Fermato skaičiai: apibrėžimas, formulė ir žinomi pirminiai dalikliai

Fermato skaičius yra ypatingas teigiamas sveikasis skaičius, pavadintas Pjero de Fermat vardu. Jis apibrėžiamas formule

F_n = 2^{2^n} + 1

čia n yra natūralusis sveikasis skaičius (įskaitant 0). Iš formulės matyti, kad Fermato skaičiai auga labai greitai: F0 = 2^{2^0}+1 = 3, F1 = 5, F2 = 17 ir t. t.

Pirmieji Fermato skaičiai (F0–F8)

Pirmieji devyni Fermato skaičiai (seka A000215 OEIS) yra:

F0 = 2^2⁰ + 1 = 3

F1 = 2^2¹ + 1 = 5

F2 = 2^2² + 1 = 17

F3 = 2^2³ + 1 = 257

F4 = 2^2⁴ + 1 = 65537

F5 = 2^2⁵ + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 2^2⁶ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2^2⁷ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 2^2⁸ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Pirminumas ir faktorizacija

Iš pradžių Fermatas spėjo, kad visi F_n yra pirminiai. Tačiau 1732 m. Leonhardas Euleris parodė, kad F5 yra sudėtinis, atradęs daliklį 641 (F5 = 641 × 6700417). Nuo to laiko rasta daug kitų daliklių didesniems Fermato skaičiams; kol kas vieninteliai žinomi Fermato pirminiai yra F0, F1, F2, F3 ir F4.

Dauguma didesnių Fermato skaičių yra įrodyti sudėtiniai arba rasti bent vienas ne-trivialus daliklis; tęsiami skaičiavimai ir daliklių paieška. Pilnas žinomų faktorizacijų sąrašas ir atnaujinimai yra prieinami specializuotuose tinklalapiuose, pavyzdžiui, puslapyje "Fermos skaičių pirminiai faktoriai".

Savybės

• Reikšminė sąlyga pirminumui: jei skaičius 2^m + 1 (m > 0) yra pirminis, tada m turi būti dviejų galybė. Todėl visi pirminiai skaičiai iš formos 2^{2^n}+1 yra vadinami Fermato pirminiais.
• Modulinė savybė dalikliams: jeigu pirminis p dalija F_n = 2^{2^n}+1, tai ord(2 mod p) = 2^{n+1}, iš čia seka, kad p ≡ 1 (mod 2^{n+1}). Kitaip tariant, bet kuris nelyginis pirminis daliklis F_n yra formos p = k·2^{n+1} + 1.
• Mutualus nesutapimas: bet kurie du skirtingi Fermato skaičiai yra tarpusavyje pirminiai (t. y. Daugiklis bet kurio dviejų skirtingų Fermato skaičių sandaugos nėra bendras). Konkrečiau, F_m ir F_n (m ≠ n) turi tarpusavyje nedalinančių santykių: gcd(F_m, F_n) = 1.

Ryšys su geometrija

Fermato pirminiai yra svarbūs klasifikacijoje, kurios reguliarūs daugiakampiai (reguliarūs n-kampiai) yra konstruojami tik tiesia linija ir skriestuvu. Tiksliau, reguliarus n-kampis yra konstruktyvus teisėtu būdu tada ir tik tada, kai n = 2^k·p1·p2·…·pr, kur p1,…,pr yra skirtingi Fermato pirminiai. Kadangi žinomi Fermato pirminiai yra tik 3, 5, 17, 257 ir 65537, tai paaiškina, kodėl, pavyzdžiui, reguliarus 17-kampis yra konstruktyvus.

Istorija ir dabartinė būklė

P.J. Fermat XVII a. pasiūlė prielaidą, kad visi F_n yra pirminiai; vėliau daugelyje atvejų tai pasirodė neteisinga — pirmasis neatitikimas rastas jau Eulerio. Šiuo metu (iki šiol) nenustatyta, ar egzistuoja begalinis skaičius Fermato pirminių: kol kas rasti tik pirmieji penki. Skaičiavimai ir faktorizacijos tęsiami naudojant didelių skaičių algoritmus bei kompiuterių tinklus.

Jeigu norite gilintis toliau, patartina peržiūrėti specializuotas duomenų bazes ir straipsnius apie Fermato skaičius, jų faktorizacijas ir taikymus (pavyzdžiui, puslapį "Fermos skaičių pirminiai faktoriai").