Paviršiaus integralas: matematinis apibrėžimas ir taikymai

Nagrinėkime paviršių S, kuriame apibrėžtas skaliarinis laukas f. Jei laikysime, kad S yra sudarytas iš tam tikros medžiagos, o kiekvienam x S yra medžiagos tankis x taške, tai f integralas per S yra masė, tenkanti S storio vienetui (tai teisinga tik tada, jei paviršius yra be galo plonas apvalkalas).) Vienas iš būdų apskaičiuoti paviršiaus integralą yra padalyti paviršių į daugybę labai mažų dalių, daryti prielaidą, kad kiekvienoje dalyje tankis yra apytiksliai pastovus, rasti kiekvienos dalies storio vieneto masę, padauginus dalies tankį iš jos ploto, ir sudėjus gautus skaičius rasti bendrą S storio vieneto masę.

Norėdami rasti aiškią paviršiaus integralo formulę, matematikai S parametrizuoja S, laikydami S kreivinių koordinačių sistemą, panašią į platumos ir ilgumos koordinates sferoje. Tegul toks parametrizavimas yra x(s, t), kur (s, t) kinta tam tikroje plokštumos srityje T. Tuomet paviršiaus integralas duodamas taip

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \per \dalis s}\\ kartus {\dalis \mathbf {x} \per \dalis t}\dešinė|ds\,dt}

kur dešinėje pusėje tarp stulpelių esanti išraiška yra x(s, t) dalinių išvestinių kryžminės sandaugos dydis.

Pavyzdžiui, norėdami rasti tam tikros bendrosios funkcinės figūros, tarkime, z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} , paviršiaus plotą, turime

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\\times {\partial \mathbf {r} \over \dalis y}\\right\|dx\,dy}

kur r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Taigi ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} ir ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} . Taigi,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\dalinis f \over \dalinis x},-{\dalinis f \over \dalinis y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}

tai formulė, pagal kurią apskaičiuojamas bendrosios funkcinės formos paviršiaus plotas. Antroje eilutėje esantį vektorių galima atpažinti kaip paviršiaus normalės vektorių.

Atkreipkite dėmesį, kad dėl kryžminės sandaugos pirmiau pateiktos formulės tinka tik trimatėje erdvėje įterptiems paviršiams.

Nagrinėkime vektorinį lauką v ant S, t. y. kiekvienam x iš S, v(x) yra vektorius.

Paviršiaus integralas gali būti apibrėžtas pagal komponentę, kaip apibrėžta skalarinio lauko paviršiaus integralo apibrėžtis; rezultatas yra vektorius. Pavyzdžiui, tai taikoma elektriniam laukui tam tikrame fiksuotame taške, kurį lemia elektriškai įkrautas paviršius, arba gravitacijai tam tikrame fiksuotame taške, kurią lemia medžiagos lakštas. Taip pat galima apskaičiuoti magnetinį srautą per paviršių.

Taip pat matematikai gali integruoti vektoriaus lauko normalinę komponentę; rezultatas yra skaliaras. Pavyzdys - skystis, tekantis per S, pavyzdžiui, v(x) nusako skysčio greitį taške x. Srautas apibrėžiamas kaip skysčio kiekis, pratekantis per S per laiko vienetą.

Iš šios iliustracijos matyti, kad jei vektorinis laukas kiekviename taške yra liestinis S, srautas lygus nuliui, nes skystis teka tik lygiagrečiai S, bet nei į vidų, nei iš jo. Tai taip pat reiškia, kad jei v teka ne tik išilgai S, t. y. jei v turi ir tangentinę, ir normaliąją komponentę, tuomet srautą sudaro tik normalioji komponentė. Remdamiesi šiuo samprotavimu, norėdami rasti srautą, turime kiekviename taške atlikti taškinę v sandaugą su vienetine paviršiaus normaline į S, taip gausime skaliarinį lauką, ir gautą lauką integruoti, kaip aprašyta pirmiau. Taip gaunama formulė

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \per \dalis s}\ kartus {\dalis \mathbf {x} \over \dalis t}\dešinė)ds\,dt. }

Šios išraiškos dešinėje pusėje esanti kryžminė sandauga yra paviršiaus normalė, nustatoma pagal parametrizavimą.

Ši formulė apibrėžia kairėje pusėje esantį integralą (atkreipkite dėmesį į tašką ir paviršiaus elemento vektoriaus žymėjimą).

Naudojant diferencialinę geometriją ir vektorinį skaičiavimą galima gauti įvairių naudingų rezultatų, pavyzdžiui, divergencijos teoremą ir jos apibendrinimą - Stokso teoremą.

Parametrų keitimas

Pirmiau aptartas paviršiaus integralas apibrėžiamas naudojant paviršiaus parametrizavimą S. Konkretus paviršius gali turėti kelis parametrizavimus. Pavyzdžiui, perkėlus Šiaurės ir Pietų ašigalio vietas sferoje, pasikeičia visų sferos taškų geografinė platuma ir ilguma. Tada kyla natūralus klausimas, ar paviršiaus integralo apibrėžtis priklauso nuo pasirinkto parametrizavimo. Skaliarinių laukų integralų atveju atsakymas į šį klausimą yra paprastas - paviršiaus integralo vertė bus tokia pati, nesvarbu, kokį parametrizavimą naudosime.

Vektorinių laukų integralai yra sudėtingesni, nes juose dalyvauja paviršiaus normalė. Matematikai įrodė, kad esant dviem to paties paviršiaus parametrizavimams, kurių paviršiaus normalės nukreiptos ta pačia kryptimi, abu parametrizavimai duoda tą pačią paviršiaus integralo reikšmę. Tačiau jei šių parametrizavimų normalės yra nukreiptos priešingomis kryptimis, paviršiaus integralo vertė, gauta taikant vieną parametrizavimą, yra neigiama vertės, gautos taikant kitą parametrizavimą, vertė. Vadinasi, turint paviršių, nereikia laikytis jokio unikalaus parametrizavimo, tačiau integruojant vektorių laukus reikia iš anksto nuspręsti, į kurią pusę bus nukreipta normalė, ir tada pasirinkti bet kurį tą kryptį atitinkantį parametrizavimą.

Parametrų nustatymas veikia tik tam tikrose paviršiaus dalyse

Kita problema yra ta, kad kartais paviršiai neturi parametrizavimo, kuris apimtų visą paviršių; tai pasakytina, pavyzdžiui, apie cilindro (baigtinio aukščio) paviršių. Akivaizdus sprendimas - padalyti tą paviršių į kelias dalis, apskaičiuoti paviršiaus integralą kiekvienai daliai ir tada juos visus sudėti. Taip iš tiesų viskas ir vyksta, tačiau integruojant vektorinius laukus vėlgi reikia atsargiai pasirinkti kiekvienos paviršiaus dalies normalės taško vektorių, kad sudėjus visas dalis rezultatai būtų nuoseklūs. Cilindro atveju tai reiškia, kad jei nusprendžiame, jog šoninėje srityje normalė bus nukreipta į išorę nuo kūno, tai viršutinės ir apatinės apskritos dalies normalė taip pat turi būti nukreipta į išorę nuo kūno.

Nesuderintos paviršiaus normos

Galiausiai, yra paviršių, kurie neturi paviršiaus normalės kiekviename taške ir kurių rezultatai yra nuoseklūs (pvz., Mobio juosta). Jei toks paviršius padalijamas į dalis, kiekvienai daliai parenkamas parametrizavimas ir atitinkama paviršiaus normalė, o dalys vėl sujungiamos, normalės vektoriai iš skirtingų dalių negali būti suderinti. Tai reiškia, kad tam tikroje dviejų dalių sandūroje normalės vektoriai bus nukreipti priešingomis kryptimis. Toks paviršius vadinamas neorientuotu. Vektorių laukų negalima integruoti į nesiorientuojančius paviršius.

• Divergencijos teorema
• Stokso teorema
• Linijinis integralas
• Tūrio integralas
• Dekartinė koordinačių sistema
• Tūrio ir paviršiaus ploto elementai sferinėje koordinačių sistemoje
• Tūrio ir paviršiaus ploto elementai cilindrinėje koordinačių sistemoje
• Holšteino-Herringo metodas