Funkcijų sudėtis: apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai
Funkcijų sudėtis: aiškus apibrėžimas, pagrindinės savybės ir iliustruojantys pavyzdžiai su paaiškinimais bei uždaviniais – mokykitės žingsnis po žingsnio.
Matematikoje funkcijos sudėtis - tai būdas iš dviejų kitų funkcijų sukurti naują funkciją.
Jei f yra funkcija iš X į Y, o g - funkcija iš Y į Z, tada sakome, kad g, sudaryta iš f, užrašoma taip: g ∘ f - funkcija iš X į Z (atkreipkite dėmesį, kad paprastai ji užrašoma priešingai, nei žmonės tikisi, kaip paaiškinsime toliau).
Įvesties x reikšmė f užrašoma kaip f(x). G ∘ f reikšmė, atsižvelgiant į įvestį x, rašoma (g ∘ f)(x) ir apibrėžiama kaip g(f(x)) (vadinasi, mūsų būdas užrašyti g, sudarytą su f, yra prasmingas).
Štai dar vienas pavyzdys. Tegul f yra funkcija, kuri padvigubina skaičių (padaugina jį iš 2), o g - funkcija, kuri iš skaičiaus atima 1.
Jie būtų užrašyti taip:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g, sudaryta iš f, būtų funkcija, kuri padvigubina skaičių ir iš jo atima 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f, sudaryta iš g, būtų funkcija, kuri iš skaičiaus atimtų 1 ir jį padvigubintų:
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = 2(x − 1) = 2x − 2.
Aiškesnis apibrėžimas ir užrašas
Funkcijų sudėtis g ∘ f reiškia „pirmiausia atlikti f, tada g“. Praktinė taisyklė: kažkas, kas stovi arčiau įvesties x, taikoma pirmiau. Taigi (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Dėl šio užrašo daugeliui atrodo, kad tvarka parašyta „atvirkščiai“ — pirmiausia rašoma vidinė funkcija f, paskui išorinė g.
Domenas, reikšmė ir galimos apribojimos
Norint, kad g ∘ f būtų apibrėžta tam tikram x, turi būti:
- x priklausyti f apibrėžimo sritiai (domenui) X;
- f(x) turi priklausyti g apibrėžimo sričiai (t. y. f(x) ∈ Y, kur g: Y → Z).
Taigi sudėties domenas yra visi tokie x ∈ X, kuriems f(x) ∈ domenas(g). Kartais tai sukelia papildomų apribojimų: pvz., jei g = sqrt, o f(x) = x − 3, tai norint sqrt(f(x)) reikės f(x) ≥ 0, t. y. x ≥ 3.
Savybės
- Asociatyvumas: jei turime funkcijas f: X→Y, g: Y→Z, h: Z→W, tai h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Tvarka taikant funkcijas nesvarbu (iki domeno apribojimų), tačiau užrašas išlieka su išorinėmis funkcijomis kairėje.
- Nekomutatyvumas: apskritai g ∘ f ≠ f ∘ g. Pavyzdys aukščiau: (g ∘ f)(x) = 2x − 1, o (f ∘ g)(x) = 2x − 2 — skirtingos funkcijos.
- Tapatybės funkcija: egzistuoja tapatybės funkcija id_X tokia, kad id_X(x) = x visiems x ∈ X. Ji yra neutrali sudėtyje: f ∘ id_X = f ir id_Y ∘ f = f (kai f: X→Y).
- Invercinės funkcijos: jei f: X→Y yra bijekcija, turi inversinę funkciją f⁻¹: Y→X, ir tada f⁻¹ ∘ f = id_X bei f ∘ f⁻¹ = id_Y.
- Injekcija ir surjekcija:
- Jei f ir g yra injekcijos, tada g ∘ f taip pat injekcija.
- Jei f ir g yra surjekcijos, tada g ∘ f taip pat surjekcija.
- Jei g ∘ f injekcija, tai f privalo būti injekcija; jei g ∘ f surjekcija, tai g privalo būti surjekcija.
Papildomi pavyzdžiai
1) Tarkime f(x) = x², g(x) = sin x. Tada (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = sin(x²). O (f ∘ g)(x) = (sin x)² = sin² x — vėl skirtingi.
2) Tegul f(x) = ln x (domenas x > 0), g(x) = √x (domenas x ≥ 0). Sudėtis g ∘ f = √(ln x) bus apibrėžta tik, kai ln x ≥ 0, t.y. x ≥ 1. O f ∘ g = ln(√x) = (1/2) ln x bus apibrėžta visiems x > 0.
Kaip mąstyti apie sudėtį žingsniais
Norint rasti (g ∘ f)(x):
- Iš pradžių apskaičiuok f(x) — gausime tarpinį rezultatą y = f(x).
- Tada įstatykite tą rezultatą į g: g(y) = g(f(x)).
Tokiu būdu geriau matyti, kodėl galutinė reikšmė priklauso nuo to, ar tarpinis rezultatas patenka į kitos funkcijos apibrėžimo sritį.
Sudėtis daugiau nei dviejų funkcijų
Galima sudėti ir daugiau funkcijų: (h ∘ g ∘ f)(x) = h(g(f(x))). Dėl asociatyvumo nereikia nurodyti skliaustų, bet svarbu išsaugoti tvarką — pirmas taikomas f, paskui g, galiausiai h.
Praktinė reikšmė
Funkcijų sudėtis naudojama daugelyje sričių: matematinėje analizėje, diferencialinėse lygtyse, kompoziciniuose modeliuose, programavimo funkcijų grandinėse, transformacijose (pvz., koordinatės transformacijos) ir kt. Ji leidžia kurti sudėtingesnius veiksmus iš paprastesnių, kontroliuojant tarpinės reikšmės ir domeno sąlygas.
Santrauka
- g ∘ f reiškia „pirmiausia f, tada g“; (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
- Domenas sudėtyje yra tie x, kuriems f(x) priklauso domenui(g).
- Sudėtis yra asocijuojama, bet paprastai nekomutatyvi.
- Sudėtis išsaugo injektyvumą ir surjektyvumą, kai abu veiksmai turi šias savybes.
Savybės
Galima įrodyti, kad funkcijos sudėtis yra asociatyvi, o tai reiškia:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Tačiau funkcijų sudėtis apskritai nėra komutacinė, o tai reiškia, kad:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Tai matyti iš pirmojo pavyzdžio, kuriame (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 ir (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Kas yra funkcijų sudėtis?
A: Funkcijų sudėtis - tai būdas iš dviejų kitų funkcijų grandininiu būdu sukurti naują funkciją.
K: Kaip g reikšmė sudaroma užrašant f reikšmę?
A: G reikšmė, sudaryta iš f, užrašoma kaip (g ∘ f)(x) ir apibrėžiama kaip g(f(x)).
K: Kokie yra funkcijų pavyzdžiai?
A: Pavyzdys galėtų būti funkcija, kuri padvigubina skaičių (padaugina jį iš 2), ir kita, kuri iš skaičiaus atima 1.
K: Koks būtų g, sudarytos iš f, pavyzdys?
Atsakymas: Funkcijos g, sudarytos iš f, pavyzdys galėtų būti funkcija, kuri padvigubina skaičių ir iš jo atima 1. Tai yra (g ∘ f)(x)=2x-1.
K: Koks būtų f, sudarytos iš g, pavyzdys?
Atsakymas: Funkcijos f, sudarytos iš g, pavyzdys būtų funkcija, kuri iš skaičiaus atima 1, o tada jį padvigubina, t. y. (f ∘ g)(x)=2(x-1).
Klausimas: Ar kompozicija gali būti apibendrinta dvejetainiams santykiams?
A: Taip, kompoziciją galima apibendrinti ir dvejetainiams santykiams, kur ji kartais vaizduojama tuo pačiu simboliu (kaip R ∘ S).
Ieškoti