Gama funkcija

Savybės

Konkrečios vertės

Kai kurios konkrečios gama funkcijos reikšmės yra šios:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gama (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\Gamma (-1/2)&=-2{\krt {\pi }}&\aprox -3.544907701811\Gamma (1/2)&={\krt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\Gamma (1)&=0!&=1\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\Gamma (2)&=1!&=1\Gamma (5/2)&={{\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Pi funkcija

Gausas įvedė Pi funkciją. Tai kitas gama funkcijos žymėjimo būdas. Kalbant apie gama funkciją, Pi funkcija yra tokia

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {{d}}t}{t}},}

kad

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

kiekvienam n svetimam n-tuščiajam n.

Programos

Analitinė skaičių teorija

Gama funkcija naudojama Rymano zeta funkcijai tirti. Riemanno zeta funkcijos savybė yra jos funkcinė lygtis:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. }

Bernhardas Riemannas nustatė ryšį tarp šių dviejų funkcijų. Tai buvo padaryta 1859 m. darbe "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Apie pirminių skaičių skaičių, mažesnių už tam tikrą kiekį").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}. }