Euklidinė geometrija: apibrėžimas, aksiomos ir istorija
Euklidinė geometrija: aiškus apibrėžimas, pagrindinės aksiomos ir istorija nuo Euklido „Elementų“ iki neeuklidinių geometrijų atradimų.
Euklidinė geometrija yra matematikos sistema, kuri nagrinėja taškus, linijas, plokštumas, kampus ir jų tarpusavio santykius. Tradiciškai manoma, kad pirmasis ją sistemingai aprašė Euklidas, todėl ši geometrijos šaka vadinama jo vardu. Pirmą kartą ji buvo pateikta jo veikale "Elementai", kuris yra vienas reikšmingiausių antikinės matematikos tekstų. Knygoje Euklidas pateikia pagrindines taisykles — aksiomas ir postulatus — iš kurių logiškai išveda daugybę kitų teiginių ir teoremas. Euklidinės geometrijos intuityvūs teiginiai, pavyzdžiui, kad tiesė eina per du taškus arba kad kampų suma trikampyje lygi 180°, tapo mokslinės geometrinės minties pamatu.
Aksiomos ir postulatai
Euklidas savo darbuose aiškiai atskyrė bendresnes taisykles (vadinamas bendromis nuostatomis arba „common notions“) ir konkrečius geometrinius postulatus. Tradiciškai išskiriami penki Euklido postulatai, kurie plokščios geometrijos pagrindą sudaro:
- 1. Tašką ir tiesę: galima nutiesti tiesę bet kurių dviejų taškų jungiančią.
- 2. Tiesės pratęsimas: bet kurią tiesės atkarpą galima pratęsti į abi puses neribotai.
- 3. Apskritimas: bet kuriam taškui ir bet kokiam atstumui galima nubrėžti apskritimą su tuo spinduliu.
- 4. Visi stačiai lygūs kampai: visi stačiai lygūs kampai.
- 5. Lygiašonio (paralelumo) postulatas: jei per tašką už išorinės tiesės kitas tieses nubrėžus vienašališkai susidaro kampų suma mažesnė už du stačius, tos tiesės susikirs toje pusėje, kur kampų suma mažesnė. (Šis postulatas dažnai pateikiamas paprasčiau kaip Playfair postuliatas: per tašką, esantį už duotos tiesės, galima nubrėžti tik vieną tiesę, kuri yra lygiagreti duotajai.)
Be šių, Euklidas naudojo ir keletą bendrųjų nuostatų, pvz., kad dalykai, lygūs tam pačiam dalykui, yra lygūs vienas kitam, arba kad pridėjus lygias dalis prie lygių sumų jos lieka lygios. Iš šių aksiomų ir nuostatų išvedamos pagrindinės geometrinės teoremos.
Plokščios ir erdvinės savybės
Euklidinė geometrija gali būti taikoma tiek plokščiai (2 matavimai), tiek trimatei erdvei (3 matavimai), taip pat apibrėžiama ir n-matmeninėse erdvėse. Svarbios savybės — tiesumas, kampai, atstumai pagal Pitagoro teoremą ir kampų suma trikampyje (lygiai 180° plokštumoje). Moderniai šią geometriją galima formuluoti ir per koordinačių sistemą (analitinė geometrija), kur atstumai ir kampai apskaičiuojami naudojant algebrines priemones.
Istorija ir vėlesnės plėtros kryptys
Euklido Elementai tapo ilgų amžių autoritetingu geometrijos vadovėliu: juose ne tik surinkta anksčiau žinoma medžiaga, bet ir parodytas griežtas dedukcinis metodas. Tačiau per XIX a. tapo aišku, kad iš kitokių aksiomų gali atsirasti kitokios, bet nuoseklios geometrijos sistemos. Tą atradimą nulėmė darbai, susiję su XIX a. matematikos pažanga: atsirado neeuklidinė geometrija, kur pirmiausia keičiama arba neįrašoma Euklido penktasis postulatas. Svarbiausi šios perėjimo asmenys buvo tokie matematikai, kaip Karlas Frydrichas Gausas, Jánosas Bolyai ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis, kurie nepriklausomai parodė, kad alternatyvios geometrijos (pvz., hiperbolinė) yra logiškai galimos.
Vėliau Bernhardas Riemannas išplėtojo eliptinę (sferinę) geometriją, o XX a. David Hilbert pasiūlė formalų aksiomatizavimą, kuris suteikė didesnį aiškumą aksiomatinėms prielaidoms ir nuoseklumo patikrinimui. Taip pat svarbi buvo analitinė geometrija (Descartes), kuri sujungė geometriją su algebra ir leido užrašyti geometrines savybes lygtimis bei analizės metodais.
Pritaikymai ir reikšmė
- Praktikoje euklidinė geometrija naudojama architektūroje, inžinerijoje, kartografijoje ir kasdieniuose matavimuose.
- Fizikoje ji apibrėžia erdvę Newtono mechanikoje (erdvė be kreivumo), tačiau bendrosios reliatyvumo teorijos kontekste erdvė gali būti kreiva — tuomet naudojama Riemanno geometrija.
- Moksliniuose ir švietimo tiksluose euklidinė geometrija yra pagrindinis įrankis formuojant loginį mąstymą ir matematinius įgūdžius.
Apibendrinant, Euklidinė geometrija — tai klasikinė, aksiominė geometrijos sistema, kurios nuoseklios dedukcijos ir teoremos padarė didelę įtaką matematikos raidai. XIX a. atrastos neeuklidinės geometrijos parodė, kad geometrijos tipų gali būti daugiau, ir tai išplėtė mūsų supratimą apie erdvę ir matematinį modeliavimą.
Aksiomos
Euklidas daro šias prielaidas. Tai aksiomos, kurių nereikia įrodinėti.
- Bet kuriuos du taškus galima sujungti tiesia linija
- Bet kurią tiesės atkarpą galima pailginti (pratęsti) iki begalybės, todėl ji tampa tiese.
- Naudojant tiesės atkarpą galima nubrėžti apskritimą taip, kad vienas atkarpos galinis taškas būtų apskritimo centras, o kitas galinis taškas būtų apskritime. Tiesės atkarpa tampa apskritimo spinduliu.
- Visi statūs kampai yra gretutiniai
- Lygiagretusis postulatas. Jei dvi tiesės kerta trečiąją taip, kad vienoje pusėje vidinių kampų suma yra mažesnė už du stačiuosius kampus, tai abi tiesės neišvengiamai turi kirsti viena kitą toje pusėje, jei jos bus pakankamai ištęstos.
Būklė
Euklidinė geometrija yra pirmosios eilės teorija. Ją taikant galima teigti ir įrodyti tokius teiginius kaip "Visiems trikampiams...". Tokie teiginiai kaip "Visoms trikampių aibėms..." nepatenka į šios teorijos taikymo sritį.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Euklidinė geometrija?
A: Euklidinė geometrija yra matematikos sistema, kurią pirmą kartą aprašė Euklidas savo vadovėlyje "Elementai". Ją sudaro kelios aksiomos, kurios sudaro vėlesnių darbų pagrindą, o kitas teoremas galima įrodyti remiantis šiomis aksiomomis.
K: Kas parašė "Elementus"?
A: Euklidas parašė "Elementus", kuriuose pirmą kartą sistemingai aptarė tuo metu žinomą geometriją.
K: Kokie yra keli neeuklidinės geometrijos pavyzdžiai?
A: Neeuklidines geometrijas XIX a. sukūrė Karlas Frydrichas Gausas, Jבnosas Boliejus ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis. Jose dažnai nenaudojamas lygiagretusis postulatas, o remiamasi kitomis keturiomis aksiomomis.
Klausimas: Kas aptariama elementuose?
A: Elementuose aptariama tuo metu žinoma geometrija ir pateikiama sisteminė jos analizė.
K: Kiek aksiomų turi Euklidinė geometrija?
A: Euklidinė geometrija turi kelias aksiomas, kurios sudaro vėlesnių darbų pagrindą.
K: Kas sukūrė neeuklidinę geometriją?
A: Neeuklidinę geometriją XIX a. sukūrė Karlas Frydrichas Gausas (Carl Friedrich Gauss), Jבnos Bolyai ir Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis.
Klausimas: Ar neeuklidinėje geometrijoje naudojamos visos penkios aksiomos, ar tik keturios?
Atsakymas: Neeuklidinėje geometrijoje dažnai nenaudojamas lygiagretusis postulatas, o remiamasi tik keturiomis iš penkių aksiomų.
Ieškoti