Euklido „Elementai“ — senovės geometrijos ir skaičių teorijos vadovas
Euklido elementai (kartais: Elementai, graikiškai: Στοιχεῖα Stoicheia) - didelis matematikos knygų rinkinys apie geometriją, kurį parašė senovės graikų matematikas Euklidas (apie 325 m. pr. Kr. - 265 m. pr. Kr.) Aleksandrijoje (Egiptas) apie 300 m. pr. m. e. Rinkinį sudaro 13 tomų, arba skyrių, ir jis dažnai buvo spausdinamas kaip 13 fizinių knygų (sunumeruotų I-XIII numeriais), o ne kaip viena didelė knyga. Jis buvo išverstas į lotynų kalbą ir pavadintas "Euclidis Elementorum". Tai žymiausias antikos laikų matematikos tekstas.
Euklidas surinko viską, kas jo laikais buvo žinoma apie geometriją. Jo "Elementai" yra pagrindinis senovės geometrijos šaltinis. Euklidu pagrįsti vadovėliai naudojami iki šių dienų. Knygoje jis pradeda nuo nedidelio aksiomų rinkinio (t. y. grupės dalykų, kuriuos visi laiko teisingais). Tada Euklidas, remdamasis šiomis aksiomomis, parodo geometrinių objektų ir sveikųjų skaičių savybes.
Struktūra ir pagrindinės temos
Elementai suskirstyti į 13 knygų; kiekviena nagrinėja tam tikrą temą. Trumpai:
- I knyga: pagrindinės geometrinės sampratos, apibrėžimai, penki postulatai ir daugybė konstrukcijų bei įrodymų (čia yra ir žymioji I.47 – Pitagoro teorema).
- II knyga: geometrinės lygybės, kartais vadinama "geometrine algebromis".
- III–IV knygos: apskritimai ir reguliarūs daugiakampiai.
- V–VI knygos: proporcijų teorija (Evdokso požiūris) ir santykių taikymas plokštumų figūroms.
- VII–IX knygos: skaičių teorija – dalyba, pirminiai skaičiai, Euklido algoritmas didžiausiam bendram dalikliui (DBD) rasti, teiginiai apie pirminius skaičius ir tolesnės savybės; IX knygoje randame įrodymą, kad pirminių skaičių yra begalybė ir formules, susijusias su tobulu skaičiumi.
- X knyga: išsamus racionalių ir iracionalių ilgių nagrinėjimas (sudėtingiausia knyga, klasifikuojanti kvadratines ir kitokias nematerialias magnitudes).
- XI–XIII knygos: trimačioje erdvėje nagrinėjami kūnai; XIII knyga apima Platoninius kūnus.
Metodas ir išskirtinumas
Euklidas suformulavo aiškią aksiomatinių postulatų ir iš jų sekančių teiginių (propozicijų) struktūrą: jis pateikia apibrėžimus, postulatus (teisės atlikti tam tikras konstrukcijas) ir bendruosius teisus (Common Notions). Iš šių pradmenų jis logiškai išveda daugelį geometrinių teoreminių teiginių. Toks formalus, sistemingas požiūris tapo modeliu vėlesnei matematikos aksiomatizacijai.
Penktoji Euklido postulato forma (paralelių postulatas) ilgą laiką kėlė klausimų: ar jis iš tikrųjų nepriklauso kitiems postulatams? Bandymų išvesti jį iš likusių buvo daug; šie bandymai galiausiai vedė XIX a. prie neeuklidinių geometrijų atradimo – geometrijų, kuriose paralelių postulatas pakeičiamas kita prielaida. Dėl to Euklido sistema, kuri ilgą laiką buvo laikoma vienintele "teisinga" geometrija, dabar vadinama Euklido geometrija.
Skaičių teorija ir algoritmai
Be klasikinės geometrijos, Elementuose yra svarbių skaičių teorijos rezultatų. Euklidas pateikė:
- Euklido algoritmą – efektyvią procedūrą didžiausiam bendram dalikliui rasti, kuri naudojama ir šiandien.
- Įrodymą, kad pirminių skaičių yra begalybė (IX knyga).
- Rezultatus apie tobulus skaičius (ryšį tarp Mersennų pirminių ir lygių dviejų kvotų išraiškų) ir kitus teiginius, susijusius su dalinimu.
Istorinis likimas ir įtaka
Elementai turėjo milžinišką poveikį: islamo pasaulyje buvo verčiami ir komentaruojami arabų matematikų, Viduramžiais ir Renesanso Europoje tapo pagrindiniu geometrijos vadovėliu. Tekstas buvo išsaugotas daugelyje rankraščių ir vėliau platinamas spaudoje; pirmieji atspausdinti leidimai išplėtė jo pasiekiamumą. Euklido metodas ir struktūra darė didelę įtaką vėlesnėms aksiomatizacijoms — pavyzdžiui, XIX a. pabaigoje David Hilbert parengė griežtesnę geometrijos aksiomatizaciją, ištaisydamas kai kurias logines spragas ir implicitinius prielaidus Euklido tekste.
Nors Elementai ilgą laiką buvo laikomi autoritetingu šaltiniu, vėlesni matematikai pastebėjo, kad kai kuriuose įrodymuose Euklidas naudoja intuityvias ar nepaminėtas prielaidas (pvz., vietos perkėlimas ar superpozicija). Nepaisant to, knyga išliko kaip etalonas dėl savo aiškios struktūros ir logiškos nuoseklumo.
Poveikis mokymuisi ir kultūrai
Elementai šimtmečiais buvo pagrindinis mokymo šaltinis; daugelis klasikinių matematikos idėjų, terminų ir metodų atėjo būtent iš šio veikalą. Jo įtaka jaučiama ne tik matematikoje, bet ir filosofijoje bei logikos istorijoje, nes Euklido samprata apie aksiominę sistemą tapo pavyzdžiu, kaip galima pagrįsti žinias nuoseklia, dedukcine tvarka.
Trumpas santraukinys
Euclido Elementai – tai išsamus geometrijos ir tam tikrų skaičių teorijos sričių rinkinys, parašytas apie 300 m. pr. Kr. Jame pateikiama aksiomatika, daugybė konstrukcijų, teoremų ir įrodymų, įskaitant Euklido algoritmą ir įrodymą, kad pirminių skaičių yra begalybė. Nors vėliau matematikai aptiko ir alternatyvias (neeuklidines) geometrijas bei patobulino aksiomatizaciją, Elementai išlieka vienu svarbiausių ir įtakingiausių matematikos tekstų visų laikų istorijoje.
1570 m. sero Henrio Bilingslio išleistos pirmosios angliškos Euklido "Elementų" versijos titulinis puslapis.
Įtraukti XIV ir XV tomai
Kartais senovėje raštai būdavo priskiriami žymiems autoriams, tačiau jie nebuvo jų parašyti. Būtent tokiu būdu į rinkinį kartais būdavo įtraukiamos apokrifinės Elementų XIV ir XV knygos. Netikrą XIV knygą tikriausiai parašė Hypsiklas, remdamasis Apolonijaus iš Pergos traktatu. Knygoje tęsiamas Euklido taisyklingų kietųjų kūnų, įrašytų į sferas, palyginimas. Svarbiausias rezultatas yra tas, kad dodekaedro ir ikosaedro, įrašytų į tą pačią sferą, paviršių santykis sutampa su jų tūrių santykiu.
Tikėtina, kad netikrą XV knygą bent iš dalies parašė Izidorius iš Mileto. Šioje knygoje nagrinėjamos tokios temos kaip taisyklingųjų kūnų briaunų ir kampų skaičiavimas ir taisyklingųjų kūnų briaunų, susikertančių per briauną, dihedrinių kampų matų nustatymas.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas parašė Euklido "Elementus"?
A: Euklidas (apie 325 m. pr. m. e. - 265 m. pr. m. e.), senovės graikų matematikas, parašė "Euklido elementus".
K: Kada jis buvo parašytas?
A: Jis buvo parašytas Aleksandrijoje, Egipte, apie 300 m. pr. m. e.
K: Kaip vadinasi lotyniškas Euklido "Elementų" vertimas?
A: Euklido "Elementų" vertimas į lotynų kalbą pavadintas "Euclidis Elementorum".
K: Kokios temos aptariamos knygoje?
A: Knygoje nagrinėjamos šios temos: geometrija, perspektyva, kūginės atkarpos, sferinė geometrija, keturkampiai paviršiai ir skaičių teorija.
K: Ką Euklidas daro su nedideliu aksiomų rinkiniu?
A: Naudodamasis nedideliu aksiomų rinkiniu, Euklidas parodo geometrinių objektų ir sveikųjų skaičių savybes.
K: Kas yra didžiausias bendrasis daliklis?
Atsakymas: Didžiausias bendrasis daliklis (GCD) yra didžiausias skaičius, kuris gali tolygiai dalytis į du du duotus skaičius.
K: Kaip vadinama šiandieninė geometrinė sistema, palyginti su tuo, kas buvo vadinama "geometrija" senovėje?
A: Šiandieninė geometrinė sistema vadinama Euklido geometrija, kad būtų atskirta nuo kitų neeuklidinių geometrijų, kurias matematikai atrado XIX amžiuje.
