Matematikoje bazė (taip pat vadinama radiksu) – tai skaitmenų aibė arba skaitmenų ir raidžių derinys, kurį tam tikra skaičiavimo sistema naudoja skaičiams užrašyti. Paprasčiausias ir plačiausiai vartojamas pavyzdys yra dešimtainė sistema: kadangi „dešimtainė“ reiškia 10, joje naudojami 10 simbolių – skaičiai nuo 0 iki 9. Daug žmonių lygina šios sistemos paplitimą su tuo, kad turime 10 pirštų, tačiau istorijoje egzistavo ir kitos bazės.

Kas yra bazė (radiksas) ir kaip ji veikia

Jei sistema naudoja bazę b (dažniausiai sveiką skaičių, didesnį už 1), tada pozicinėje sistemoje skaičius užrašomas kaip skaitmenų seka d_n d_{n-1} ... d_1 d_0 (galima ir kablelinė dalis). Reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

skaičius = d_n·b^n + d_{n-1}·b^{n-1} + ... + d_1·b + d_0.

Kiekvienas skaitmuo d_i gali įgyti reikšmes nuo 0 iki b−1 (jei b yra sveikasis skaičius). Kai b > 10, papildomoms reikšmėms dažnai naudojamos raidės: pavyzdžiui, šešioliktainėje (b = 16) A = 10, B = 11 ir t. t.

Bazės užrašymas ir pavyzdžiai

Bazė paprastai nurodoma šalia skaičiaus kaip indeksas. Pavyzdžiui,

23 8 {\displaystyle 23_{8}}{\displaystyle 23_{8}} reiškia skaičių „23“ aštuntainėje sistemoje (b = 8). Pagal dešimtainę sistemą tai lygu 2·8 + 3 = 19.

Keletas kitų pavyzdžių:

  • Dvejetainė (b = 2): 1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2 + 1 = 11₁₀.
  • Aštuntainė (b = 8): 23₈ = 2·8 + 3 = 19₁₀ (kaip parodyta aukščiau).
  • Šešioliktainė (b = 16): 1A₁₆ = 1·16 + 10 = 26₁₀ (čia A = 10).
  • Seksagesimalė (b = 60): istoriškai naudota laiko ir kampų matavimui (valandos, minutės, sekundės) – tai pavyzdys, kai kitos bazės turi praktinę reikšmę.

Kaip konvertuoti tarp bazių

  • Konvertuojant iš bazoje b užrašyto sveiko skaičiaus į dešimtainę, taikykite posicinę sumą: sudauginkite kiekvieną skaitmenį iš b to laipsnio ir susumuokite.
  • Konvertuojant dešimtainį sveiką skaičių į bazę b, dalykite iš b ir užrašykite liekanas iš apačios į viršų (kartojant, kol daliklis tampa 0).
  • Konversija trupmenoms į bazę b daroma dauginant trupmeną iš b ir užrašant sveikąją dalį kiekvienu žingsniu; procesą kartojant gaunama kairėn einanti skaitmenų eilė po kablelio.

Neįprastos bazės ir išimtys

Nors dažniausiai vartojamos teigiamos sveikosios bazės > 1, yra ir kitokių galimybių:

  • Bazė 1 (unarinė) – tai ne pozicinė sistema: skaičius užrašomas kaip tam tikras skaičius vienetų (pvz., 5 = |||||). Ji nėra patogi dideliems skaičiams.
  • Neigiamos bazės (pvz., −2, vadinama negadvejetainė) leidžia užrašyti teigiamus ir neigiamus skaičius be atskiro minuso ženklo.
  • Neintegralinės bazės ir beta-užrašai (Rényi ekspansijos) egzistuoja teorijoje: bazės gali būti realūs arba netgi kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, egzistuoja reprezentacijos su bazėmis, kurios yra kompleksiniai skaičiai (naudojamos tam tikruose teoriniuose kontekstuose) arba specialios bazės leidžiančios unikalius užrašus su konkrečiomis savybėmis.

Panaudojimas

  • Informacinių technologijų ir skaičiavimo srityje dažniausiai naudojamos dvejetainė (b = 2), aštuntainė (b = 8) ir šešioliktainė (b = 16) sistemos.
  • Laikas ir kampai dažnai matuojami seksagesimaline (b = 60) sistema: 1 valanda = 60 minučių, 1 minutė = 60 sekundžių.
  • Istoriškai ir kultūriškai įvairios civilizacijos naudojo skirtingas bazes (pvz., majų vigesimalė – b = 20).

Santrauka

Bazė (radiksas) nurodo, kiek skirtingų simbolių prieinama vienam skaitmeniui ir kiek vienetų turi kiekviena pozicija (laipsnis) tam tikroje skaičiavimo sistemoje. Pozicinėje sistemoje skaičiaus vertė gaunama sudauginus kiekvieną skaitmenį iš bazės laipsnio ir susumavus. Yra daug praktikinių ir teorinių variantų – nuo kasdienės dešimtainės iki dvejetainės kompiuterių sistemų ir net neįprastų, neintegralinių ar kompleksinių bazių.