Lygiagretusis postulatas
Geometrijoje lygiagretusis postulatas yra viena iš Euklido geometrijos aksiomų. Kartais jis dar vadinamas penktuoju Euklido postulatu, nes yra penktasis Euklido veikalo "Elementai" postulatas.
Šis postulatas teigia, kad:
Jei tiesės atkarpą nupjaunate dviem tiesėmis, o du vidiniai kampai, kuriuos sudaro šios tiesės, yra mažesni nei 180°, tai abi tiesės galiausiai susikirs, jei jas pratęsite pakankamai ilgai.
Geometrijos sritis, kurioje laikomasi visų Euklido aksiomų, vadinama euklidine geometrija. Geometrija, kurioje laikomasi ne visų Euklido aksiomų, vadinama neeuklidine geometrija.
Jei vidinių kampų α (alfa) ir β (beta) suma yra mažesnė nei 180°, abi tiesės susikerta, jei abi yra pratęstos iki begalybės.
Istorija
Kai kurie matematikai manė, kad penktasis Euklido postulatas yra daug ilgesnis ir sudėtingesnis už kitus keturis postulatus. Daugelis jų manė, kad jį galima įrodyti remiantis kitomis paprastesnėmis aksiomomis. Kai kurie matematikai paskelbė, kad įrodė šį teiginį iš paprastesnių postulatų, tačiau paaiškėjo, kad jie visi klydo.
Playfairo aksioma
Kitas naujesnis teiginys, žinomas kaip Playfair'o aksioma, yra panašus į Euklido penktąjį postulatą. Jis teigia, kad:
Turint tiesę ir tašką, esantį ne ant šios tiesės, per šį tašką galima nubrėžti tik vieną tiesę, kuri nesutaps su kita tiese.
Iš tikrųjų matematikai nustatė, kad ši aksioma ne tik panaši į penktąjį Euklido postulatą, bet ir turi lygiai tokią pačią reikšmę. Matematiškai šie du teiginiai vadinami "lygiaverčiais" teiginiais. Šiandien Playfairo aksioma matematikų naudojama dažniau nei originalus lygiagretusis Euklido postulatas.
Neeuklidinė geometrija
Ilgainiui kai kurie matematikai pabandė sukurti naujas geometrijas nenaudodami aksiomos. Viena iš neeuklidinės geometrijos rūšių vadinama elipsine geometrija. Elipsinėje geometrijoje lygiagretainio postulatas pakeistas aksioma, kuri teigia, kad:
Turint tiesę ir tašką, esantį ne ant šios tiesės, negalima nubrėžti tiesės per šį tašką, kuri galiausiai nekirstų kitos tiesės.
Matematikai pastebėjo, kad pakeitę penktąjį Euklido postulatą šia aksioma, jie vis tiek galėjo įrodyti daugelį kitų Euklido teiginių. Vienas iš būdų įsivaizduoti elipsinę geometriją - galvoti apie gaublio paviršių. Žemės rutulyje ilgumos linijos atrodo lygiagrečios ties ekvatoriumi, tačiau visos jos susikerta ties ašigaliais. XIX a. pabaigoje buvo įrodyta, kad elipsinė geometrija yra nuosekli. Tai įrodė, kad penktasis Euklido postulatas nėra nepriklausomas nuo kitų postulatų. Po to matematikai dažniausiai nustojo bandyti įrodyti penktąjį postulatą iš kitų keturių postulatų. Vietoj to daugelis matematikų ėmė tyrinėti kitas geometrijas, kurios nesivadovauja penktuoju Euklido postulatu.
Kita aksioma, kuria matematikai kartais pakeičia penktąją Euklido aksiomą, sako, kad:
Turėdami tiesę ir tašką, esantį ne ant šios tiesės, galite nubrėžti bent dvi tieses per šį tašką, kurios galiausiai nekirs kitos tiesės.
Tai vadinama hiperboline geometrija.
Kita geometrija tiesiog pašalina penktąjį Euklido postulatą ir jo niekuo nepakeičia. Tai vadinama neutralia geometrija arba absoliučia geometrija.
