Determinantas: kvadratinės matricos reikšmė, simboliai ir skaičiavimas

Yra keletas būdų suprasti, ką determinantas sako apie matricą.

Geometrinis aiškinimas

N × n {\displaystyle n\times n} matricą galima laikyti n {\displaystyle n} matmenų tiesiniu žemėlapiu. Šiuo atveju determinantas nurodo, kokiu koeficientu ši matrica keičia (didina arba mažina) n {\displaystyle n} matmenų erdvės sritį.

Pavyzdžiui, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matrica A {\displaystyle A} matrica, vertinama kaip tiesinis žemėlapis, dvimatėje erdvėje esantį kvadratą pavers lygiagretainiu. To lygiagretainio plotas bus det ( A ) {\displaystyle \det(A)} kartus didesnis už kvadrato plotą.

Taip pat 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matrica B {\displaystyle B} , laikoma tiesiniu žemėlapiu, 3 matmenų erdvėje esantį kubą pavers lygiagretainiu. To lygiagretainio tūris bus det ( B ) {\displaystyle \det(B)} kartus didesnis už kubo tūrį.

Determinantas gali būti neigiamas. Linijinis žemėlapis gali ištempti ir išmatuoti tūrį, bet taip pat gali jį atspindėti per ašį. Kai taip atsitinka, determinanto ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą arba iš neigiamo į teigiamą. Neigiamas determinantas reiškia, kad tūris buvo atspindėtas per nelyginį ašių skaičių.

"Lygčių sistemos" aiškinimas

Matricą galite suvokti kaip tiesinių lygčių sistemą. Ši sistema turi unikalų netrivialų sprendinį būtent tada, kai determinantas nėra lygus 0. (Netrivialus reiškia, kad sprendinys nėra vien tik nuliai.)

Jei determinantas lygus nuliui, tai arba nėra unikalaus netrivialaus sprendinio, arba jų yra be galo daug.

Matrica turi atvirkštinę matricą būtent tada, kai jos determinantas nėra lygus 0. Dėl šios priežasties matrica, kurios determinantas nelygus nuliui, vadinama invertuojamąja. Jei determinantas lygus 0, matrica vadinama neinvertuojamąja arba singuliariąja.

Geometriškai singuliarinę matricą galima įsivaizduoti kaip lygiagretainio suplokštinimą į lygiagretainį arba lygiagretainio suplokštinimą į tiesę. Tuomet tūris arba plotas yra lygus 0, ir nėra jokio tiesinio žemėlapio, kuris sugrąžintų senąją formą.

Yra keletas būdų, kaip apskaičiuoti determinantą.

Mažų matricų formulės

• 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} ir 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matricų formules galite prisiminti:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matricoms formulė yra tokia:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Norėdami įsiminti šią formulę, galite naudoti Sarruso taisyklę (žr. paveikslėlį).

Kofaktorių išsiplėtimas

Didesnių matricų determinantą apskaičiuoti sunkiau. Vienas iš būdų tai padaryti vadinamas kofaktoriaus plėtiniu.

Tarkime, kad turime n × n {\displaystyle n\times n} matricą A {\displaystyle A} . Pirmiausia pasirenkame bet kurią matricos eilutę ar stulpelį. Kiekvienam toje eilutėje ar stulpelyje esančiam skaičiui a i j {\displaystyle a_{ij}} apskaičiuojame vadinamąjį kofaktorių C i j {\displaystyle C_{ij}}. . Tada det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}}. .

Norint apskaičiuoti tokį kofaktorių C i j {\displaystyle C_{ij}} ištrinsime i eilutę {\displaystyle i} ir j stulpelį {\displaystyle j} iš matricos A {\displaystyle A} . Taip gauname mažesnę ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\ kartus (n-1)} matricą. Ją vadiname M {\displaystyle M} Tada kofaktorius C i j {\displaystyle C_{ij}} yra lygus ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Štai 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matricos kairiojo stulpelio kofaktoriaus plėtinio pavyzdys:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&&={\\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&2\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}}dešinė)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

Kaip matote, pasirinkę eilutę arba stulpelį, kuriame yra daug nulių, galime sutaupyti darbo. Jei a i j {\displaystyle a_{ij}} yra 0, mums nereikia skaičiuoti C i j {\displaystyle C_{ij}}. .

• tomas