Determinantas

Kvadratinės matricos determinantas - tai skaliaras (skaičius), kuris pasako, kaip ta matrica elgiasi. Determinantą galima apskaičiuoti iš matricoje esančių skaičių.

"Matricos A {\displaystyle A} determinantas {\displaystyle A}" formulėje užrašomas kaip det ( A ) {\displaystyle \det(A)}{\displaystyle \det(A)} arba | A | {\displaystyle |A|}{\displaystyle |A|}. Kartais vietoj det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}\right)} ir | [ {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)}a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}tiesiog rašome det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}} ir | a{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}\right|} .

Interpretacija

Yra keletas būdų suprasti, ką determinantas sako apie matricą.

Geometrinis aiškinimas

N × n {\displaystyle n\times n} {\displaystyle n\times n}matricą galima laikyti n {\displaystyle n} nmatmenų tiesiniu žemėlapiu. Šiuo atveju determinantas nurodo, kokiu koeficientu ši matrica keičia (didina arba mažina) n {\displaystyle n} nmatmenų erdvės sritį.

Pavyzdžiui, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle 2\times 2}matrica A {\displaystyle A} {\displaystyle A}matrica, vertinama kaip tiesinis žemėlapis, dvimatėje erdvėje esantį kvadratą pavers lygiagretainiu. To lygiagretainio plotas bus det ( A ) {\displaystyle \det(A)} {\displaystyle \det(A)}kartus didesnis už kvadrato plotą.

Taip pat 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} {\displaystyle 3\times 3}matrica B {\displaystyle B}{\displaystyle B} , laikoma tiesiniu žemėlapiu, 3 matmenų erdvėje esantį kubą pavers lygiagretainiu. To lygiagretainio tūris bus det ( B ) {\displaystyle \det(B)} {\displaystyle \det(B)}kartus didesnis už kubo tūrį.

Determinantas gali būti neigiamas. Linijinis žemėlapis gali ištempti ir išmatuoti tūrį, bet taip pat gali jį atspindėti per ašį. Kai taip atsitinka, determinanto ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą arba iš neigiamo į teigiamą. Neigiamas determinantas reiškia, kad tūris buvo atspindėtas per nelyginį ašių skaičių.

"Lygčių sistemos" aiškinimas

Matricą galite suvokti kaip tiesinių lygčių sistemą. Ši sistema turi unikalų netrivialų sprendinį būtent tada, kai determinantas nėra lygus 0. (Netrivialus reiškia, kad sprendinys nėra vien tik nuliai.)

Jei determinantas lygus nuliui, tai arba nėra unikalaus netrivialaus sprendinio, arba jų yra be galo daug.

Zoom

2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle 2\times 2}matricai [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\b&d\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}, determinantas yra lygiagretainio plotas. (Plotas lygus a d - b c {\displaystyle ad-bc}{\displaystyle ad-bc} .)

Singuliarinės matricos

Matrica turi atvirkštinę matricą būtent tada, kai jos determinantas nėra lygus 0. Dėl šios priežasties matrica, kurios determinantas nelygus nuliui, vadinama invertuojamąja. Jei determinantas lygus 0, matrica vadinama neinvertuojamąja arba singuliariąja.

Geometriškai singuliarinę matricą galima įsivaizduoti kaip lygiagretainio suplokštinimą į lygiagretainį arba lygiagretainio suplokštinimą į tiesę. Tuomet tūris arba plotas yra lygus 0, ir nėra jokio tiesinio žemėlapio, kuris sugrąžintų senąją formą.

Determinanto skaičiavimas

Yra keletas būdų, kaip apskaičiuoti determinantą.

Mažų matricų formulės

  • 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1}{\displaystyle 1\times 1} ir 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle 2\times 2}matricų formules galite prisiminti:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} {\displaystyle 3\times 3}matricoms formulė yra tokia:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Norėdami įsiminti šią formulę, galite naudoti Sarruso taisyklę (žr. paveikslėlį).

Kofaktorių išsiplėtimas

Didesnių matricų determinantą apskaičiuoti sunkiau. Vienas iš būdų tai padaryti vadinamas kofaktoriaus plėtiniu.

Tarkime, kad turime n × n {\displaystyle n\times n} {\displaystyle n\times n}matricą A {\displaystyle A}{\displaystyle A} . Pirmiausia pasirenkame bet kurią matricos eilutę ar stulpelį. Kiekvienam toje eilutėje ar stulpelyje esančiam skaičiui {\displaystyle a_{ij}}a i j {\displaystyle a_{ij}} apskaičiuojame vadinamąjį kofaktorių C i j {\displaystyle C_{ij}}. {\displaystyle C_{ij}}. Tada det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}}. {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

Norint apskaičiuoti tokį kofaktorių C i j {\displaystyle C_{ij}} {\displaystyle C_{ij}}ištrinsime i eilutę {\displaystyle i}{\displaystyle i} ir j stulpelį {\displaystyle j}{\displaystyle j} iš matricos A {\displaystyle A}{\displaystyle A} . Taip gauname mažesnę ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\ kartus (n-1)} {\displaystyle (n-1)\times (n-1)}matricą. Ją vadiname M {\displaystyle M} {\displaystyle M}Tada kofaktorius C i j {\displaystyle C_{ij}}{\displaystyle C_{ij}} yra lygus ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)}{\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Štai 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} {\displaystyle 3\times 3}matricos kairiojo stulpelio kofaktoriaus plėtinio pavyzdys:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 C 11 + 2 C 21 + 0 C 31 = ( 1 ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 3 4 ] ) + ( 2 ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 1 1 ) + ( 2 ( - 1 ) 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&&={\\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&2\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}}dešinė)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

Kaip matote, pasirinkę eilutę arba stulpelį, kuriame yra daug nulių, galime sutaupyti darbo. Jei a i j {\displaystyle a_{ij}}{\displaystyle a_{ij}} yra 0, mums nereikia skaičiuoti C i j {\displaystyle C_{ij}}. {\displaystyle C_{ij}}.

Zoom

3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} {\displaystyle 3\times 3}determinanto formulė yra sandaugų suma. Šios sandaugos eina išilgai įstrižainių, kurios "apjuosia" matricos viršų. Ši gudrybė vadinama Sarruso taisykle.

Susiję puslapiai

Valdžios institucijų kontrolė Edit this at Wikidata

  • BNF: cb11975737s (duomenys)
  • LCCN: sh85037299
  • NDL: 00562696

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra determinantas?


A: Determinantas yra skaliaras (skaičius), rodantis, kaip elgiasi kvadratinė matrica.

K: Kaip galima apskaičiuoti matricos determinantą?


A: Matricos determinantą galima apskaičiuoti iš matricoje esančių skaičių.

K: Kaip užrašomas matricos determinantas?


A: Matricos determinantas formulėje užrašomas kaip det(A) arba |A|.

K: Ar yra kitų būdų užrašyti matricos determinantą?


A: Taip, vietoj det([a b c d]) ir |[a b c d]| galima tiesiog užrašyti det [a b c d] ir |[a b c d]|.

K: Ką reiškia, kai sakome "skaliaras"?


A: Skalaras yra atskiras skaičius arba dydis, turintis didumą, bet neturintis krypties.

K: Kas yra kvadratinės matricos?


A: Kvadratinės matricos - tai matricos, turinčios vienodą eilučių ir stulpelių skaičių, pavyzdžiui, 2x2 arba 3x3 matricos.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3