Aukso santykis (φ): apibrėžimas, formulė ir reikšmė

Sužinokite aukso santykį (φ): apibrėžimą, formulę (φ=(1+√5)/2), skaičiaus savybes ir taikymą mene, architektūroje bei gamtoje. Aiškiai ir suprantamai.

Vieną skaičių a ir kitą mažesnį skaičių b dalijant randamas dviejų skaičių santykis, lygus a/b. Kitas santykis gaunamas sudėjus abu skaičius a+b ir padalijus iš didesniojo a, t. y. (a+b)/a. Jeigu šie du santykiai sutampa, tas bendras santykis vadinamas aukso santykiu. Graikiška raidė φ {\displaystyle \varphi } (phi) dažniausiai žymi šį santykį ir jį kartais vadina aukso pjūviu arba auksiniu santykiu.

Derivacija ir formulė

Tarkime, kad a/b = (a+b)/a = φ. Imame b = 1 (skalavimas nekeičia santykio), tuomet a = φ. Antrojo santykio reikšmė yra (a+b)/a = (φ + 1)/φ. Kadangi abu santykiai lygūs, gauname lygtį

φ = φ + 1 φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Padauginus abi puses iš φ ir pertvarkius, gauname kvadratinę lygtį

φ² = φ + 1.

Išsprendus šią lygtį standartiniu kvadratinių lygčių būdu, gauname teigiamą sprendinį

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}

Čia naudojamas kvadratinis šaknis: 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}}, t. y. skaičius, kurį padauginus iš paties savęs gauname 5 ( ).

Decimali reikšmė ir irracionalumas

Aukso santykis yra iracionalusis skaičius: jo dešimtainė išraiška neturi baigtinės repeticijos ir nepasikartoja periodiškai. Aproksimacija prasideda taip: 1,6180339887... (be galo tęstinė ir neperiodinė). Dėl to φ negalima užrašyti kaip dviejų sveikųjų skaičių trupmenos.

Savybės

• Reciprokinė savybė: 1/φ = φ − 1. Tai kyla iš lygties φ² = φ + 1: jei padalinsime abi puses iš φ², gauname 1 = 1/φ + 1/φ², ir tiesiog pertvarkius matome, kad 1/φ = φ − 1.
• Veiksmai su 1: tiek atėmus 1 (φ − 1), tiek padalinus iš 1 (1/φ) gaunamas tas pats (modulis ženklų): φ − 1 = 1/φ.
• Kontinued fraction (nepertraukiama trupmena): φ = [1; 1, 1, 1, ...] — tai yra begalinė eilė vienetų, todėl φ turi labai paprastą nepertraukiamą trupmeną.
• Kvadratinė konjugacija: antras sprendinys kvadratinei lygtčiai φ² = φ + 1 yra ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887, vadinamas φ konjugatu.

Aukso santykis ir Fibonačio seka

Aukso santykis yra glaudžiai susijęs su Fibonačio seka (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...): gretimų narių santykis F(n+1)/F(n) artėja prie φ, kai n auga. Binet'o formulė išreiškia Fibonačio n-tąjį narį per φ ir jo konjugatą ψ:

F(n) = (φ^n − ψ^n) / √5.

Geometrija ir panaudojimas

Aukso santykis pasirodo įvairiose geometrijos figūrose ir meno kompozicijose: auksinis stačiakampis (kurio kraštinių santykis yra φ), reguliarus penkiakampis ir pentagrama (penkiakampio kampai ir santykiai), taip pat architektūroje, fotografijoje ir dizaino kompozicijose, kur siekiama estetiškai patrauklaus proporcijų derinio.

Santrauka

• Aukso santykis φ apibrėžiamas lygtimi a/b = (a+b)/a, iš kurios išplaukia φ² = φ + 1.
• Užrašomas kaip φ = (1 + √5) / 2 , ir jo apytikslė reikšmė yra 1,6180339887...
• Jis yra irracionalus, turi paprastą nepertraukiamą trupmeną [1;1,1,1,...] ir glaudžiai susijęs su Fibonačio seka.

Jei norite, galiu pridėti iliustracijas auksinio stačiakampio, pentagramos ar pavyzdžių, rodančių, kaip Fibonacci sekos santykiai artėja prie φ, arba pateikti skaičiavimus, išvedančius Binet'o formulę žingsnis po žingsnio.

Aukso pjūvis gamtoje

Gamtoje aukso pjūvis dažnai naudojamas lapams ar gėlėms išdėstyti. Juose naudojamas auksinis kampas, kurio kampas yra maždaug 137,5 laipsnio. Tokiu kampu išdėstyti lapai ar gėlės geriausiai išnaudoja saulės šviesą.

Naudodami auksinį kampą optimaliai išnaudosite saulės šviesą. Tai vaizdas iš viršaus.


Paprastosios gebenės lapas, rodantis aukso pjūvį

Klausimai ir atsakymai

K: Koks yra dviejų skaičių santykis?

K: Kaip galima rasti kitą santykį?

K: Kaip vadinama, kai šie du santykiai yra lygūs vienas kitam?

K: Jei b = 1, o a/b = צ , ką tai reiškia a?

K: Kaip galima užrašyti šį skaičių?

K: Ką reiškia, jei iš šio skaičiaus atimsime 1 arba padalinsime iš jo 1?

K: Ar aukso santykis yra iracionalusis skaičius?

Paieška pagal raidę