Skaičiuotėje, kuri yra pažangi matematikos rūšis, funkcijos dalinė išvestinė yra vieno įvardyto kintamojo išvestinė, o neįvardytas funkcijos kintamasis laikomas pastoviu. Kitaip tariant, dalinė išvestinė yra tam tikrų nurodytų funkcijos kintamųjų išvestinė ir nediferencijuoja kito (-ų) kintamojo (-ių). Užrašas

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\dalinis f}{\dalinis x}}} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

paprastai vartojama, nors gali būti vartojami ir kiti užrašai. Paprastai, nors ir ne visada, dalinė išvestinė imama daugiamatei funkcijai (funkcijai su trimis ar daugiau kintamųjų, kurie gali būti nepriklausomi arba priklausomi).

Kas tai reiškia praktiškai?

Dalinė išvestinė funkcijos f(x, y, ... ) pagal kintamąjį x reiškia: „kaip keičiasi f, kai kinta tik x, o visi kiti kintamieji laikomi pastoviais“. Tai leidžia vietoje vienos išvestinės tirti poveikį atskiriems kintamiesiems.

Įprasti žymėjimai

  • ∂f/∂x arba ∂/∂x f — dažniausiai vartojamas simbolis.
  • f_x arba f_y — trumpesnis žymėjimas, ypač dažnas literatūroje.
  • D_x f — dar vienas alternatyvus žymėjimas.

Kaip skaičiuoti dalines išvestines — pavyzdžiai

Principas: imame paprastą vienkintamio išvestinės taisyklę, bet laikome kitus kintamuosius kaip konstantas.

Pavyzdys 1. Tegul f(x,y) = x2 y + sin(xy).

  • ∂f/∂x: laikome y pastovia. Išvestinė pagal x: ∂/∂x (x2 y) = 2x y; ∂/∂x sin(xy) = cos(xy)·(∂/∂x (xy)) = cos(xy)·y. Taigi
    ∂f/∂x = 2xy + y cos(xy).
  • ∂f/∂y: laikome x pastoviu. ∂/∂y (x2 y) = x2; ∂/∂y sin(xy) = cos(xy)·(∂/∂y (xy)) = cos(xy)·x. Taigi
    ∂f/∂y = x2 + x cos(xy).

Pavyzdys 2. Tegul g(x,y) = x3 + 3 x y2.

  • ∂g/∂x = 3x2 + 3 y2
  • ∂g/∂y = 6 x y

Aukštesnės eilės ir mišrios dalinės išvestinės

Galima imti antros, trečios ir aukštesnės eilės dalines išvestines pagal vieną ar skirtingus kintamuosius:

  • Antroji eilė: fxx = ∂²f/∂x², fyy = ∂²f/∂y².
  • Mišrios: fxy = ∂²f/∂x∂y, fyx = ∂²f/∂y∂x.

Pagal Clairaut (schwarz) teoremą, jeigu antrosios dalinės išvestinės yra tęstinės regione, tai mišrios išvestinės yra lygios: fxy = fyx.

Gradientas ir kryptinė išvestinė

Gradientas yra vektorius, sudarytas iš pirmos eilės dalinių išvestinių: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...). Gradientas rodo didžiausio didėjimo kryptį ir jo dydis — didėjimo spartą šioje kryptyje.

Kryptinė išvestinė funkcijos f tam tikra vienetinio vektoriaus u kryptimi yra ∇f · u (skaliarinė sandauga). Tai reiškia, kad kryptinė išvestinė matuoja, kaip f keičiasi šia konkrečia kryptimi.

Pritaikymas: optimizavimas ir modeliavimas

  • Optim, kritinės vietos nustatomos sprendžiant ∇f = 0 (visi pirmos eilės daliniai lygūs nuliui).
  • Antrųjų dalinių išvestinių matrica (Hessianas) naudojama nustatyti, ar kritinė taškas yra maksimumas, minimumas ar sėkmės vieta.
  • Dalinės išvestinės plačiai taikomos fizikoj (erdvinių laukų pokyčiai), inžinerijoje, ekonomikoje (pvz., kaip kintamasis įtakoja pelną, laikant kitus parametrus pastoviais) ir kt.

Praktinės pastabos

  • Jei funkcija turi daugiau nei du kintamuosius, to paties principo taikymas išlieka: imame išvestinę pagal vieną kintamąjį, visus kitus laikome pastoviais.
  • Dalinės išvestinės gali būti skaičiuojamos analitiškai arba skaitmeninėmis metodikomis (pvz., skirtumų metodu) kompiuteriuose.
  • Žymėjimo aiškumas svarbus: pažymėkite, pagal kurį kintamąjį imamą išvestinę, ypač funkcijoms su daug kintamųjų.

Apibendrinant: dalinė išvestinė leidžia išanalizuoti atskirų kintamųjų įtaką daugiamatėse funkcijose, naudojant tas pačias išvestinės taisykles kaip ir vienkintamio atveju, bet laikant neįvardytus kintamuosius kaip pastovius.