Paralelipipedas (lygiagretainis) – apibrėžimas, savybės ir tipai

Bet kurią iš trijų lygiagrečių plokštumų porų galima laikyti prizmės pagrindo plokštumomis. Lygiagretainis turi tris keturių lygiagrečių briaunų rinkinius; kiekvieno rinkinio briaunos yra vienodo ilgio.

Lygiagretainiai atsiranda iš kubo tiesinių transformacijų (nedegeneruotiems atvejams: bijektyvios tiesinės transformacijos).

Kadangi kiekviena briauna yra taškinės simetrijos, lygiagretainis yra zonoedras. Be to, visas lygiagretainis yra taškinės simetrijos _{Ci (}taip pat žr. triklininis). Kiekviena plokštuma, žiūrint iš išorės, yra priešingos plokštumos veidrodinis atspindys. Briaunos apskritai yra chiralinės, bet paraleloplanui taip nėra.

Erdvę užpildanti teseliacija galima su bet kurio lygiagretainio gretutinėmis kopijomis.

Lygiagretainio tūris yra jo pagrindo ploto A ir aukščio h sandauga. Pagrindas yra bet kuri iš šešių lygiagretainio sienelių. Aukštis yra statmenas atstumas tarp pagrindo ir priešingo paviršiaus.

Alternatyvus metodas apibrėžia vektorius a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ir c = (c1, c2, c3), kurie reiškia tris briaunas, susitinkančias vienoje viršūnėje. Tuomet lygiagretainio tūris lygus skaliarinės trigubos sandaugos a - (b × c) absoliučiajai vertei:

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Taip yra todėl, kad, jei pagrindo kraštinėms atvaizduoti pasirinksime b ir c, pagrindo plotas pagal kryžminės sandaugos apibrėžimą bus lygus (žr. geometrinę kryžminės sandaugos reikšmę),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \dešinė|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \dešinė|,}

kur θ yra kampas tarp b ir c, o aukštis yra

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

kur α yra vidinis kampas tarp a ir h.

Iš paveikslėlio galime daryti išvadą, kad α dydis ribojamas iki 0° ≤ α < 90°. Priešingai, vektorius b × c gali sudaryti su a vidinį kampą β, didesnį nei 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Kadangi b × c yra lygiagretus h, β reikšmė yra arba β = α, arba β = 180° - α. Taigi

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

ir

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Darome išvadą, kad

V = A h = | a | | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \ kartus \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

kuri pagal skaliarinės (arba taškinės) sandaugos apibrėžtį yra lygi absoliutinei a - (b × c) vertei, Q.E.D.

Pastaroji išraiška taip pat yra lygiavertė trimatės matricos, sudarytos naudojant a, b ir c kaip eilutes (arba stulpelius), determinanto absoliutinei vertei:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Tai nustatoma taikant Cramerio taisyklę trims sumažintoms dvimatėms matricoms, rastoms iš originalo.

Jei a, b ir c yra lygiagretainio kraštinių ilgiai, o α, β ir γ yra vidiniai kampai tarp kraštinių, tūris yra

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Atitinkamas tetraedras

Bet kurio tetraedro, kuris turi tris susikertančias lygiagretainio briaunas, tūris yra lygus šeštadaliui to lygiagretainio tūrio (žr. įrodymą).

Lygiagretainiai su simetrijos plokštuma turi du atvejus:

• jis turi keturis stačiakampius paviršius
• jis turi du rombinius paviršius, o iš kitų paviršių du gretimi yra vienodi, o kiti du taip pat (šios dvi poros yra vienas kito veidrodiniai atspindžiai).

Taip pat žr. monoklinis.

Stačiakampis kuboidas, dar vadinamas stačiakampiu lygiagretainiu arba kartais tiesiog kuboidu, yra lygiagretainis kubas, kurio visos briaunos yra stačiakampės; kubas yra kubas su kvadratinėmis briaunomis.

Romboedras yra lygiagretainis su visomis rombinėmis sienelėmis; trikampis trapecijosedras yra romboedras su sutampančiomis rombinėmis sienelėmis.

Tobulasis lygiagretainis - tai lygiagretainis su sveikojo skaičiaus ilgio briaunomis, paviršiaus įstrižainėmis ir erdvės įstrižainėmis. 2009 m. buvo įrodyta, kad egzistuoja kelios dešimtys tobulų lygiagretainio plokščių, taip atsakant į atvirą Richardo Guy klausimą. Vienas pavyzdys turi briaunas 271, 106 ir 103, mažąsias veido įstrižaines 101, 266 ir 255, didžiąsias veido įstrižaines 183, 312 ir 323 ir erdvines įstrižaines 374, 300, 278 ir 272.

Yra žinomi kai kurie tobuli lygiagretainiai, turintys du stačiakampius paviršius. Tačiau nežinoma, ar yra tokių, kurių visos briaunos stačiakampės; toks atvejis būtų vadinamas tobulu kuboidu.

Kokseteris lygiagretainio apibendrinimą aukštesniuose matmenyse pavadino lygiagretainiu (angl. parallelepiped).

Konkrečiai n-matėje erdvėje jis vadinamas n-matmeniu paralelotopu arba tiesiog n-paralelotopu. Taigi lygiagretainis yra 2 lygiagretainis, o lygiagretainis - 3 lygiagretainis.

Apskritai lygiagretainis arba Voronoi lygiagretainis turi lygiagrečias ir sutampančias priešingas briaunas. Taigi 2 paralelotopas yra paralelogonas, kuriam taip pat gali priklausyti tam tikri šešiakampiai, o 3 paralelotopas yra paraleloedras, apimantis 5 rūšių daugiakampius.

n-paralelotopo įstrižainės susikerta viename taške ir yra perskirtos šiuo tašku. Inversija šiame taške n-paralellotopą palieka nepakitusį. Taip pat žr. izometrijos grupių fiksuotus taškus Euklidinėje erdvėje.

Iš vienos k-paralelotopo viršūnės sklindančios briaunos sudaro vektorinės erdvės k-rėmį ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}, o paralelotopą galima atkurti iš šių vektorių, imant vektorių tiesinius derinius su svoriais nuo 0 iki 1.

R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kur m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, įterpto į R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, n-apimtis gali būti apskaičiuota naudojant Gramo determinantą. Arba tūris yra vektorių išorinės sandaugos norma:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Jei m = n, tai yra n vektorių determinanto absoliutinė vertė.

Kita formulė n-paralelotopo P tūriui R n apskaičiuoti {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , kurio n + 1 viršūnių yra V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}} yra

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 1 ] T , [ V 1 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kur [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} yra eilučių vektorius, sudarytas sudėjus V i {\displaystyle V_{i}} ir 1. Iš tikrųjų determinantas nesikeičia, jei [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} atimamas iš [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}. (i > 0), o [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} pastačius į paskutinę poziciją, pasikeičia tik jo ženklas.

Panašiai bet kurio n-veidrodžio, kuris turi n susikertančių paralelotopo kraštinių, tūris yra lygus 1/n! to paralelotopo tūrio.

1570 m. sero Henry Billingsley išleistame Euklido "Elementų" vertime šis žodis pasirodo kaip parallelipipedon. 1644 m. išleistame "Cursus mathematicus" Pierre'as Hérigone'as rašė parallelepipedum. Oksfordo anglų kalbos žodyne nurodoma, kad dabartinis parallelepipedas pirmą kartą pasirodė Walterio Charletono veikale Chorea gigantum (1663 m.).

Charleso Huttono žodyne (1795 m.) pateikiami parallelopiped ir parallelopipedon, o tai rodo jungiamosios formos parallelo- įtaką, tarsi antrasis elementas būtų pipedon, o ne epipedon. Noah Webster (1806 m.) taip pat rašo parallelopiped. 1989 m. Oksfordo anglų kalbos žodyno leidime parallelopiped (ir parallelipiped) aiškiai apibūdinamos kaip netaisyklingos formos, tačiau 2004 m. leidime jos išvardijamos be komentarų, o pateikiamas tik tarimas su penktojo skiemens pi akcentu (/paɪ/).

Tradicinio tarimo pakeitimas paslėpė skirtingą graikiškų šaknų siūlomą dalelytę: epi- ("ant") ir pedon ("žemė") susijungia į epiped, plokščią "plokštumą". Taigi lygiagretainio sienelės yra plokščios, o priešingos sienelės yra lygiagrečios.