Mechaninis darbas: apibrėžimas, formulės ir darbo–energijos teorema

Mechaninis darbas: aiškus apibrėžimas, pagrindinės formulės, darbo–energijos teorema ir praktiniai pavyzdžiai — supraskite jėgos, poslinkio ir energijos ryšį.

Fizikoje jėga atlieka darbą, kai ji veikia kūną ir jėgos veikimo taškas pasislenka jėgos veikimo kryptimi.

Darbas, kurį atlieka kūną veikianti jėga, yra jėgos, veikiančios išilgai poslinkio krypties, ir veikimo taško poslinkio sandauga.

Darbą atlieka jėga, o ne ją sukūręs veiksnys. Judėjimas yra darbo sąlyga.

Kaip ir energija, ji yra skaliarinis dydis, kurio SI vienetai yra džauliai. Šilumos laidumas nelaikomas darbu, nes nėra makroskopiškai išmatuojamos jėgos, o tik mikroskopinės jėgos, atsirandančios per atomų susidūrimus. Darbo terminą 1830 m. sukūrė prancūzų matematikas Gaspardas Gustavas Koriolis.

Pagal darbo ir energijos teoremą, jei standų objektą veikia išorinė jėga, dėl kurios jo kinetinėenergija pasikeičia iš _Ek1 į _{Ek2, tai} mechaninis darbas (W) yra lygus:

W = Δ E k = E k 2 - E k 1 = m v 2 2 2 2 - m v 1 2 2 2 {\displaystyle W=\Delta E_{k}=E_{k_{2}}-E_{k_{1}}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}}}}

čia m - objekto masė, o v - objekto greitis.

Jei objektą veikia pastovi jėga F, o objektas pasislenka atstumu d, o jėga ir poslinkis yra lygiagretūs vienas kitam, objekto atliktas darbas yra F ir d sandauga:

W = F ⋅ d {\displaystyle W=F\cdot d}

Jei jėga ir poslinkis yra tos pačios krypties, darbas yra teigiamas. Jei jėga ir poslinkis yra priešingų krypčių, darbas yra neigiamas. Pavyzdžiui, darbas, kurį atlieka keliamos knygos svoris, yra neigiamas. Taip yra todėl, kad žemyn nukreiptas svoris yra priešingos krypties nei aukštyn nukreiptas poslinkis.

Darbo apibrėžimas vektorine forma ir kintančiai jėgai

Bendra vektorinė išraiška: mechaninio darbo atlikimo vienu dydžiu apibrėžimas naudojant skaliarinę sandaugą:

• W = ∫_C F · ds, kur integralas vykdomas palei kelį C nuo pradinio iki galutinio taško.
• Ši formulė tinka ir kintančiai jėgai bei kreivam judėjimui: mažoje poslinkio dalelėje ds darbas yra dW = F · ds.

Pastovios jėgos atveju, kai jėga F yra konstantinė ir lygiagreti poslinkiui d, integravimo rezultatas duoda W = F·d (tai yra F d cosθ, kur θ — kampas tarp jėgos ir poslinkio). Jei θ = 0, W = F d; jei θ = 180° (priešingos kryptys), W = −F d.

Vienetai ir skaliariškumas

SI vienetas: džaulis (J). 1 J = 1 N·m. Darbas yra skaliarinis dydis — turi tik dydį (t. y. nepriklauso nuo krypties kaip vektorius), bet jo skaičiavose naudojama vektorinė sandauga.

Darbo ir energijos teorema — trumpas išvedimas

Pradedant nuo Niutono antrojo dėsnio F = m a ir užrašant ds = v dt, turime:

• dW = F · ds = m a · v dt = m (dv/dt) · v dt = m v · dv.
• Integravus nuo pradinio iki galutinio greičio: W = ∫ m v · dv = 1/2 m v^2 |_1^2 = ΔE_k.

Todėl suminis darbas (visų išorinių jėgų atliktas darbas) lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui: W_net = ΔE_k (tai parodyta ir aukščiau esamoje formulėje su paveikslėliu).

Darbo pavyzdžiai ir specialūs atvejai

• Gravitacinė jėga arti Žemės paviršiaus: jei objektas pakeliamas vertikaliai į aukštį Δh, sunkio jėgos atliktas darbas yra W_g = −m g Δh (neigiamas, kai objektas keliamas aukštyn). Priešingai, darbą, kurį atlieka žmogus pakeldamas daiktą, galima laikyti teigiamu ir lygų m g Δh, jei daroma be pagreičio.
• Pavasario (Hooke'o) jėga: stangrumo konstantai k, pavasario jėga F = −k x. Darbas nuo padėties x1 iki x2: W = −∫_{x1}^{x2} k x dx = −(1/2 k x2^2 − 1/2 k x1^2). Susijusio potencialo energija U = 1/2 k x^2.
• Trinties jėga: dažniausiai atlieka neigiamą darbą (mažina kinetinę energiją) ir paverčia mechaninę energiją šiluma. Darbas priklauso nuo kelio (nenustatytas), todėl trintis yra ne konservatyvi jėga.
• Kelio priklausomumas: darbą atliekančios konservatyvios jėgos (pvz., gravitacija, idealaus spyruoklės jėga) priklauso tik nuo pradžios ir pabaigos padėčių, o ne nuo kelio. Nekonservatyvios jėgos (pvz., trintis) daro darbą, priklausantį nuo kelio ilgio ir formos.

Kelios praktinės pastabos ir skaičiavimo pavyzdys

• Jei jėga F = 10 N taikoma kryptimi judėjimo ir kūnas pasislenka d = 2 m, tada W = F d = 20 J.
• Pakeliant knygą aukštyn lėtai (pastoviu greičiu) į aukštį h, jūsų atliktas darbas W_ap = m g h (teigiamas), sunkio darbai W_grav = −m g h (neigiamas). Bendras darbas lygus nuliui, todėl ΔE_k = 0 — knygos kinetinė energija nesikeičia.

Santrauka

Mechaninis darbas matuoja, kiek jėga prisideda prie kūno energijos pasikeitimo per poslinkį. Jis apskaičiuojamas kaip integralas arba, paprastais atvejais, kaip jėgos ir poslinkio sandauga. Darbo ir energijos teorema susieja darbą su kinetinės energijos pokyčiu ir yra vienas pagrindinių mechanikos principų. Skiriame konservatyviąsias jėgas (susijusias su potencialo energija ir kelio nepriklausomu darbu) nuo nekonservatyviųjų (pvz., trinties), kurios sumažina mechaninę energiją ir paverčia ją šilumine arba kita energija.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra darbas fizikoje?

K: Kaip darbas vaizduojamas matematiškai?

K: Kas atsitinka, jei tarp jėgos ir poslinkio krypties yra kampas?

Klausimas: Ar šilumos laidumas laikomas darbo forma?

K: Kas sukūrė terminą "darbas"?

K: Ką teigia darbo ir energijos teorema?

Paieška pagal raidę