Skaitmenų tikslumas: reikšminiai skaitmenys, apvalinimas ir matavimai

Sužinokite reikšminių skaitmenų, apvalinimo ir matavimų tikslumo principus: aiškūs pavyzdžiai, formulės ir praktiniai patarimai tiksliems skaičiavimams.

Skaitmeninės reikšmės tikslumas reiškia, kiek skaitmenų naudojama tam tikrai reikšmei užrašyti. Mokslinėje praktikoje tai dažniausiai apibrėžiama kaip bendras skaitmenų skaičius reikšmėje (kartais vadinamas reikšminiais skaitmenimis arba svarbiaisiais skaitmenimis) arba, rečiau, kaip trupmeninių skaitmenų arba dešimtainiųjų skaitmenų skaičius (t. y. skaitmenys po kablelio). Pastarasis apibrėžimas dažniau taikomas finansų ir inžinerijos srityse, kur ypač svarbu valdyti skaitmenis trupmeninėje dalyje.

Reikšminių skaitmenų taisyklės

Pagrindinės taisyklės leidžiančios nustatyti, kurie skaitmenys yra reikšminiai:

• Visi nuliniai ir nenuliniai skaitmenys, esantys tarp nenulinių skaitmenų, yra reikšminiai (pvz., 102 → trys reikšminiai skaitmenys).
• Visi nenuliniai skaitmenys yra reikšminiai (pvz., 123 → trys reikšminiai skaitmenys).
• Vedantieji nuliukai (prieš pirmąjį nenulinį skaitmenį) nėra reikšminiai (pvz., 0,0123 → trys reikšminiai skaitmenys).
• Traukiančiosios (pabaigos) nuliukai yra reikšminiai tik tada, jei yra dešimtainis taškas arba kiti ženklai, nurodantys matavimo tikslumą (pvz., 1.230 → keturi reikšminiai skaitmenys; 1230 gali turėti tris arba keturias, priklausomai nuo formalaus žymėjimo).

Apvalinimas ir jo vaidmuo

Sąvoka "tikslumas" taip pat vartojama apibūdinti poziciją, iki kurios bus apvalinamas netikslus rezultatas. Pavyzdžiui, slankiojo kablelio aritmetikoje rezultatai dažnai apvalinami iki tam tikro fiksuoto tikslumo (gauto signifkanto ilgio). Finansiniuose skaičiavimuose dažnai apvalinama iki tam tikro dešimtinių vietų skaičiaus — pavyzdžiui, iki dviejų vietų po dešimtainio skaičiaus skyrybos ženklo, kaip įprasta daugelyje pasaulio valiutų.

Kaip skaičiuoti reikšminėmis skaitmenimis

Apvalinant skaičių iki p reikšminių skaitmenų, naudingas formulės apibrėžimas: apvalus(x, p) = round( x / 10^(n - p) ) * 10^(n - p), kur

n = floor( log10(|x|) ) + 1. Skaičiui x = 0 apvalinta reikšmė visuomet yra 0.

Praktinė prasme tai reiškia: nustatome, kelintoje dešimtainėje pozicijoje yra pirmasis reikšminis skaitmuo (tai duoda 10^(n-1) mastelį), tada perskaliuojame skaičių taip, kad reikšminiai skaitmenys būtų kairėje, apvaliname pagal pasirinktą taisyklę ir perskaliuojame atgal.

Pavyzdžiai su skaičiumi dešimtainiu 12,345

• 1 reikšminis skaitmuo: 10
• 2 reikšminiai skaitmenys: 12
• 3 reikšminiai skaitmenys: 12,3
• 4 reikšminiai skaitmenys: 12,35
• 5 reikšminių skaitmenų: 12,345 (pradinė reikšmė)

Jei apvaliname iki tam tikro dešimtinių vietų skaičiaus (pvz., 2 vietų po kablelio), 12,345 → 12,35. Svarbu atskirti „reikšminius skaitmenis“ nuo „vietų po kablelio“ — pirmasis skaičiavimas skaičiuoja visą skaičių iš kairės, antrasis fiksuoja vietų skaičių po kablelio.

Apvalinimo taisyklės ir niuansai

• Dažniausiai naudojama taisyklė: „round half up“ (jei skaičius yra ties riba .5, didiname aukštesnį skaitmenį). Tačiau daugelyje kompiuterinių bibliotekų naudojama „round half to even“ (bankininko apvalinimas), kuris sumažina sistemingą šališkumą ilgų skaičiavimų metu.
• Skaičiavimuose su keliais tarpiais ar daugyba / dalyba, apvalinimas gali akumuliuotis — todėl rekomenduojama apvalinti tik galutinį rezultatą, o ne tarpinius skaičiavimus.

Matavimai ir neteisingas tikslumas

Atkreipkite dėmesį, kad dažnai netikslinga rodyti skaičių su daugiau skaitmenų nei leidžia matavimo metodas. Pavyzdžiui, jei prietaisas matuoja gramų tikslumu ir parodo 12,345 kg, tai reiškia, kad matavimo tikslumas yra ±1 g = ±0,001 kg. Išreiškus reikšmę kaip "12,34500 kg" su dviem papildomais nuliais būtų klaidingas tikslumas, nes tie papildomi nuliukai klaidingai sufleruoja didesnį tikslumą nei yra realiai užtikrinamas.

Norint aiškiai nurodyti matavimo neapibrėžtumą, naudinga pateikti reiškinį su paklaida, pvz., 12,345 ± 0,001 kg, arba naudoti mokslinį (eksponentinį) žymėjimą, pvz., 1,2345 × 10^1 kg, kad būtų aišku, kurie skaitmenys yra reikšminiai.

Reikšminiai skaitmenys aritmetinėse operacijose

• Daugyboje ir dalyboje rezultatas turėtų turėti tiek reikšminių skaitmenų, kiek turi operandas su mažiausiu reikšminiu skaičiumi.
• Sudeties ir atimties atveju rezultatas turėtų būti apvalintas pagal mažiausią skaičių dešimtinių vietų tarp operandų (t. y. pagal absoliučią, o ne reikšminių skaitmenų, tikslumą).

Praktiniai patarimai

• Aiškiai žymėkite reikšminių skaitmenų skaičių arba pateikite paklaidą.
• Naudokite mokslinį žymėjimą norėdami išreikšti tikslumą (pvz., 1,230 × 10^3 rodo 4 reikšminius skaitmenis).
• Rinkitės apvalinimo taisyklę pagal sritį: finansuose dažnai taikomas tam tikras apvalinimo standartas (pvz., iki centų), o skaičiavimuose – „half to even“ dėl statistinių priežasčių.

Skaičiai ir jų tikslumas yra ne tik formali matematika — tai komunikacijos priemonė. Aiškus žymėjimas, nurodant paklaidą arba reikšminių skaitmenų skaičių, padeda išvengti klaidinančių išvadų ir užtikrina, kad duomenys būtų interpretuojami teisingai.

Absoliutinė vertė naudojama apibrėžiant formulėse taikomas logaritmines ir mastelio operacijas; skaičiai su minusu apvalinami pagal to paties principo taisykles taikant absoliučią vertę, o rezultato ženklas pritaikomas atgal. Skaičius 0 bet kokiu tikslumu gali būti laikomas 0.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra skaitinės vertės tikslumas?

K: Kaip tikslumas gali būti naudojamas apibūdinti padėčiai, kurioje bus apvalinamas netikslus rezultatas?

Klausimas: Kaip galima išreikšti 12,345 su įvairiais reikšminiais skaitmenimis arba dešimtainiais skaičiais?

K: Kas atsitinka, kai nepakanka tikslumo?

Klausimas: Ar tikslinga rodyti skaičių, turintį daugiau skaitmenų nei galima išmatuoti?

Klausimas: Kokia formulė parodo teigiamus skaičius x p reikšminių skaitmenų tikslumu?

Paieška pagal raidę