Elektrinis srautas: apibrėžimas, formulė ir Gauso dėsnis

Elektrinis srautas: aiškus apibrėžimas, formulė, integralinis Gauso dėsnis ir pavyzdžiai — teorija, skaičiavimai ir SI vienetai studentams ir inžinieriams.

Autorius: Leandro Alegsa

15-12-2025 14:33

Apibrėžimas

Elektrinis srautas (Φ_E) yra fizinė dydis, matuojanti elektrinio lauko linijų skaičių, kertančių tam tikrą paviršių. Jei per mažą paviršiaus elementą dA teka laukas E, o kampas tarp lauko krypties ir paviršiaus elemento normalių yra θ, tai elementarus elektros srautas lygus E dA cos θ. Elektrinis laukas ir paviršiaus elementas yra vektoriai, todėl srautas išreiškiamas kaip jų taškinė sandauga.

Tai galima užrašyti vektorine forma. Per mažą plotą d A {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$ elementarus srautas yra

d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Čia dA vektorius d\mathbf{A} nukreiptas paviršiaus normalės kryptimi (atviroms plokštumoms normalė pasirenkama pagal sutartį; uždariems paviršiams paprastai naudojama išorėn nukreipta normalė).

Formulė kaip paviršiaus integralas

Elektrinis srautas per bendrą paviršių S gaunamas integruojant elementarų srautą per visą paviršių:

Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Jei paviršius yra uždaras, integralui žymėti dažnai vartojamas uždaros kreivės integralas ∮. Uždarame paviršiuje teisinga Gauso dėsnio išraiška:

Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}$

čia Q_S yra grynasis elektros krūvis paviršiaus S viduje (įskaitant tiek laisvąjį, tiek surištąjį krūvį), o ε0 — elektrinė konstanta (permittivity of free space). Šis ryšys vadinamas integraliniu Gauso elektrinio lauko dėsniu ir yra viena iš keturių Maksvelo lygčių.

Interpretacija, pavyzdžiai ir simetrija

Gauso dėsnis teigia, kad elektros srautas per uždarą paviršių yra vienareikšmiškai nustatomas paviršiaus viduje esančiu bendru krūviu. Krūviai, esantys už paviršiaus, bendrai prisideda prie lauko, bet jų srautai per uždarą paviršių kompensuojasi — teigiamo įtekėjimo ir išeinančio srauto skirtumai susilygina nuliniu pokyčiu.

Paprasti panaudojimo pavyzdžiai:

Taškinis krūvis centre sferoje: jei taškinis krūvis Q yra sferos centre ir laukas radialus, tai per sferą Φ_E=Q/ε0 (tą patį galima gauti integravus E·dA, nes E stovi normaliai visiems paviršiaus elementams).
Cilindrinė simetrija (ilgai tiesinės krūvio tankos λ): Gauso cilindras leidžia rasti lauką aplink tiesinį krūvį naudojant Φ_E=Q_inside/ε0 ir paprastą geometriją.

Gauso dėsnis labai naudingas sprendžiant laukus esant dideliam simetrijos laipsniui (sferinė, cilindrinė, plokštuminė). Jei simetrijos nėra, integralus gali būti apskaičiuoti tik sudėtingiau arba naudojant kompiuteriu atliekamus skaitinius metodus.

Diferencialinė forma ir ryšys su divergencija

Gauso dėsnis turi ir diferencialinę formą, kuri susieja elektrinio lauko divergenciją su erdviniu krūvio tankiu ρ:

∇·E = ρ / ε₀

Ši lygtis reiškia, kad kiekvienas vietinis krūvio kiekis generuoja atitinkamą „šaltinį“ arba „ąsotį“ lauko divergencijoje. Integralioji forma gaunama pritaikius Ostrogrado (divergencijos) teoremą integralui per uždarą paviršių.

Vieta, klausimai ir vienetai

Keletas papildomų pastabų ir aiškinimų:

Signifikantas: srauto ženklas priklauso nuo krypties pasirinktos paviršiaus normalės — teigiamas srautas reiškia lauko linijas išeinančias iš paviršiaus, neigiamas — įeinančias.
Aptariami krūviai: elektros srautas per uždarą paviršių priklauso tik nuo viduje esančio krūvio; išoriniai krūviai nesukuria bendro srauto pokyčio.
SI vienetai: elektrinio srauto SI vienetas yra voltametras (V·m) arba ekvivalentiškai niutonmetrai kvadratui vienam kulonui (N·m²·C⁻¹). Baziniai SI vienetai: kg·m³·s⁻³·A⁻¹.

Praktiniai pastebėjimai

Gauso dėsnis yra visada teisingas (t. y. fundamentali Maxwell lygties dalis), tačiau jo praktiškas taikymas reikalauja teisingo simetrijos panaudojimo. Kai simetrijos nėra, sprendimai paprastai gaunami skaitiniais būdais arba naudojant kitas metodikas (pvz., Green funkcijas, integralines lygtis). Gauso dėsnis taip pat yra naudingas suprantant dielektrikų poveikį, kurias atsižvelgiant reikia naudoti modifikuotas formules su elektrine pralaidumu ε.

Jeigu norite, galiu pridėti iliustracijas ar konkrečius sprendimo pavyzdžius (pvz., taškinio krūvio srauto per sferą, linijinio krūvio per cilindrą ar plokštelės atvejį) su žingsnis po žingsnio skaičiavimais.

Susiję puslapiai

Magnetinis srautas

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra elektros srautas?

A: Elektrinis srautas yra elektrinio lauko E ir diferencinio paviršiaus ploto dA taškinė sandauga.

K: Kaip apskaičiuojamas elektrinis srautas?

A: Elektros srautą galima apskaičiuoti pagal lygtį EdAcos(i), kur E yra elektrinis laukas, o dA yra be galo mažas paviršiaus plotas, kuriame E išlieka pastovus. Kampas tarp E ir dA yra i.

K: Ką teigia Gauso dėsnis elektriniam laukui?

A: Gauso dėsnis elektriniams laukams teigia, kad uždarame Gauso paviršiuje elektros srautas per jį bus lygus grynajam krūviui, kurį jis gaubia, padalytam iš elektrinės konstantos (ε0). Šis santykis galioja visais atvejais, tačiau juo galima remtis tik tada, kai elektriniame lauke yra didelis simetrijos laipsnis.

K: Kokie yra simetriškų situacijų pavyzdžiai, kai Gauso dėsnis gali būti naudojamas skaičiavimams?

A: Pavyzdžiai yra sferinė ir cilindrinė simetrija.

K: Kokie yra elektros srauto SI vienetai?

A: Elektrinio srauto SI vienetai yra voltametrai (V m) arba niutonmetrai kvadratu vienam kulonui (N m2 C-1). SI baziniai elektrinio srauto vienetai yra kg-m3-s-3-A-1.

K: Ar elektros srautas priklauso nuo krūvių už uždaro paviršiaus ribų?

Atsakymas: Ne, elektros srautui neturi įtakos krūviai, esantys už uždaro paviršiaus ribų, tačiau jie gali daryti įtaką grynajam elektriniam laukui jo viduje.

Ieškoti