Skaičių bazė (radiksas) – matematikos apibrėžimas ir pavyzdžiai
Skaičių bazė (radiksas) paaiškinta aiškiai: kas tai, kaip veikia dešimtainė, dvejetainė ir kitos sistemos, su aiškiais pavyzdžiais ir užrašymo taisyklėmis.
Matematikoje bazė (taip pat vadinama radiksu) – tai skaitmenų aibė arba skaitmenų ir raidžių derinys, kurį tam tikra skaičiavimo sistema naudoja skaičiams užrašyti. Paprasčiausias ir plačiausiai vartojamas pavyzdys yra dešimtainė sistema: kadangi „dešimtainė“ reiškia 10, joje naudojami 10 simbolių – skaičiai nuo 0 iki 9. Daug žmonių lygina šios sistemos paplitimą su tuo, kad turime 10 pirštų, tačiau istorijoje egzistavo ir kitos bazės.
Kas yra bazė (radiksas) ir kaip ji veikia
Jei sistema naudoja bazę b (dažniausiai sveiką skaičių, didesnį už 1), tada pozicinėje sistemoje skaičius užrašomas kaip skaitmenų seka d_n d_{n-1} ... d_1 d_0 (galima ir kablelinė dalis). Reikšmė apskaičiuojama pagal formulę
skaičius = d_n·b^n + d_{n-1}·b^{n-1} + ... + d_1·b + d_0.
Kiekvienas skaitmuo d_i gali įgyti reikšmes nuo 0 iki b−1 (jei b yra sveikasis skaičius). Kai b > 10, papildomoms reikšmėms dažnai naudojamos raidės: pavyzdžiui, šešioliktainėje (b = 16) A = 10, B = 11 ir t. t.
Bazės užrašymas ir pavyzdžiai
Bazė paprastai nurodoma šalia skaičiaus kaip indeksas. Pavyzdžiui,
23 8 {\displaystyle 23_{8}}
reiškia skaičių „23“ aštuntainėje sistemoje (b = 8). Pagal dešimtainę sistemą tai lygu 2·8 + 3 = 19.
Keletas kitų pavyzdžių:
- Dvejetainė (b = 2): 1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2 + 1 = 11₁₀.
- Aštuntainė (b = 8): 23₈ = 2·8 + 3 = 19₁₀ (kaip parodyta aukščiau).
- Šešioliktainė (b = 16): 1A₁₆ = 1·16 + 10 = 26₁₀ (čia A = 10).
- Seksagesimalė (b = 60): istoriškai naudota laiko ir kampų matavimui (valandos, minutės, sekundės) – tai pavyzdys, kai kitos bazės turi praktinę reikšmę.
Kaip konvertuoti tarp bazių
- Konvertuojant iš bazoje b užrašyto sveiko skaičiaus į dešimtainę, taikykite posicinę sumą: sudauginkite kiekvieną skaitmenį iš b to laipsnio ir susumuokite.
- Konvertuojant dešimtainį sveiką skaičių į bazę b, dalykite iš b ir užrašykite liekanas iš apačios į viršų (kartojant, kol daliklis tampa 0).
- Konversija trupmenoms į bazę b daroma dauginant trupmeną iš b ir užrašant sveikąją dalį kiekvienu žingsniu; procesą kartojant gaunama kairėn einanti skaitmenų eilė po kablelio.
Neįprastos bazės ir išimtys
Nors dažniausiai vartojamos teigiamos sveikosios bazės > 1, yra ir kitokių galimybių:
- Bazė 1 (unarinė) – tai ne pozicinė sistema: skaičius užrašomas kaip tam tikras skaičius vienetų (pvz., 5 = |||||). Ji nėra patogi dideliems skaičiams.
- Neigiamos bazės (pvz., −2, vadinama negadvejetainė) leidžia užrašyti teigiamus ir neigiamus skaičius be atskiro minuso ženklo.
- Neintegralinės bazės ir beta-užrašai (Rényi ekspansijos) egzistuoja teorijoje: bazės gali būti realūs arba netgi kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, egzistuoja reprezentacijos su bazėmis, kurios yra kompleksiniai skaičiai (naudojamos tam tikruose teoriniuose kontekstuose) arba specialios bazės leidžiančios unikalius užrašus su konkrečiomis savybėmis.
Panaudojimas
- Informacinių technologijų ir skaičiavimo srityje dažniausiai naudojamos dvejetainė (b = 2), aštuntainė (b = 8) ir šešioliktainė (b = 16) sistemos.
- Laikas ir kampai dažnai matuojami seksagesimaline (b = 60) sistema: 1 valanda = 60 minučių, 1 minutė = 60 sekundžių.
- Istoriškai ir kultūriškai įvairios civilizacijos naudojo skirtingas bazes (pvz., majų vigesimalė – b = 20).
Santrauka
Bazė (radiksas) nurodo, kiek skirtingų simbolių prieinama vienam skaitmeniui ir kiek vienetų turi kiekviena pozicija (laipsnis) tam tikroje skaičiavimo sistemoje. Pozicinėje sistemoje skaičiaus vertė gaunama sudauginus kiekvieną skaitmenį iš bazės laipsnio ir susumavus. Yra daug praktikinių ir teorinių variantų – nuo kasdienės dešimtainės iki dvejetainės kompiuterių sistemų ir net neįprastų, neintegralinių ar kompleksinių bazių.
Kompiuteriuose
Kompiuteriuose dažnai naudojamos skirtingos bazės. Dvejetainis (2 pagrindas) naudojamas todėl, kad paprasčiausiu lygmeniu kompiuteriai gali dirbti tik su 0 ir 1. Šešioliktainė (bazė 16) naudojama dėl to, kad kompiuteriai grupuoja dvejetainius skaitmenis. Kas keturi dvejetainiai skaitmenys, keičiant juos, virsta vienu šešioliktainiu skaitmeniu. Kadangi šešioliktainėje skaičiavimo sistemoje yra daugiau nei 10 skaitmenų, šeši skaitmenys po 9 žymimi kaip A, B, C, D, E ir F.
Matavimas
Seniausiose skaičiavimo sistemose buvo naudojamas vienetas. Vienaženklio skaičiavimo pavyzdys - ženklų darymas ant sienos, kai kiekvienam suskaičiuotam daiktui pažymėti naudojamas vienas ženklas. Kai kuriose senosiose matavimo sistemose naudojamas dvejetainis radiksas (dvylikos pagrindų). Tai matyti iš anglų kalbos, nes yra tokie žodžiai kaip dozen (12) ir gross (144 = 12×12), ir tokie ilgiai kaip feet (12 colių).
Rašymo bazės
Rašant pagrindą, mažasis skaičius, nurodantis pagrindą, paprastai yra dešimties pagrindų. Taip yra todėl, kad jei radiksas būtų užrašytas savo baze, jis visada būtų "10", todėl nebūtų galima sužinoti, kokia bazė turėtų būti.
Skaičiai skirtingose bazėse
Štai keletas pavyzdžių, kaip kai kurie skaičiai užrašomi skirtingais pagrindais, palyginti su dešimtainėmis dalimis:
| Dešimtainis skaičius (bazė 10) | Dvejetainis (2 bazės) | Dešimtainė (bazė 11) | Šešiaženklis (16 pagrindas) | Senjoras (6 bazės) | Vienaskaitos (1 bazė) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 | 2 | 11 |
| 3 | 11 | 3 | 3 | 3 | 111 |
| 4 | 100 | 4 | 4 | 4 | 1111 |
| 5 | 101 | 5 | 5 | 5 | 11111 |
| 6 | 110 | 6 | 6 | 10 | 111111 |
| 7 | 111 | 7 | 7 | 11 | 1111111 |
| 8 | 1000 | 8 | 8 | 12 | 11111111 |
| 9 | 1001 | 9 | 9 | 13 | 111111111 |
| 10 | 1010 | A | A | 14 | 1111111111 |
| 11 | 1011 | 10 | B | 15 | 11111111111 |
| 12 | 1100 | 11 | C | 20 | 111111111111 |
| 13 | 1101 | 12 | D | 21 | 1111111111111 |
| 14 | 1110 | 13 | E | 22 | 11111111111111 |
| 15 | 1111 | 14 | F | 23 | 111111111111111 |
| 16 | 10000 | 15 | 10 | 24 | 1111111111111111 |
Klausimai ir atsakymai
K: Kas matematikoje yra bazė arba radiksas?
A: Bazė arba radiksas - tai skirtingų skaitmenų skaičius arba skaitmenų ir raidžių derinys, kurį skaičiavimo sistema naudoja skaičiams išreikšti.
K: Koks yra šiandien dažniausiai naudojamo pagrindo pavyzdys?
A: Dažniausiai šiandien naudojama dešimtainė sistema.
K: Kodėl dažniausiai naudojamas pagrindas 10?
A: Dauguma žmonių mano, kad pagrindas 10 naudojamas todėl, kad turime 10 pirštų.
K: Ar bazė visada yra sveikasis skaičius, didesnis už 1?
Atsakymas: Taip, pagrindas paprastai yra sveikasis skaičius, didesnis už 1.
Klausimas: Ar matematiškai įmanomos neintegrinės bazės?
Atsakymas: Taip, matematiškai įmanomi ir neintegraliniai pagrindai.
K: Kaip žymimas skaičiaus pagrindas?
A: Skaičiaus pagrindas gali būti užrašytas šalia skaičiaus.
K: Ką reiškia pavyzdys "23 8"?
Atsakymas: Pavyzdys "23 8" reiškia 23 8 pagrindu (kuris yra lygus 19 10 pagrindu).
Ieškoti