Gėdelio numeracija: apibrėžimas, kodo metodas ir vaidmuo neišbaigtumo teoremai
Gėdelio numeracija: aiškus apibrėžimas, kodo metodai ir svarba Gėdelio neišbaigtumo teoremoms — kaip skaičių kodavimas atskleidžia formaliosios logikos ribas.
Formaliojoje skaičių teorijoje Gėdelio numeracija yra funkcija, kuri kiekvienam tam tikros formaliosios kalbos simboliui ir formulei priskiria unikalų natūralųjį skaičių, vadinamą Gėdelio skaičiumi (GN). Pirmą kartą šią sąvoką panaudojo Kurtas Gėdelis (Kurt Gödel), įrodinėdamas savo neišbaigtumo teoremą. Gėdelio numeracija leidžia „aritmetizuoti“ sintaksę – syntaksinės struktūros (simboliai, formulės, įrodymai) paverčiamos skaičiais taip, kad apie jas galima būtų kalbėti pačioje aritmetikoje.
Kas yra Gėdelio numeracija ir kokie jos reikalavimai
Gėdelio numeracija yra (dažniausiai injektyvi) atvaizdavimas iš simbolių, žodžių ar formulų aibės į natūraliuosius skaičius. Svarbiausi reikalavimai praktinėje naudojimo srityje yra šie:
- Efektyvumas: numeracija turi būti apskaičiuojama algoritmiškai (dažnai – primityviai rekursyvi arba bent skaičiuojama), t. y. turi egzistuoti mechanizmas, leidžiantis skaičiuoti GN reikšmes ir atvirkščiai atpažinti sintaksines savybes;
- Unikalumas (injektyvumas): skirtingoms sintaksinėms išraiškoms priskiriami skirtingi skaičiai;
- Praktiškumas: numeracija turi leisti sintaksines ryšius (pvz., „x yra formulė“, „y yra įrodymas formulės x“) išreikšti aritmetinėmis sąlygomis, pageidautina primityviai rekursyviomis funkcijomis.
Kodo metodai (pvz., kaip numeruojama)
Yra kelios įprastos Gėdelio numeracijos konstrukcijos. Tipiniai metodai:
- Pirminių skaičių pakėlimo į laipsnį (Gödelio originalus būdas): kiekvienam simboliui priskiriamas skaičius (žymėkime jį c(s)), o eilutė simbolių s1, s2, …, sn koduojama kaip 2^{c(s1)}·3^{c(s2)}·5^{c(s3)}·…·p_n^{c(sn)}, kur p_i – i-tasis pirminis. Dažnai naudojama c(si)+1 kaip eksponentas, kad būtų išvengta 0 eksponentų.
- Porų ir tuplių kodavimas (pvz., Cantor poravimo funkcija arba kitos poravimo funkcijos): simbolių sekos paverčiamos dvejetainiais ar skaitiniais kodais, o vėliau naudojamos poravimo funkcijos, kad gauti vieną skaičių.
- Binarinis arba dešimtainis užkodavimas: kiekvienam simboliui priskiriamas iš anksto nustatytas bitų blokas, o visa seka – vienas ilgas dvejetainis skaičius.
Pavyzdys (supaprastintas): žymėkime simbolą 'a' = 1, 'b' = 2. Tada žodį "ab" pagal pirminį metodą koduotume kaip 2^{1}·3^{2} = 18. Realesnėse sistemose simboliams priskiriami didesni, specializuoti kodai, ir eksponentai dažnai pridedami +1 ar panašiai, kad kodas būtų invertuojamas be netikslumų.
Kaip numeracija susijusi su apskaičiuojamomis funkcijomis
Teoriškai Gėdelio numeracija leidžia perkelti sintaksines sąvokas į skaičių sritį, todėl:
- Tokios sąvokos kaip „x yra galiojanti formulė“, „y yra įrodymas formulės x“ arba „x yra posakis, kuris yra išvestas iš…“ gali būti užrašomos kaip aritmetinės predikatos apie atitinkamus skaičius;
- Jeigu numeracija ir atitinkami sintaksės santykiai yra apskaičiuojami arba net primityviai rekursyvūs, tada formalioji teorija (pvz., Peano aritmetika) gali reprezentuoti (t. y. „apiešifruoti“) šiuos santykius savo formalizmu;
- Tai leidžia suformuluoti provavimo predikatą Bew(x) („yra įrodymas formulės x“) viduje pačios aritmetikos ir taikyti loginius bei metamatematikos metodus.
Vaidmuo neišbaigtumo teoremuose
Gėdelio numeracija yra pagrindinis mechanizmas, leidžiantis suformuluoti ir įrodyti Neišbaigtumo teoremas:
- Arithmetizacija: dėl numeracijos galima kalbėti apie formules ir jų įrodymus kaip apie skaičius, taigi viduje aritmetikos galima išreikšti sąvokas apie jos pačios sintaksę;
- Provavimo predikatas: pažymėjus įrodymus skaičiais, suformuluojamas predikatas „y yra įrodymas formulės x“, o iš jo gaunamas predikatas „yra įrodoma formulė x“ (dažnai pažymimas Bew(x));
- Diagonalizacija / įžeminimas: naudojant numeraciją ir diagonalizacijos lemmą (arba „Gėdelio trikampį“), galima sukonstruoti formulę G, kuri formaliai reiškia: „G nėra įrodoma“ (tiksliau, „nėra įrodymo skaičiaus, kuris įrodytų formulę su G-žymekliu“). Jei teorija yra pakankamai stipri ir konsistentiška, G negali būti nei įrodyta, nei jos neigimas ne visada įrodomas—tai lemia neišbaigtumą.
- Rosserio variantas: naudojant pažangesnę kodavimo taktiką (ir Rosserio idėją), reikalavimas dėl omega-konsistencijos gali būti sušvelnintas iki paprastos konsistencijos.
Rogerso lygiavertiškumo teorema
Rogerso lygiavertiškumo teorema (Rogers' equivalence theorem) nurodo, kad įvairios „priimtinos“ numeracijos apskaičiuojamų funkcijų aibėms yra ekvivalentiškos – t. y. skirtingos, tačiau „efektyvios“ Gėdelio numeracijos skiriasi tik pagal apskaičiuojamą permutaciją. Kitaip tariant, pagrindiniai metamatematiniai rezultatai (pvz., neišbaigtumo teoremos) nepriklauso nuo konkretaus numeravimo pasirinkimo, jei numeracijos atitinka efektyvumo reikalavimus.
Praktiniai pastebėjimai ir variacijos
- Gėdelio numeracija nėra unikali – galima pasirinkti įvairius kodavimo būdus. Svarbu, kad pasirinktas kodas leistų sintaksės savybes paversti apskaičiuojamomis predikatėmis.
- Originalioje Gödelio konstrukcijoje daugiausia dėmesio skirta primityviai rekursyvioms funkcijoms, tačiau vėlesnės variacijos naudoja kitus skaičiavimo modelius ar kompaktiškesnius kodus.
- Nors koncepcija teoriškai elegantiška, praktiškai tokie kodai dažnai būna labai dideli ir nepraktiški rankiniams skaičiavimams; jų svarba yra metamatematinė, o ne praktinė.
Santrauka
Gėdelio numeracija yra centrinė technika, leidžianti formalizuoti ir analizuoti metamatematines savybes viduje pačios aritmetikos. Ji susieja sintaksę su skaičiais taip, kad apie formules ir įrodymus galima kalbėti skaičių kalba. Dėl to galima sukonstruoti Gėdelio sakinį, įrodantį neišbaigtumą daugelyje pakankamai galingų, konsistentiškų teorijų. Nors pačios numeracijos formos gali skirtis, Rogerso teorema užtikrina, kad tinkamos (efektyvios) numeracijos yra ekvivalentiškos metamatematinės reikšmės požiūriu.
Apibrėžimas
Turint skaičiuojamąją aibę S, Gėdelio numeracija yra injekcinė funkcija
f : S → N {\displaystyle f:S\to \mathbb {N} } 
ir f, ir f - 1{\displaystyle f^{-1}} 
(atvirkštinė f funkcija) yra apskaičiuojamos funkcijos.
Pavyzdžiai
Bazinis užrašas ir eilutės
Viena paprasčiausių Gėdelio numeravimo schemų naudojama kiekvieną dieną: Gödelio sistema, kuri atitinka sveikuosius skaičius ir jų atvaizdavimą simbolių eilutėmis. Pavyzdžiui, seka 2 3 pagal tam tikrą taisyklių rinkinį suprantama kaip atitinkanti skaičių dvidešimt trys. Panašiai simbolių eilutės iš tam tikros N simbolių abėcėlės gali būti koduojamos kiekvieną simbolį identifikuojant skaičiumi nuo 0 iki N ir skaitant eilutę kaip sveikojo skaičiaus bazinį N+1 atvaizdavimą.
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Kas yra Gėdelio numeracija?
A: Gėdelio numeracija - tai funkcija, kuri kiekvienam formaliosios kalbos simboliui ir formulei priskiria unikalų natūralųjį skaičių, vadinamą Gėdelio skaičiumi (GN).
K: Kas pirmasis panaudojo Gėdelio numeravimo sąvoką?
A: Kurtas Gödelis pirmasis panaudojo Gödelio numeracijos sąvoką savo neišbaigtumo teoremai įrodyti.
K: Kaip galime interpretuoti Gėdelio numeraciją?
A.: Gödelio numeraciją galime aiškinti kaip kodavimą, kai kiekvienam matematinės notacijos simboliui priskiriamas skaičius, o natūraliųjų skaičių srautas gali reikšti tam tikrą formą ar funkciją.
K: Kaip vadiname natūraliuosius skaičius, priskiriamus pagal Gėdelio numeraciją?
A: Gėdelio numeracija priskirti natūralieji skaičiai vadinami Gėdelio skaičiais arba efektyviaisiais skaičiais.
K: Ką teigia Rogerso lygiavertiškumo teorema?
A: Rogerso lygiavertiškumo teorema nurodo kriterijus, pagal kuriuos apskaičiuojamų funkcijų aibės numeracijos yra Gėdelio numeracijos.
K: Ką vaizduoja Gėdelio skaičių srautas?
A: Apskaičiuojamųjų funkcijų aibės numeracija gali būti išreikšta Gėdelio skaičių srautu.
Klausimas: Kodėl Gėdelio numeracija yra svarbi formaliojoje skaičių teorijoje?
A.: Gėdelio numeracija svarbi formaliajai skaičių teorijai, nes ji suteikia galimybę matematines formules ir funkcijas pateikti kaip natūraliuosius skaičius, o tai leidžia įrodyti tokias svarbias teoremas kaip neišbaigtumo teorema.
Ieškoti