Geometrijoje lygiagretusis postulatas yra viena iš Euklido geometrijos aksiomų. Kartais jis dar vadinamas penktuoju Euklido postulatu, nes yra penktasis Euklido veikalo "Elementai" postulatas.

Originali Euklido formuluotė skamba taip:

Jei tiesės atkarpą nupjaunate dviem tiesėmis, o du vidiniai kampai, kuriuos sudaro šios tiesės, yra mažesni nei 180°, tai abi tiesės galiausiai susikirs, jei jas pratęsite pakankamai ilgai.

Postulato aiškinimas paprastai kalba

Trumpai tariant, postulatas reguliuoja lygiagrečių tiesių elgesį plokštumoje: jis nurodo, kada dvi tiesės susikirs arba liks lygiagrečios. Nors Euklidas pateikė šį teiginį kaip aksiomą (nes, jo manymu, aiškiai matoma), vėlesni matematikai pastebėjo, kad šis postulatas turi kitokio pobūdžio prigimtį nei kitos Euklido aksiomos — jis neišvedamas paprastais logikos ar geometrijos samprotavimais iš kitų postulatų.

Ekvivalentinės formuluotės

Lygiagretumo postulatas turi kelias lygiavertes ir dažniau vartojamas formuluotes. Svarbiausios:

  • Playfair axiom: Per tašką, kuris nėra duotos tiesės dalis, eina tik viena tiesė, kuri yra lygiagreti duotajai tiesei.
  • Trikampio kampų suma: Kiekvieno trikampio trijų kampų suma yra lygi 180° (dviems stačioms kampams).
  • Egzistuoja stačiakampis: Jei egzistuoja vienas stačiakampis, tuomet galioja lygiagretumo postulatas visai plokštumai (šis teiginys pateikiamas kaip ekvivalentas kai kuriose axiom sistemose).

Istorija ir nepriklausomumas

Keletą šimtmečių matematikai mėgino įrodyti penktąjį postulatą iš likusių Euklido aksiomų, manydami, jog jis galėtų būti nereikalingas. Bandymų ratas vedė prie didelių atradimų XIX a., kai matematikai kaip J. Bolyai, N. I. Lobachevsky ir C. F. Gauss suprato, kad penktasis postulatatas yra nepriklausomas nuo kitų: galima sukurti nuoseklias geometrijas, kuriose penktasis postulatatas neatitinka tikrovės, bet sistema lieka kontradikcijų neturinti.

Pasekmės ir reikšmė

Penktasis postulatatas lemia daugelį klasikinių euklidinės geometrijos savybių. Kai jis taikomas, galioja:

  • Trikampio kampų suma = 180°;
  • paralelinių tiesių savybės pagal Playfair teoremą (vienintelė paralelė per tašką išorinėje tiesėje);
  • tam tikrų panašumo ir panašių trikampių egzistavimas bei kitų planimetrinių teoremų galiojimas.

Neeuklidinės geometrijos alternatyvos

Jei penktasis postulatatas pakeičiamas arba atmetamas, gaunamos dvi pagrindinės neeuklidinės geometrijos rūšys:

  • Hiperbolinė geometrija (Lobachevsky, Bolyai): per tašką, esančią už duotos tiesės, praeina daugiau nei viena lygiagreti tiesė; trikampio kampų suma yra mažesnė nei 180°.
  • Eliptinė (sferinė) geometrija (Riemann): jokios dvi „tiesės“ (didžiosios apskritimų) nesikerta; trikampio kampų suma yra didesnė nei 180°.

Praktinis paveldas

Lygiagretumo postulatas ne tik fundamentaliai veikia plokštuminę geometriją, bet ir turi įtakos šiuolaikinei matematikai bei fizikoms: skirtumai tarp plokštuminės, hiperbolinės ir eliptinės geometrijos susiję su erdvės kreivumu, kurį nagrinėja diferencialinė geometrija ir bendroji reliatyvumo teorija. Išryškėjus penktojo posto nepriklausomybei, matematikai suprato, kad įvairios geometrijos yra vienodai nuoseklios ir tinkamos skirtingiems fizikos bei matematikos modeliams.

Geometrijos sritis, kurioje laikomasi visų Euklido aksiomų, vadinama euklidine geometrija. Geometrija, kurioje laikomasi ne visų Euklido aksiomų, vadinama neeuklidine geometrija.