Dvyliktainė sistema: apibrėžimas, savybės ir skaičiavimo pavyzdžiai
Sužinokite, kas yra dvyliktainė sistema: aiškus apibrėžimas, pagrindinės savybės ir praktiniai skaičiavimo pavyzdžiai — lengvai suprantamas vadovas pradedantiesiems ir pažengusiems.
Dvyliktainė sistema (taip pat žinoma kaip 12-os bazės, duodecimalinė arba retai uncialinė) — tai skaičių sistema, kurios pagrindas yra dvylika. Dvyliktainėje sistemoje skaičiai vaizduojami grupėmis po 12 vietų reikšmių: vietų reikšmės eina 1, 12, 12², 12³ ir t. t. Pavyzdžiui, skaičius penkiasdešimt (kurį paprastai rašome kaip 50 dešimtainėje sistemoje) dvyliktainėje būtų užrašytas kaip 42, nes jis lygus 4×12+2.
Skaičius 12 yra mažiausias natūralus skaičius, turintis šešis daliklius (1, 2, 3, 4, 6, 12). Dėl to dauguma paprastų trupmenų, kurių vardikliai yra 2, 3, 4 ar 6, dvyliktainėje sistemoje turi baigtinį (finitinį) užrašą. Pavyzdžiui, padalijus 10 ir 12 iš 3, dešimtainėje gauname 3,333... (pasikartojantis), o dvyliktainėje 12/3 = 4 (baigtinis). Panašiai padalijus iš 6, 10/6 = 1,666... dešimtainėje, o 12/6 = 2 dvyliktainėje. Todėl dvyliktainė sistema gali geriau atvaizduoti tam tikras trupmenas nei dešimtainė sistema.
Skaičių ženklai ir simboliai
Dvyliktainėje sistemoje paprastai naudojami 12 skaitmenų. Įprastinis žymėjimas yra:
- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — kaip dešimtainėje sistemoje;
- A — reiškia dešimt (10 dešimtainėje);
- B — reiškia vienuolika (11 dešimtainėje).
Kiti pasiūlymai istorijoje naudojo kitus simbolius (pvz., ↊ ir ↋), bet A ir B yra plačiai priimti kompiuteriuose ir literatūroje.
Pavyzdžiai ir konversijos
- Decimal → base-12: Norint dešimtainį skaičių paversti į dvyliktainį, dalijame iš 12 ir užrašome liekanas. Pvz., 50(10): 50 ÷ 12 = 4 liekana 2 → 42(12).
- base-12 → decimal: Skaičių 42(12) verčiant atgal: 4×12 + 2 = 50(10).
- Trupmenos: 1/2 = 6(12) po kablelio (0.6₁₂), 1/3 = 0.4₁₂, 1/4 = 0.3₁₂, 1/6 = 0.2₁₂ — visi šie užrašai yra baigtiniai dvyliktainėje.
- Dideli skaičiai: 100(10) = 84(12), nes 100 ÷ 12 = 8 liekana 4.
Savybės, privalumai ir trūkumai
- Privalumai: dėl daugelio daliklių (2, 3, 4, 6) dvyliktainėje sistemoje daug kas nors trupmenų turi baigtinius užrašus, o tai supaprastina dalybą ir skaičiavimus tam tikromis situacijomis; taip pat patogus paskirstymas į grupes (dozenos, grosės).
- Trūkumai: įprastumas — dauguma šiuolaikinių sistemų ir standartų naudoja dešimtainę sistemą; reikalingi papildomi simboliai (A ir B), kurie kartais gali sukelti painiavą vartotojams, pripratusiems prie 0–9 žymėjimo.
Istorija ir panaudojimas
Dvyliktainė mintis buvo naudojama įvairiose kultūrose: prekyboje ir svoriuose (dozenos), laike (12 valandų laikrodis), matavimuose (12 colių pėdo dalys istoriniuose matavimo vienetuose) ir pan. Nors pasaulyje dominuoja dešimtainė sistema, dvyliktainis pagrindas turi istorinių ir praktinių taikymų bei kartais svarstomas kaip alternatyva aiškiems skaičiavimo privalumams.
Baigiamoji pastaba
Dvyliktainė sistema nėra plačiai priimta kaip universalus standartas, tačiau jos matematinės savybės — ypač santykis su dalikliais 2, 3, 4 ir 6 — daro ją patrauklia tam tikroms problemoms ir praktiniams naudojimams. Supratimas, kaip versti skaičius tarp sistemų ir kaip elgiasi trupmenos skirtinguose pagrinduose, padeda geriau įvertinti kiekvienos sistemos pranašumus ir ribotumus.
Kaip pavaizduoti 10 ir 11 dvejetainėje skaičiavimo sistemoje
Duodecimalinėje skaičiavimo sistemoje nėra skaitmeninių simbolių, žyminčių 10 ir 11, todėl naudojamos raidės, paimtos iš anglų kalbos abėcėlės, ypač X (iš romėniško skaičiaus, reiškiančio dešimt) ir E (iš pradinio vienuolikos skaičiaus). Kai kas naudoja ir A bei B (kaip šešioliktainėje skaičiavimo sistemoje).
Edna Kramer 1951 m. knygoje "The Main Stream of Mathematics" (liet. "Pagrindinė matematikos srovė") dešimtainiams skaičiams 10 ir 11 žymėti naudojo * ir #. Šie simboliai buvo pasirinkti todėl, kad juos galima naudoti rašomosiose mašinėlėse ir mygtukiniuose telefonuose.
Šiame straipsnyje dešimtainiams skaičiams 10 ir 11 žymėti naudojamos raidės "X" ir "E".
Dvidešimtainės reikšmės
| Dešimtainis | Duodešimtainis |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | X |
| 11 | E |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 50 | 42 |
| 60 | 50 |
| 100 | 84 |
| 144 | 100 |
| 500 | 358 |
| 720 | 500 |
| 1000 | 6E4 |
| 1728 | 1000 |
Klausimai ir atsakymai
Klausimas: Kas yra dvejetainė sistema?
A: Dvyliktainė sistema yra skaičių sistema, kurios pagrindas yra dvylika.
K: Kaip dvinarėje sistemoje išreiškiami dideli skaičiai?
A: Dideli skaičiai dvejetainėje sistemoje išreiškiami grupėmis po 12.
K: Koks yra dešimtainės sistemos skaičiaus 50 ekvivalentas?
A: Dešimtainio skaičiaus 50 ekvivalentas yra 42.
Klausimas: Kodėl dvyliktainėje sistemoje 12 laikomas svarbiu skaičiumi?
Atsakymas: 12 yra svarbus skaičius dešimtainėje sistemoje, nes tai mažiausias skaičius, turintis keturis veiksnius: 2, 3, 4 ir 6.
Klausimas: Kokie rezultatai gaunami 10 ir 12 dalijant iš 3 dvejetainėje sistemoje?
Atsakymas: Duodant dešimtainėje sistemoje 10 padalyti iš 3 gaunamas rezultatas yra 3,333, o 12 padalyti iš 3 gaunamas rezultatas yra 4.
Klausimas: Ar dvinarė sistema gali geriau valdyti trupmenas nei dešimtainė sistema?
Atsakymas: Ne, dešimtainė sistema negali geriau valdyti trupmenų nei dešimtainė sistema.
K: Kokie rezultatai gaunami dalijant 6 ir 5 iš 3 dvejetainėje sistemoje?
Atsakymas: Duodant 6 iš 3 dešimtainėje sistemoje gaunamas rezultatas yra 1,666..., o dalijant 5 iš 3 gaunamas rezultatas yra 2. Duodant 5 iš 2 dešimtainėje sistemoje gaunamas rezultatas yra 2,4.
Ieškoti