AlegsaOnline.com

Gama funkcija (Γ): faktorialo išplėtimas ir apibrėžimas

Gama funkcija (Γ): faktorialo išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams — apibrėžimas, savybės, formulės ir reikšmės teigiamiems bei kompleksiniams argumentams.

Autorius: Leandro Alegsa

11-12-2025

Matematikoje gama funkcija (Γ(z)) yra faktorialo funkcijos išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius. Teigiamiems sveikiesiems skaičiams ji apibrėžiama taip: Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Gama funkcija apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams. Tačiau ji neapibrėžta neigiamiems sveikiesiems skaičiams ir nuliui. Kompleksiniam skaičiui, kurio realioji dalis nėra neigiamas sveikasis skaičius, funkcija apibrėžiama taip:

Integralinis apibrėžimas

Gama funkciją galima apibrėžti integraliai, kai Re(z) > 0:

Γ(z) = ∫_0^∞ t^(z-1) e^{-t} dt

Šis integralas konverguoja ir duoda analitišką funkciją toje sričioje. Iš integralinio apibrėžimo gaunama ir pagrindinė rekursinė savybė žemiau.

Rekursija ir ryšys su faktorialu

Gama funkcija tenkina rekursinę lygtį:

Γ(z+1) = z Γ(z)

Iš to seka, kad teigiamiems sveikiesiems n Γ(n) = (n−1)! , tad Γ(n) = (n−1)! — tai paaiškina, kodėl Γ yra faktorialo išplėtimas į kompleksinę sritį.

Analitinė tęstinė išraiška ir poliai

Integralinis apibrėžimas galioja Re(z) > 0, bet naudojant rekursiją bei kitus metodus gama funkcija analitiškai tęsiama visam kompleksiniam plokštumui, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius ir nulį. Γ(z) yra meromorfinė funkcija su viengubais poliais ties z = 0, −1, −2, ... .

Rezidų formulė ties neigiamais sveikaisiais n yra:

Res_{z=-n} Γ(z) = (−1)^n / n! , n = 0, 1, 2, ...

Gama funkcija neturi nulinių taškų (ji yra be nulių), o 1/Γ(z) yra visur analitiška (entire) funkcija, kurios nuliai yra neigiami sveikieji skaičiai ir nulis.

Reflekcijos formulė (Eulers)

Viena iš svarbiausių tapatybių yra reflekcijos formulė:

Γ(z) Γ(1 − z) = π / sin(π z)

Ji susieja reikšmes simetriškai aplink 1/2 ir leidžia apskaičiuoti Γ reikšmes už Re(z) ≤ 0, žinant reikšmes kitoje srityje.

Eulerio begalinė sandauga ir Weierstrass formulė

Gama funkciją galima išreikšti begaline sandauga:

1 / Γ(z) = z e^{γ z} ∏_{n=1}^∞ (1 + z / n) e^{−z / n}

čia γ yra Eulerio–Mascheroni konstanta. Iš šios formulės seka savybės apie nulinius taškus ir augimą. Alternatyviai yra ir Produktų išraiška pačiai Γ funkcijai.

Pusinių skaičių reikšmės ir specialūs atvejai

Žinomi paprasti atvejai:

Γ(1) = 1
Γ(1/2) = √π
Reikšmės pusiniams sveikiesiems n + 1/2 pateikiamos formulėmis su dvigubais faktorialais arba naudojant Γ(1/2):
Γ(n + 1/2) = ( (2n)! / (4^n n!) ) √π, n = 0, 1, 2, ...

Pavyzdžiai: Γ(5) = 4! = 24; Γ(3/2) = (1/2)√π.

Stirlingo formulė (asimpotozė)

Didelėms reikšmėms z (realiąja dalimi → +∞) galioja Stirlingo aproksimacija:

Γ(z + a) ~ √(2π) z^(z + a − 1/2) e^{−z} (1 + O(1/z))

Dažnai naudojama konkrečiomis formomis, pavyzdžiui Γ(z) ≈ √(2π) z^(z−1/2) e^{−z}.

Ryšys su Beta funkcija ir logaritminė išvestinė

Beta funkcija B(x,y) siejama su gama funkcija:

B(x,y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x + y)

Logaritminė išvestinė (digama) ψ(z) = Γ'(z)/Γ(z) ir aukštesniojo laipsnio poligama funkcijos (išvestinės) yra svarbios analizei ir skaičiavimams.

Pritaikymas

Gama funkcija naudojama daugelyje sričių:

statistika ir tikimybių teorija (Gamma paskirstymas, chi-kvadratas, Student t),
analitinė kompleksiškoji analizė (residų skaičiavimas, specialiosios funkcijos),
matematika ir kombinatorika (generalizuoti faktorialai),
fizika (fenomenų modeliavimas, integralų skaičiavimas),
numeriniai metodai (įvertinimai, asimptotinės formos).

Trumpas santraukinis žinojimas

Γ yra natūrali faktorialo išplėtimo į kompleksinius skaičius priemonė.
Integralinis apibrėžimas galioja Re(z) > 0; analitinė tęstinė leidžia apibrėžti funkciją visur išskyrus z ∈ {0, −1, −2, ...}.
Reflekcijos formulė, Eulerio produktas ir Stirlingo aproksimacija yra pagrindinės įrankinės savybės.

Jei norite, galiu pridėti pavyzdžių skaičiavimų, iliustracijas ar paprastą kodą (pvz., Python), kaip skaičiuoti Γ(z) skaitmeninėmis bibliotekomis.

Gama funkcija išilgai realiosios ašies dalies

Savybės

Konkrečios vertės

Kai kurios konkrečios gama funkcijos reikšmės yra šios:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gama (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\Gamma (-1/2)&=-2{\krt {\pi }}&\aprox -3.544907701811\Gamma (1/2)&={\krt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\Gamma (1)&=0!&=1\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\Gamma (2)&=1!&=1\Gamma (5/2)&={{\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Pi funkcija

Gausas įvedė Pi funkciją. Tai kitas gama funkcijos žymėjimo būdas. Kalbant apie gama funkciją, Pi funkcija yra tokia

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {{d}}t}{t}},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

kad

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

kiekvienam n svetimam n-tuščiajam n.

Programos

Analitinė skaičių teorija

Gama funkcija naudojama Rymano zeta funkcijai tirti. Riemanno zeta funkcijos savybė yra jos funkcinė lygtis:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhardas Riemannas nustatė ryšį tarp šių dviejų funkcijų. Tai buvo padaryta 1859 m. darbe "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Apie pirminių skaičių skaičių, mažesnių už tam tikrą kiekį").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas matematikoje yra gama funkcija?

A: Gama funkcija yra pagrindinė tema specialiųjų funkcijų srityje matematikoje.

K: Koks yra faktorialo funkcijos išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius?

A: Gama funkcija yra faktorinės funkcijos išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius.

K: Kaip gama funkcija apibrėžiama teigiamiems sveikiesiems skaičiams?

A: Teigiamiems sveikiesiems skaičiams gama funkcija apibrėžiama taip: Γ(n) = (n-1)!

K: Ar gama funkcija apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams?

A: Taip, gama funkcija apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams.

K: Ar gama funkcija apibrėžta neigiamiems sveikiesiems skaičiams ir nuliui?

Atsakymas: Ne, gama funkcija nėra apibrėžta neigiamiems sveikiesiems skaičiams ir nuliui.

K: Kaip gama funkcija apibrėžiama kompleksiniam skaičiui, kurio realioji dalis nėra neigiamas sveikasis skaičius?

Atsakymas: Kompleksiniam skaičiui, kurio realioji dalis nėra neigiamas sveikasis skaičius, gama funkcija apibrėžiama pagal specialią formulę, kuri tekste nepateikiama.

K: Kodėl gama funkcija yra svarbi matematikoje?

A: Gama funkcija svarbi matematikoje, nes ji yra pagrindinė tema specialiųjų funkcijų srityje ir išplečia faktorialo funkciją visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius.