Euklidinė geometrija
Euklidinė geometrija yra matematikos sistema. Žmonės mano, kad pirmasis ją aprašė Euklidas, todėl ji vadinama jo vardu. Pirmą kartą jis ją aprašė savo vadovėlyje "Elementai". Ši knyga buvo pirmasis sistemingas tuo metu žinomos geometrijos aptarimas. Knygoje Euklidas pirmiausia pateikia kelias aksiomas. Jos sudaro vėlesnių darbų pagrindą. Jos intuityviai aiškios. Remiantis šiomis aksiomomis galima įrodyti kitas teoremas.
XIX a. buvo atrastos kitos geometrijos formos. Tai neeuklidinė geometrija. Karlas Frydrichas Gausas, Jánosas Bolyai ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis buvo keletas žmonių, sukūrusių tokias geometrijas. Labai dažnai jose naudojamas ne lygiagretusis postulatas, o kitos keturios aksiomos.
Aksiomos
Euklidas daro šias prielaidas. Tai aksiomos, kurių nereikia įrodinėti.
- Bet kuriuos du taškus galima sujungti tiesia linija
- Bet kurią tiesės atkarpą galima pailginti (pratęsti) iki begalybės, todėl ji tampa tiese.
- Naudojant tiesės atkarpą galima nubrėžti apskritimą taip, kad vienas atkarpos galinis taškas būtų apskritimo centras, o kitas galinis taškas būtų apskritime. Tiesės atkarpa tampa apskritimo spinduliu.
- Visi statūs kampai yra gretutiniai
- Lygiagretusis postulatas. Jei dvi tiesės kerta trečiąją taip, kad vienoje pusėje vidinių kampų suma yra mažesnė už du stačiuosius kampus, tai abi tiesės neišvengiamai turi kirsti viena kitą toje pusėje, jei jos bus pakankamai ištęstos.
Būklė
Euklidinė geometrija yra pirmosios eilės teorija. Ją taikant galima teigti ir įrodyti tokius teiginius kaip "Visiems trikampiams...". Tokie teiginiai kaip "Visoms trikampių aibėms..." nepatenka į šios teorijos taikymo sritį.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Euklidinė geometrija?
A: Euklidinė geometrija yra matematikos sistema, kurią pirmą kartą aprašė Euklidas savo vadovėlyje "Elementai". Ją sudaro kelios aksiomos, kurios sudaro vėlesnių darbų pagrindą, o kitas teoremas galima įrodyti remiantis šiomis aksiomomis.
K: Kas parašė "Elementus"?
A: Euklidas parašė "Elementus", kuriuose pirmą kartą sistemingai aptarė tuo metu žinomą geometriją.
K: Kokie yra keli neeuklidinės geometrijos pavyzdžiai?
A: Neeuklidines geometrijas XIX a. sukūrė Karlas Frydrichas Gausas, Jבnosas Boliejus ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis. Jose dažnai nenaudojamas lygiagretusis postulatas, o remiamasi kitomis keturiomis aksiomomis.
Klausimas: Kas aptariama elementuose?
A: Elementuose aptariama tuo metu žinoma geometrija ir pateikiama sisteminė jos analizė.
K: Kiek aksiomų turi Euklidinė geometrija?
A: Euklidinė geometrija turi kelias aksiomas, kurios sudaro vėlesnių darbų pagrindą.
K: Kas sukūrė neeuklidinę geometriją?
A: Neeuklidinę geometriją XIX a. sukūrė Karlas Frydrichas Gausas (Carl Friedrich Gauss), Jבnos Bolyai ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis.
Klausimas: Ar neeuklidinėje geometrijoje naudojamos visos penkios aksiomos, ar tik keturios?
Atsakymas: Neeuklidinėje geometrijoje dažnai nenaudojamas lygiagretusis postulatas, o remiamasi tik keturiomis iš penkių aksiomų.
