Tikimybių erdvė — apibrėžimas, Kolmogorovo aksiomos ir pavyzdžiai

Tikimybių erdvė: aiškus apibrėžimas, Kolmogorovo aksiomos ir praktiniai pavyzdžiai — suprantamai apie imties erdvę, įvykius ir tikimybių matą studentams ir praktikams.

Tikimybių erdvė – tai matematinis modelis, skirtas aprašyti atsitiktinius mokslinius eksperimentus ir jų rezultatus. Tikimybių erdvę paprastai žymima tripleta (Ω, F, P), kur ją sudaro trys pagrindinės dalys:

1. Imties erdvė Ω – visų įmanomų vieno eksperimento rezultatų aibė. Vienas elementas ω ∈ Ω vadinamas rezultatu (angl. outcome).
2. Įvykių rinkinys – aibė įvykių, kuriems galima priskirti tikimybes. Kiekvienas įvykis yra Ω poaibis; įvykiai paprastai sudaro tam tikrą σ-algebrą, kurią žymime F. rinkinys. Su kiekvienu įvykiu siejama nulis ar daugiau rezultatų
3. Tikimybės matas P – funkcija, kuri kiekvienam įvykiui A ∈ F priskiria skaičių P(A) iš intervalo [0,1], tai yra to įvykio tikimybę.

Rezultatas yra vieno eksperimento vykdymo pasekmė. Kad atskiros rezultatų kombinacijos būtų praktiškai naudingesnės, dažnai nagrinėjami įvykiai – tai rezultatų grupės (Ω poaibiai). Visų tokių įvykių rinkinys yra σ-algebra F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}. σ-algebra užtikrina, kad apie įvykius galime patogiai kalbėti ir atlikti papildomas aibių operacijas (komplementą, susijungimus ir kt.).

σ-algebros apibrėžimas

• σ-algebra F, esanti ant Ω, yra aibė Ω poaibių, kuri tenkina tris savybes:
• 1) Ω ∈ F (visa imties erdvė yra įvykis);
• 2) jei A ∈ F, tai komplementas A^c = Ω \ A irgi priklauso F;
• 3) jei A1, A2, A3, ... ∈ F yra (galimai begalinė) seka įvykių, tai jų sąjunga ⋃_{n=1}^∞ A_n ∈ F (uždarymas pagal skaičiavimą).

Kolmogorovo aksiomos (tikimybės mato savybės)

Žymus rusų matematikas Andrejus Kolmogorovas 1930–1933 m. (plačiai prisimenama 1933 m. jo monografija) formaliai suformulavo tikimybių teorijos aksiomatiką. Pagrindinės aksiomos yra:

1. Neigiamumo nebuvimas: už kiekvieną A ∈ F galioja P(A) ≥ 0.
2. Normalizacija: P(Ω) = 1 – visos erdvės įvykis įvyksta tikimybę 1.
3. Skaičiuojamoji addityvumas: jei A1, A2, ... ∈ F yra poromis nesikertantys įvykiai (A_i ∩ A_j = ∅, kai i ≠ j), tai P(⋃_{n=1}^∞ A_n) = Σ_{n=1}^∞ P(A_n).

Iš šių aksiomų seka dar kelios naudingos savybės: P(∅)=0, monotoniškumas (jei A ⊂ B, tai P(A) ≤ P(B)) ir baigtinė addityvumas.

Pavyzdžiai

• Monetų metimas (diskreti erdvė): Ω = {H, S} (herbas, skaičius). Dažnai priimamas modelis su P(H)=P(S)=1/2. Čia įvykis „iškrito herbas“ yra {H} ir turi tikimybę 1/2.
• Kauliuko metimas: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Jei kauliukas suteisingas, P({k}) = 1/6 kiekvienam k.
• Diskreti su skaičiuojama begalybe: pavyzdžiui, pasirenkamas sveikasis skaičius su tam tikra paskirstymo funkcija (geometrinė ar Poisson paskirstymai).
• Kontinuumas – atsitiktinis taškas intervale: Ω = [0,1] su Borelio σ-algebra (visi „dvigubi“ intervalai ir jų kombinacijos), o P – Lebesgue'o matas (vienodo pasiskirstymo atveju). Tada kiekvieno atskiro taško tikimybė P({x}) = 0, tačiau intervalo [a,b] tikimybė lygi jo ilgiui b−a.
• Tankos pavyzdys – normalusis paskirstymas: čia įvykiams tikimybėms priskiriama pagal tankos funkciją f(x) (pvz., Gaussian), o P(A) = ∫_A f(x) dx Borelio aibėje.

Kiti svarbūs sąvokų paaiškinimai

• Atsitiktinis dydis (atsitiktinis kintamasis): funkcija X: Ω → ℝ, kuri yra F-measurable (t. y. už kiekvieną intervalo A, {ω: X(ω) ∈ A} ∈ F). Atsitiktinių dydžių pasiskirstymai išvedami iš P.
• Sąlyginė tikimybė ir nepriklausomybė: sąlyginė tikimybė apibrėžiama P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), kai P(B) > 0. Dvi įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei P(A ∩ B) = P(A)P(B).
• Interpretacijos: aksiominis Kolmogorovo pagrindas leidžia vienodai aprašyti tiek dažnininko (frequentistas) požiūrį (ilgalaikiai dažniai), tiek Bayeso bei kitus probabilistinius modelius, kuriuose P atvaizduoja subjektyvią tikimybę ar informaciją apie sistemą.

Apibendrinant, tikimybių erdvė (Ω, F, P) – tai griežtas būdas apibūdinti atsitiktinių eksperimentų rezultatus bei jų tikimybes. Teisingai parinkta σ-algebra ir tikimybių matas leidžia pritaikyti analitines priemones (pvz., integraciją, momentų skaičiavimą, stokastinius procesus) realių procesų modeliavimui ir prognozėms.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra tikimybių erdvė?

Klausimas: Iš ko susideda imties erdvė?

K: Kas yra rezultatas?

K: Kam naudojami įvykiai tikimybių erdvėse?

Klausimas: Kaip kiekvienam įvykiui priskiriamos tikimybės?

Paieška pagal raidę