Gama funkcija

Matematikoje gama funkcija (Γ(z)) yra faktorialo funkcijos išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius. Teigiamiems sveikiesiems skaičiams ji apibrėžiama taip: Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

Gama funkcija apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams. Tačiau ji neapibrėžta neigiamiems sveikiesiems skaičiams ir nuliui. Kompleksiniam skaičiui, kurio realioji dalis nėra neigiamas sveikasis skaičius, funkcija apibrėžiama taip:

Gama funkcija išilgai realiosios ašies daliesZoom
Gama funkcija išilgai realiosios ašies dalies

Savybės

Konkrečios vertės

Kai kurios konkrečios gama funkcijos reikšmės yra šios:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gama (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\Gamma (-1/2)&=-2{\krt {\pi }}&\aprox -3.544907701811\Gamma (1/2)&={\krt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\Gamma (1)&=0!&=1\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\Gamma (2)&=1!&=1\Gamma (5/2)&={{\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Pi funkcija

Gausas įvedė Pi funkciją. Tai kitas gama funkcijos žymėjimo būdas. Kalbant apie gama funkciją, Pi funkcija yra tokia

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {{d}}t}{t}},} {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},}

kad

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

kiekvienam n svetimam n-tuščiajam n.

Programos

Analitinė skaičių teorija

Gama funkcija naudojama Rymano zeta funkcijai tirti. Riemanno zeta funkcijos savybė yra jos funkcinė lygtis:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.}

Bernhardas Riemannas nustatė ryšį tarp šių dviejų funkcijų. Tai buvo padaryta 1859 m. darbe "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Apie pirminių skaičių skaičių, mažesnių už tam tikrą kiekį").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}. } {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.}

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas matematikoje yra gama funkcija?


A: Gama funkcija yra pagrindinė tema specialiųjų funkcijų srityje matematikoje.

K: Koks yra faktorialo funkcijos išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius?


A: Gama funkcija yra faktorinės funkcijos išplėtimas visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius.

K: Kaip gama funkcija apibrėžiama teigiamiems sveikiesiems skaičiams?


A: Teigiamiems sveikiesiems skaičiams gama funkcija apibrėžiama taip: Γ(n) = (n-1)!

K: Ar gama funkcija apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams?


A: Taip, gama funkcija apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams.

K: Ar gama funkcija apibrėžta neigiamiems sveikiesiems skaičiams ir nuliui?


Atsakymas: Ne, gama funkcija nėra apibrėžta neigiamiems sveikiesiems skaičiams ir nuliui.

K: Kaip gama funkcija apibrėžiama kompleksiniam skaičiui, kurio realioji dalis nėra neigiamas sveikasis skaičius?


Atsakymas: Kompleksiniam skaičiui, kurio realioji dalis nėra neigiamas sveikasis skaičius, gama funkcija apibrėžiama pagal specialią formulę, kuri tekste nepateikiama.

K: Kodėl gama funkcija yra svarbi matematikoje?


A: Gama funkcija svarbi matematikoje, nes ji yra pagrindinė tema specialiųjų funkcijų srityje ir išplečia faktorialo funkciją visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus neigiamus sveikuosius skaičius.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3