Konjuguoti kintamieji: Heisenbergas, padėtis ir impulsas kvantinėje fizikoje
Konjuguoti kintamieji – tai poros fizikinių dydžių, kurių matymo (matematinio) aprašyme vienas kintamasis yra „susijęs“ su kitu tokiu būdu, kad jų atitinkami operatoriai paprastai nekomutuoja (t. y. jų sandauga priklauso nuo eiliškumo). Paprastame algebraiškame kontekste tai reiškia: A·B nebūtinai yra lygu B·A. Kvantinėje mechanikoje tokie kintamieji aprašomi operatoriais (dažnai matricoje arba kaip veikėjai ant banginių funkcijų), o tai turi svarbias fizines pasekmes.
Fizikas Werneris Heisenbergas vienas iš pirmųjų sukūrė matricinę kvantinės mechanikos formą ir parodė, kad padėtis ir impulsas yra tokia konjuguota pora. Tradiciškai padėtis žymima Q, o impulsas – P. Tai reiškia, kad kvantinės mechanikos operatorių pasaulyje P·Q paprastai nėra lygus Q·P, todėl jų skirtumas yra reikšmingas ir mato fizinius apribojimus.
Žemiau pateiktos dvi lygtys – viena aprašo vieną eiliškumą, kita – priešingą; jos rodo, kaip tarp būsenų pereina sandaugos (tai formaliai atitinka matricinį veikimą):
Čia įterpta originali iliustracija:
Pavyzdinės matricinės formulės sandaugai (vienas eiliškumas):
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
Ir tas pats sandaugos eiliškumas apverstas:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Komutatorius ir kanoninė sandara
Vėliau kitas svarbus kvantinės mechanikos kūrėjas, Maksas Bornas, kartu su Heisenbergu ir kitais aiškiai susiejo šią matricinę struktūrą su fizine interpretacija. Svarbus rezultatas yra kanoninis komutatorius tarp padėties ir impulso operatorių:
[Q,P] = QP − PQ = iħ,
čia ħ (išsireiškiant žodžiu: „h bar“) yra Plancko konstanta padalyta iš 2π, t. y. ħ = h/(2π), o i yra vaizdinis vienetas. (Ankstesnėje, paprastoje formuluotėje tai kartais rašoma kaip i·h/(2π); tai yra tas pats reiškinys, nes ħ = h/(2π).)
Neapibrėžties principas
Iš šio komutatoriaus seka Heisenbergo neapibrėžties principas, kuris sako, kad negalima vienu metu išmatuoti padėties ir impulso iki bet kokio tikslumo. Formaliai tai reiškia:
- ΔQ · ΔP ≥ ħ/2
Čia ΔQ ir ΔP yra atitinkamai padėties ir impulso dispersijos (standartiniai nuokrypiai) duotoje būsenoje. Tai ne matavimo trukmė ar eksperimentinė klaida — tai fundamentali kvantinė savybė: sistemoje, kurioje padėtis yra labai gerai apibrėžta (mažas ΔQ), impulso sklaida ΔP turi būti didelė, ir atvirkščiai.
Ką reiškia „operatoriai“ ir „matricos“ paprasčiau
Kvanto mechanikoje fiziniai dydžiai nėra tiesiog skaičiai, o operatoriai, kurie veikia ant banginių funkcijų arba būsenų vektorių. Operatorius gali būti užrašytas kaip matrica, o veikimas matricos ir vektoriaus sandauga priklauso nuo eiliškumo. Dėl to AB ir BA gali duoti skirtingas reikšmes — ir tas skirtumas (komutatorius) turi fizinę prasmę, susijusią su matožiais ir neapibrėžtumu.
Pavyzdžiai ir platesnė taikymo sritis
- Padėtis–impulsas (x ir p) yra klasikiniu pavyzdžiu; jų komutatorius lemia Heisenbergo neapibrėžtį.
- Kitos konjuguotos poros: energija ir laikas (energijos–laiko neapibrėžtis), kampinė padėtis ir kampinis momentas, fazė ir dalelių skaičius kvantinėse šviesos laukų situacijose.
- Tokie principai taikomi ne tik fizikoje, bet ir kvantinės chemijos modeliuose, spektroskopijoje, kvantiniuose kompiuteriuose ir kt.
Ką apie Borno indėlį?
Maksas Bornas svariai prisidėjo prie kvantinės mechanikos interpretacijos: jis siūlė, kad kvantinės mechanikos amplitudės (matricos ar banginės funkcijos) interpretuotinos probabilistiškai — jų modulio kvadratas duoda tikimybę rasti dalelę tam tikroje vietoje. Tai padėjo susieti formalizmą (matricas, operatorius) su matuojamais fizikiniais dydžiais.
Santrauka
Konjuguoti kintamieji kvantinėje mechanikoje reiškia poras operatorių, kurių sandauga priklauso nuo eiliškumo. Padėtis ir impulsas yra klasikinė tokios poros savastis: jų komutatorius [Q,P] = iħ veda prie fundamentalaus Heisenbergo neapibrėžties principo ΔQ·ΔP ≥ ħ/2. Tai viena iš pagrindinių priežasčių, kodėl kvantinės sistemos elgesys skiriasi nuo klasikinio pasaulio.
Konjuguoti kintamieji ir jų teikiami apribojimai yra aktualūs visai fizikai, chemijai ir daugeliui kitų mokslo bei technologijų sričių.
Kai kurios susijusios temos
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra konjuguoti kintamieji?
A: Konjuguoti kintamieji - tai specialios kintamųjų poros (pvz., x, y, z), su kuriomis atlikus tam tikrą matematinį veiksmą gaunami skirtingi rezultatai. Tai reiškia, kad x*y nėra lygus y*x.
K: Kas atrado konjuguotus kintamuosius?
A: Fizikas Verneris Heizenbergas (Werner Heisenberg) ir jo bendradarbiai naudojo klasikinės fizikos lygtis, kad aprašytų ir numatytų kvantinės fizikos įvykius. Jis atrado, kad impulsas (masė, padauginta iš greičio, žymima P) ir padėtis (žymima Q) yra konjuguoti kintamieji.
Klausimas: Pagal kokią lygtį galima apskaičiuoti momento ir padėties sandaugą?
Atsakymas: Pirmąja lygtimi galima sužinoti momento ir padėties sandaugą: Y(n,n-b)=∑a p(n,n-a)q(n-a,n-b).
K: Kokia lygtimi galima apskaičiuoti padėties ir impulso sandaugą?
A: Padėties ir impulso sandaugai apskaičiuoti galima naudoti antrąją lygtį: Z(n,n-b)=∑a q(n,n-a)p(n-a, n-b).
K: Ką Maksas Bornas atrado apie konjuguotus kintamuosius?
A: Maksas Bornas nustatė, kad, kadangi P*Q nėra lygus Q*P, rezultatas Q*P minus P*Q nėra lygus nuliui. Jis taip pat nustatė, kad Q-P - P-Q = ih/2π.
K: Kaip Planko konstanta pasireiškia kvantinėje mechanikoje?
A: Planko konstanta kvantinėje mechanikoje dažnai pasirodo kaip Makso Borno lygtyje, skirtoje konjuguotų kintamųjų sandaugoms apskaičiuoti; konkrečiai kaip h/2π vienoje lygybės ženklo pusėje.
K: Kokiose srityse galima pritaikyti konjuguotus kintamuosius?
A: Konjuguotieji kintamieji taikomi visoje fizikoje, chemijoje ir kitose mokslo srityse.
