Principia Mathematica — Whitehead ir Russell: simbolinės logikos monografija
Principia Mathematica — Whitehead ir Russello monumentalus darbas apie simbolinę logiką, matematikos pagrindus ir Gėdelio neužbaigtumo teoremą; esminė filosofijos ir matematikos istorija.
Apie Izaoko Niutono knygą, kurioje pateikiami pagrindiniai fizikos dėsniai, žr. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Prisimenu, kaip Bertranas Raselas (Bertrand Russell) man pasakojo apie siaubingą sapną. Jis buvo universiteto bibliotekos viršutiniame aukšte, maždaug 2100 m. po Kristaus. Bibliotekos asistentas, nešinas didžiuliu kibiru, vaikščiojo po lentynas, vartė knygas, žvilgčiojo į jas, grąžindavo į lentynas arba išmesdavo į kibirą. Galiausiai jis priėjo prie trijų didelių tomų, kuriuos Russellas atpažino kaip paskutinį išlikusį Principia Mathematica egzempliorių. Jis paėmė vieną iš tomų, pervertė kelis puslapius, akimirką atrodė suglumęs dėl keistos simbolikos, užvertė tomą, subalansavo jį rankoje ir suabejojo....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. Matematiko apologija. Cambridge: University Press. p. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.
"Principia Mathematica" - tai trijų tomų Alfredo Northo Whiteheado ir Bertrando Russello veikalas apie matematikos pagrindus. Jis buvo išleistas 1910, 1912 ir 1913 m. 1927 m. pasirodė antrasis leidimas su svarbiu antrojo leidimo įvadu ir skirtingomis pastabomis pabaigoje. Ji dažnai vadinama PM.
Knygoje buvo bandoma aprašyti simbolinės logikos aksiomų ir išvedimo taisyklių rinkinį, kuriuo remiantis iš esmės būtų galima įrodyti visas matematines tiesas. Šis ambicingas projektas yra labai svarbus matematikos ir filosofijos istorijoje. Autoriai tikėjo, kad tokį projektą galima įgyvendinti. Tačiau 1931 m. Gėdelio neužbaigtumo teorema įrodė, kad PM ir bet kuris kitas bandymas niekada negalės pasiekti šio tikslo. Bet kurio pasiūlyto aksiomų ir išvadų taisyklių rinkinio atveju sistema turi būti arba nenuosekli, arba iš tikrųjų turi būti tam tikrų matematikos tiesų, kurių iš jų nebūtų galima išvesti.
Vienas iš pagrindinių PM įkvėpimo šaltinių ir motyvų buvo ankstesni Gotlobo Fregės darbai apie logiką.
PM nereikia painioti su Russello 1903 m. išleistu veikalu "Matematikos principai". PM teigia: Šis darbas iš pradžių turėjo būti... antrasis "Matematikos principų" tomas... Tačiau mums toliau dirbant vis labiau aiškėjo, kad ši tema yra daug platesnė, nei manėme...".
"The Modern Library" ją įtraukė į 100 geriausių XX a. negrožinių knygų anglų kalba sąrašą ir skyrė jai 23 vietą.
Turinys ir struktūra
Principia Mathematica susideda iš trijų tomų, kuriuose nuosekliai vystoma simbolinės logikos sistema ir jos taikymai matematikai. Darbas apima:
- propozicinę ir predikatinę logiką;
- klasių ir ryšių teoriją;
- tikimybių ir kiekybinių sąvokų (kardininių ir ordinalinių skaičių) aprašymą;
- aritmetikos ir realiųjų skaičių konstrukcijas remiantis logikos priemonėmis.
Autoriai pabrėžė formalios kalbos ir simbolių naudojimą: daug dėmesio skirta tiksliai apibrėžti žingsnius, kurių reikia norint iš aksiomų išvesti teoremas.
Tipų teorija ir Aksioma apie redukabilumą
Vienas iš PM kertinių sprendimų buvo ramifikuotos tipų teorijos sukūrimas — mechanizmas, skirtas išvengti paradoksų, tokių kaip Rasello paradoksas. Ramifikuota tipų teorija skirsto objektus į skirtingus tipų lygius ir dar apriboja funkcijų bei predikatų taikymą, kad užkirstų kelią savareferencinėms apibrėžtims.
Tačiau ši schema sukėlė praktinių sunkumų: daug svarbių matematikos teiginių būtų prieinami tik labai sudėtingais keliais. Todėl autoriai įvedė redukcibilumo aksiomą (axiom of reducibility), kuri leido tam tikrus ramifikuotos struktūros supaprastinimus. Ši aksioma vėliau sulaukė kritikos kaip filosofiniu požiūriu mažiau įtikinama ir techniškai įvesti elementas.
Metodologija ir simbolika
PM pasižymi labai tankia ir specializuota simbolika. Dėl to kai kurios esmės — pavyzdžiui, nuoseklus aritmetikos išvedimas — užima daug vietos: garsiai minimas faktas, kad teiginys apie tai, jog 1+1=2, buvo išvestas tik po daugybės puslapių formalių aprašymų ir įrodymų. Toks nuoseklumas atskleidė, kiek užkulisiuose slypi prielaidų, kurias kasdienė matematika dažnai laiko savaime suprantamomis.
Įtaka, paskaitos ir kritika
Principia Mathematica turėjo didžiulę įtaką XX a. logikai, matematinei filosofijai ir analitinei tradicijai. Ji paskatino tolimesnius tyrimus apie formalizavimą, modelių teoriją, metamatematiką ir kompiuterinę logiką. Svarbios pasekmės:
- stiprūs impulsai logikai ir aksiomatiniam požiūriui;
- griežtesnis susidomėjimas formaliosios kalbos reikšme matematikoje;
- pavertimas diskusijų apie prielaidų ir aksiomų filosofinį statusą pagrindu.
Tuo pačiu metu PM sulaukė reikšmingos kritikos. Ramifikuota tipų teorija ir redukibilumo aksioma buvo laikomi mažiau elegantiškais sprendimais, o praktiškai sistema pasirodė sudėtinga. Svarbiausias smūgis projekto ambicijoms — Kurtas Gėdelis 1931 m. įrodymas, kad kiekvienoje pakankamai galingoje formaliai apibrėžtoje konsistentiškoje sistemoje bus teiginių, kurių nei įrodysi, nei paneigsi toje sistemoje (neužbaigtumo teoremos). Tai parodė, kad visiškai loginiu pagrindu išvesti visą matematiką taip, kaip tai įsivaizdavo Whiteheadas ir Russellas, nėra įmanoma.
Poveikis vėlesnei matematinei logikai ir filosofijai
Nepaisant to, kad projektas nepasiekė visos savo ambicijos, Principia Mathematica paliko gilų pėdsaką:
- įkvėpė tolimesnius formalizavimo bandymus (pvz., Hilberto programą ir vėlesnius metamatematikos tyrimus);
- paskatino diskusijas apie formalios kalbos ribas, prielaidų statusą ir matematikos ontologiją;
- turėjo įtakos logikos ir filosofijos mokslams, formuojant XX a. analitinę tradiciją.
Pastabos ir įdomybės
Keletas pastebimų faktų ir požiūrių:
- Garsus istorinis anekdotas, kurį pateikė G. H. Hardy (citata aukščiau), iliustruoja, kaip Principia Mathematica simbolika atrodė neįprastai net artimiems matematikams ir plačiajai publikai.
- Knyga išsiskiria nuoseklumu ir tikslumu — tai buvo ir liko vienas ambicingiausių XX a. bandymų grįsti matematiką vien tik logikos priemonėmis.
- Nors galiausiai pasirodė, kad visiškai užbaigti tokį projektą neįmanoma, daug idėjų ir technikų iš PM tapo pagrindu vėlesnei logikai, teorijai apie modelius ir kompiuterinės logikos raidai.
Bibliografinės pastabos
Reikėtų atkreipti dėmesį, kad PM nėra vienintelė Russell'o knyga apie matematikos pagrindus — ankstesnis jo darbas Matematikos principai (1903) yra kitas šio lauko tekstas. Antrojo PM leidimo (1927) įvadas ir pakeistos pastabos atspindi autorių tolimesnes refleksijas ir bandymus spręsti identifikuotas problemas.
Šaltiniai, citatos ir platesnė bibliografija padeda geriau suprasti knygos istorinį kontekstą ir vėlesnę įtaką mokslui bei filosofijai.
Principia Mathematica sutrumpintos versijos titulinis puslapis iki *56
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Kaip vadinasi Izaoko Niutono knyga?
A: Izaoko Niutono knygos pavadinimas yra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
K: Kas parašė Principia Mathematica?
A: Principia Mathematica parašė Alfredas Nortas Vaithedas (Alfred North Whitehead) ir Bertranas Raselas (Bertrand Russell).
K: Kada buvo išleista Principia Mathematica?
A: Principia Mathematica buvo išleista 1910, 1912 ir 1913 metais.
K: Ką autoriai manė galintys nuveikti su šia knyga?
A: Autoriai manė, kad jie gali panaudoti šią knygą aprašyti aksiomų, išvadų taisyklių ir neprieštaravimo dėsnio rinkinį simbolinėje logikoje, kuriuo remiantis iš principo galima įrodyti visas matematines tiesas.
K: Kaip Gėdelio nepilnumo teorema įrodė, kad šis tikslas neįmanomas?
A: Gėdelio neišbaigtumo teorema įrodė, kad bet kurio pasiūlyto aksiomų ir išvadų taisyklių rinkinio sistema turi būti nenuosekli arba iš tikrųjų turi egzistuoti matematikos tiesos, kurių iš jų negalima išvesti. Todėl ji įrodė, kad šio ambicingo projekto neįmanoma įgyvendinti.
Klausimas: Kas įkvėpė ir motyvavo PM?
A: PM įkvėpė ir paskatino ankstesni Gotlobo Fregės darbai logikos srityje.
K: Kuo PM skiriasi nuo Russello 1903 m. išleisto veikalo "Matematikos principai"?
Atsakymas: PM skiriasi nuo Russello 1903 m. Matematikos principų, nes PM teigiama: "Šis darbas iš pradžių buvo mūsų sumanytas kaip ... antrasis Matematikos principų tomas... Tačiau, mums tobulėjant, vis labiau aiškėjo, kad ši tema yra daug platesnė, nei manėme...".
Ieškoti