Fraktalas

Pavyzdžiai

Yra daugybė fraktalų rūšių, sukurtų įvairiais būdais. Vienas iš pavyzdžių yra Sierpinskio trikampis, kuriame didžiojo trikampio viduje yra begalinis skaičius mažų trikampių. Kitas pavyzdys - Mandelbroto aibė, pavadinta Benoît Mandelbrot vardu. Sierpinskio trikampis sudarytas naudojant modelius, o Mandelbroto aibė pagrįsta lygtimi.

Gamtoje taip pat yra daugybė natūralių fraktalų pavyzdžių, įskaitant medžius, snaiges, kai kurias daržoves ir pakrančių linijas.

Kocho kreivė

Kocho kreivė yra paprastas fraktalo pavyzdys. Pirmiausia pradėkite nuo tiesės dalies - vadinamosios tiesės atkarpos. Perpjaukite tiesę į 3 vienodo dydžio dalis. Atsikratykite tų gabalėlių vidurio ir į juos įdėkite viršutinę trikampio dalį, kurios kraštinės yra tokio pat ilgio kaip iškirpto gabalėlio. Dabar turime 4 tiesės atkarpas, kurių galai liečiasi. Tai, ką ką tik padarėme su pirmąja atkarpa, dabar galime padaryti su kiekviena iš 4 atkarpų. Dabar tą patį galime pakartoti su visomis gautomis atkarpomis. Dabar tai darysime amžinai ir pažiūrėsime, ką gausime.

Kocho kreivės ilgis yra begalybė, o Kocho kreivės plotas lygus nuliui. Tai gana keista. Tiesės atkarpos (kurios matmuo 1) ilgis gali būti 1, bet jos plotas lygus 0. Kvadrato, kurio ilgis 1, o plotis 1 (kurio matmuo 2), plotas bus 1, o ilgis - begalybė.

Panašumo matmuo

Taigi, atrodo, kad Kocho kreivė yra didesnė už kažką, kas yra 1 matmens, ir mažesnė už kažką, kas yra 2 matmens. Panašumo matmens idėja - suteikti matmenį, kuris geriau atspindėtų fraktalų ilgį arba plotą. Taigi Kocho kreivei norime dimensijos tarp 1 ir 2.

Kocho kreivę galima supjaustyti į keturias dalis, kurių kiekviena yra 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} originalo dydžio. Kūrinių, į kuriuos galima supjaustyti fraktalą, skaičių vadiname N {\displaystyle N} , o dydžių skirtumą - B {\displaystyle B} . Šiuos dydžius įrašome į lygtį:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}

Kur log {\displaystyle \log } yra skaičiaus logaritmas. Šis skaičius yra fraktalo Hausdorfo matmuo. Kocho kreivėje tai yra log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {1}{3}}}}=1,2619... } , kaip ir norėjome.

Kocho kreivė yra viena paprasčiausių fraktalinių figūrų, todėl jos matmenis lengva nustatyti. Jos panašumo matmuo ir Hausdorfo matmuo yra vienodi. Tai negalioja sudėtingesniems fraktalams.

Kocho snaigė

Kocho snaigė (arba Kocho žvaigždė) yra tokia pati kaip Kocho kreivė, tik ji prasideda nuo lygiakraščio trikampio, o ne nuo tiesės atkarpos.

Kaip sukurti Kocho kreivę

Naudoja

Fraktalai plačiai taikomi, pavyzdžiui, biologijoje (plaučiai, inkstai, širdies ritmo kintamumas ir t. t.), žemės drebėjimuose, finansuose, kur jie susiję su vadinamaisiais "sunkiosios uodegos" pasiskirstymais, ir fizikoje. Tai rodo, kad fraktalai turėtų būti tiriami siekiant suprasti, kodėl gamtoje fraktalai tokie dažni.

Kai kurie fraktalai egzistuoja tik meniniais sumetimais, tačiau kiti yra labai naudingi. Fraktalai yra labai efektyvios radijo antenų formos, jie naudojami kompiuterių mikroschemose, kad efektyviai sujungtų visus komponentus. Be to, pakrančių linijas galima laikyti fraktalais.