogiškos substruktūros, svarbios algebrinei geometrijai ir teorinei algebrai.

Algebrinės struktūros sudaro algebraus šaką, padedančią vieningai aprašyti įvairius abstrakčius ir konkrečius algebraiškai susijusius objektus. Jie naudojami tiek grynojoje matematikoje, tiek taikomųjų mokslų srityse — kriptografijoje, kodavime, fizikos modeliavime ir kt.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra algebrinė struktūra?

K: Kokios yra pagrindinės algebrinės struktūros su viena dvejetaine operacija?

K: Kokios yra pagrindinės algebrinės struktūros su dviem dvejetainėmis operacijomis?

K: Kas yra magma (matematika)?

K: Kas yra pusgrupė?

K: Ką reiškia, kai operacija yra komutacinė?

Paieška pagal raidę