Kas yra dalinė išvestinė? Apibrėžimas, žymėjimas ir pavyzdžiai

Sužinokite, kas yra dalinė išvestinė: aiškus apibrėžimas, žymėjimas ir praktiniai pavyzdžiai daugiamatei analizei žingsnis po žingsnio.

Autorius: Leandro Alegsa

12-12-2025 22:56

Skaičiuotėje, kuri yra pažangi matematikos rūšis, funkcijos dalinė išvestinė yra vieno įvardyto kintamojo išvestinė, o neįvardytas funkcijos kintamasis laikomas pastoviu. Kitaip tariant, dalinė išvestinė yra tam tikrų nurodytų funkcijos kintamųjų išvestinė ir nediferencijuoja kito (-ų) kintamojo (-ių). Užrašas

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\dalinis f}{\dalinis x}}} ${\frac {\partial f}{\partial x}}$

paprastai vartojama, nors gali būti vartojami ir kiti užrašai. Paprastai, nors ir ne visada, dalinė išvestinė imama daugiamatei funkcijai (funkcijai su trimis ar daugiau kintamųjų, kurie gali būti nepriklausomi arba priklausomi).

Kas tai reiškia praktiškai?

Dalinė išvestinė funkcijos f(x, y, ... ) pagal kintamąjį x reiškia: „kaip keičiasi f, kai kinta tik x, o visi kiti kintamieji laikomi pastoviais“. Tai leidžia vietoje vienos išvestinės tirti poveikį atskiriems kintamiesiems.

Įprasti žymėjimai

∂f/∂x arba ∂/∂x f — dažniausiai vartojamas simbolis.
f_x arba f_y — trumpesnis žymėjimas, ypač dažnas literatūroje.
D_x f — dar vienas alternatyvus žymėjimas.

Kaip skaičiuoti dalines išvestines — pavyzdžiai

Principas: imame paprastą vienkintamio išvestinės taisyklę, bet laikome kitus kintamuosius kaip konstantas.

Pavyzdys 1. Tegul f(x,y) = x² y + sin(xy).

∂f/∂x: laikome y pastovia. Išvestinė pagal x: ∂/∂x (x² y) = 2x y; ∂/∂x sin(xy) = cos(xy)·(∂/∂x (xy)) = cos(xy)·y. Taigi
∂f/∂x = 2xy + y cos(xy).
∂f/∂y: laikome x pastoviu. ∂/∂y (x² y) = x²; ∂/∂y sin(xy) = cos(xy)·(∂/∂y (xy)) = cos(xy)·x. Taigi
∂f/∂y = x² + x cos(xy).

Pavyzdys 2. Tegul g(x,y) = x³ + 3 x y².

∂g/∂x = 3x² + 3 y²
∂g/∂y = 6 x y

Aukštesnės eilės ir mišrios dalinės išvestinės

Galima imti antros, trečios ir aukštesnės eilės dalines išvestines pagal vieną ar skirtingus kintamuosius:

Antroji eilė: f_xx = ∂²f/∂x², f_yy = ∂²f/∂y².
Mišrios: f_xy = ∂²f/∂x∂y, f_yx = ∂²f/∂y∂x.

Pagal Clairaut (schwarz) teoremą, jeigu antrosios dalinės išvestinės yra tęstinės regione, tai mišrios išvestinės yra lygios: f_xy = f_yx.

Gradientas ir kryptinė išvestinė

Gradientas yra vektorius, sudarytas iš pirmos eilės dalinių išvestinių: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...). Gradientas rodo didžiausio didėjimo kryptį ir jo dydis — didėjimo spartą šioje kryptyje.

Kryptinė išvestinė funkcijos f tam tikra vienetinio vektoriaus u kryptimi yra ∇f · u (skaliarinė sandauga). Tai reiškia, kad kryptinė išvestinė matuoja, kaip f keičiasi šia konkrečia kryptimi.

Pritaikymas: optimizavimas ir modeliavimas

Optim, kritinės vietos nustatomos sprendžiant ∇f = 0 (visi pirmos eilės daliniai lygūs nuliui).
Antrųjų dalinių išvestinių matrica (Hessianas) naudojama nustatyti, ar kritinė taškas yra maksimumas, minimumas ar sėkmės vieta.
Dalinės išvestinės plačiai taikomos fizikoj (erdvinių laukų pokyčiai), inžinerijoje, ekonomikoje (pvz., kaip kintamasis įtakoja pelną, laikant kitus parametrus pastoviais) ir kt.

Praktinės pastabos

Jei funkcija turi daugiau nei du kintamuosius, to paties principo taikymas išlieka: imame išvestinę pagal vieną kintamąjį, visus kitus laikome pastoviais.
Dalinės išvestinės gali būti skaičiuojamos analitiškai arba skaitmeninėmis metodikomis (pvz., skirtumų metodu) kompiuteriuose.
Žymėjimo aiškumas svarbus: pažymėkite, pagal kurį kintamąjį imamą išvestinę, ypač funkcijoms su daug kintamųjų.

Apibendrinant: dalinė išvestinė leidžia išanalizuoti atskirų kintamųjų įtaką daugiamatėse funkcijose, naudojant tas pačias išvestinės taisykles kaip ir vienkintamio atveju, bet laikant neįvardytus kintamuosius kaip pastovius.

Pavyzdžiai

Jei turime funkciją f ( x , y ) = x 2 + y {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y} $f(x,y)=x^{2}+y$ , tai yra kelios dalinės f(x, y) išvestinės, kurios visos yra vienodai teisingos. Pavyzdžiui,

∂ ∂ y [ f ( x , y ) ] = 1 {\displaystyle {\frac {\dalinis }{\dalinis y}}[f(x,y)]=1} ${\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1$

Arba galime daryti taip:

∂ ∂ x [ f ( x , y ) ] = 2 x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x} ${\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x$

Susiję puslapiai

Išvestinė (matematika)

Calculus

Skirtumo koeficientas

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra dalinė išvestinė?

Atsakymas: Dalinė išvestinė - tai vieno pavadinto funkcijos kintamojo išvestinė, kai visi kiti neįvardyti kintamieji yra pastovūs.

K: Kaip paprastai užrašoma dalinė išvestinė?

A: Funkcijos f dalinė išvestinė kintamojo x atžvilgiu paprastai užrašoma kaip {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}, f_x arba \partial _{x}f.

Klausimas: Ar dalinė išvestinė visada imama daugiamatei funkcijai?

Atsakymas: Paprastai, nors ir ne visada, dalinė išvestinė imama daugiamatėje funkcijoje (funkcijoje, kurios įvestis yra du ar daugiau kintamųjų).

K: Ką reiškia diferencijuoti tam tikrus nurodytos funkcijos kintamuosius?

A: Diferencijuoti tam tikrus nurodytos funkcijos kintamuosius reiškia imti tų konkrečių kintamųjų išvestines, o visus kitus kintamuosius palikti pastovius.

K: Kokio tipo skaičiavimus apima ši sąvoka?

A: Ši sąvoka apima daugiamatę skaičiuoklę, kuri nagrinėja funkcijų su keliais kintamaisiais kitimo greitį.

Klausimas: Ar be tekste paminėtų dalinės išvestinės užrašų yra ir kitų galiojančių užrašų?

A: Taip, be tekste minėtų, gali būti ir kitų galiojančių dalinės išvestinės užrašų.

Ieškoti