Pagrindinė aritmetikos teorema

Įrodymas

Pirmasis šią teoremą įrodė Euklidas. Pirmasis išsamus ir teisingas įrodymas buvo pateiktas Karlo Frydricho Gauso veikale "Disquisitiones Arithmeticae".

Kai kurie žmonės gali manyti, kad teorema teisinga visur. Tačiau teorema nėra teisinga bendresnėse skaičių sistemose, pavyzdžiui, algebrinėse sveikųjų skaičių sistemose. Pirmą kartą tai paminėjo Ernstas Kummeris 1843 m. savo darbe apie Fermato paskutinę teoremą. Daugiau informacijos apie tai: skaitykite algebrinių skaičių teorija.

Įrodymą sudaro dvi dalys: pirma, parodome, kad kiekvieną skaičių galima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugą; antra, parodome, kad jei antrą kartą skaičių užrašome kaip pirminių skaičių sandaugą, tai abu pirminių skaičių sąrašai turi sutapti.

Pirmoji įrodymo dalis

Parodysime, kad jei ne kiekvieną skaičių, didesnį už 1, galima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugą, atsidursime tam tikros rūšies neįmanomybėje. Po to darome išvadą, kad turi būti tiesa, jog kiekvieną skaičių galima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugą.

Pažiūrėkite, kas nutiks, kai kas nors pasakys, kad žino teigiamą sveikąjį skaičių, didesnį už 1, kurio negalima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugos. Tokiu atveju paprašysime, kad jis išvardytų visus skaičius, didesnius už 1, kurių negalima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugos. Vienas iš šių skaičių turi būti mažiausias: pavadinkime jį n. Žinoma, šis skaičius n negali būti lygus 1. Be to, jis negali būti pirminis skaičius, nes pirminis skaičius yra vieno pirminio skaičiaus - savęs paties - "sandauga". Taigi tai turi būti skaičių sandauga. Taigi -

n = ab

kur a ir b yra teigiami sveikieji skaičiai, kurie, žinoma, yra mažesni už n. Bet: n buvo mažiausias skaičius, kurio negalima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugos. Taigi a ir b turi būti įmanoma užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugas, nes jie abu yra mažesni už n. Bet tada sandauga

n = ab

taip pat galima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugą. Tai neįmanoma, nes sakėme, kad n negalima užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugos.

Dabar parodėme, kad neįmanoma, jei pirmoji teoremos dalis nebūtų teisinga. Taip įrodėme pirmąją teoremos dalį.

Antroji įrodymo dalis

Dabar turime įrodyti, kad yra tik vienas būdas teigiamą skaičių, didesnį už 1, užrašyti kaip pirminių skaičių sandaugą.

Tam naudojame šią lemą: jei pirminis skaičius p dalijasi sandaugą ab, tai jis dalijasi a arba b (Euklido lema). Dabar pirmiausia įrodysime šią lemą. Tarkime, kad p nesidalija a. Tuomet p ir a yra dvireikšmiai ir turime Bezout tapatybę, kuri sako, kad turi būti sveikieji skaičiai x ir y tokie, kad

px + ay = 1.

Visa tai padauginus iš b gaunama

pbx + aby = b,

Prisiminkite, kad ab gali būti dalijamas iš p. Taigi dabar kairėje pusėje turime du narius, kurie dalijasi iš p. Taigi dešinėje pusėje esantis narys taip pat dalijasi iš p. Dabar įrodėme, kad jei p neskirsto a, jis turi dalyti b. Tai įrodo lemą.

Dabar įrodysime, kad sveikąjį skaičių, didesnį už 1, kaip pirminių skaičių sandaugą galime užrašyti tik vienu būdu. Paimkite dvi pirminių skaičių A ir B sandaugas, kurių rezultatas vienodas. Taigi sandaugų rezultatui žinome, kad A = B. Paimkime bet kurį pirminį skaičių p iš pirmosios sandaugos A. Jis dalijasi su A, taigi dalijasi ir su B. Keletą kartų pasinaudoję ką tik įrodyta lema, matome, kad tada p turi dalytis bent su vienu B veiksniu b. Tačiau visi veiksniai patys yra pirminiai, taigi ir b yra pirminis. Tačiau žinome, kad p taip pat yra pirminis, todėl p turi būti lygus b. Taigi dabar dalijame A iš p ir taip pat dalijame B iš p. Ir gauname tokį rezultatą kaip A* = B*. Vėl galime paimti pirmavardį p iš pirmosios sandaugos A* ir sužinoti, kad jis lygus kuriam nors sandaugos B* skaičiui. Taip tęsdami, galiausiai matome, kad abiejų sandaugų pirminiai veiksniai turi būti lygiai tokie patys. Tai įrodo, kad teigiamąjį sveikąjį skaičių kaip pirminių skaičių sandaugą galime užrašyti tik vienu unikaliu būdu.