Matematinis dydis (matematikoje): apibrėžimas ir tipai

Sužinokite, kas yra matematinis dydis: apibrėžimas, istorija ir pagrindiniai tipai (ilgis, plotas, tūris, kampai). Aiškus paaiškinimas ir praktiški pavyzdžiai.

Matematinis dydis — tai objekto savybė, kuri leidžia jį palyginti su kitais tos pačios rūšies objektais pagal „kiekį“ ar „mąstą“. Paprastai kalbant, dydis nusako, ar objektas yra didesnis ar mažesnis už kitą. Kai kuriose situacijose dydis apibrėžiamas kaip objekto priskyrimas tam tikrai skaliarai reikšmei (pvz., realiam skaičiui), kuri saugo užsakymą arba santykį tarp objektų.

Kas tai reiškia matematiškai

Matematikos kalba dydis dažnai suprantamas kaip tam tikras ordino arba matuojamoji struktūra: objekto priskyrimas skaliarinei reikšmei (pvz., ilgiui, plotui, tūriui), arba objekto vieta užsakytame rinkinyje. Tokiu būdu dydis gali reikšti:

• nuoseklų palyginimą (kas didesnis);
• kvantifikaciją (kiek — per skaliarą, pvz., metrais ar kvadratiniais vienetais);
• kiekio tipą, kuris gali būti galutinis ar begalinis (kardinalumas).

Istorija: senovės graikų požiūris

Senovės graikai aiškiai skyrė skirtingas „dydžių“ rūšis ir tirti jų santykius. Jie kalbėjo apie skaičių santykius (pvz., trupmenas), linijų ilgius, plokštumų figūrų plotus, kūnų tūrius ir kampų dydžius. Graikai taip pat atrado svarbią savybę — kai kurios dvi dydžių klasės nėra tiesiogiai ekvivalentūs: pavyzdžiui, trupmenų (skaičių) sistema ir linijų segmentų ilgiai negali būti visiškai sutapatinti dėl incommensurability (pvz., √2). Trumpai tariant, jie parodė, kad pirmosios dvi sistemos — frakcijos (skaičių santykiai) ir linijų segmentai (pagal ilgį) — negali būti tos pačios ar net izomorfinės dydžių sistemos.

Pagrindiniai dydžių tipai (istorinis ir šiandieninis skirstymas)

• Frakcijos (skaičių santykiai) — dažniausiai suprantamos kaip matavimai realiųjų skaičių aibėje; tradiciškai daugiausia reiškia teigiamus santykius, bet šiuolaikiniame kontekste įtraukiami ir neigiami skaičiai.
• Linijų segmentai (pagal ilgį) — geometrijoje Ilgiai matuojami metrais ar kitais vienetais; kai kurie ilgiai gali būti incommensurable su racionaliaisiais skaičiais.
• Plokštumų figūros (pagal plotą) — plotas dažniausiai priskiriamas realiuoju skaičiumi; ploto matavimas veda į integralų ir matavimo teoriją.
• Kietosios medžiagos (pagal tūrį) — tūris (kubiniai vienetai) taip pat dažnai vertinamas kaip realus skaliarinis dydis, kurio matavimas remiasi erdvinėmis integracijomis.
• Kampai (pagal kampinį dydį) — kampai gali būti matuojami laipsniais arba radianais; kampai taip pat gali būti žymimi orientacija (pozityvus/neigiamas).

Šiuolaikiniai matematiniai požiūriai į dydį

Laikui bėgant „dydžio“ samprata išsiplėtė ir apima kelias skirtingas, bet susijusias idėjas:

• Matavimo funkcijos (measure) — matavimo teorijoje dydis apibrėžiamas kaip matavimo funkcija, priskirianti aibėms (pvz., geometrijos figūroms) neigiamai neigiamas realias reikšmes, kurias galima sumuoti ir apriboti.
• Metrikos ir normos — erdvių (pvz., vektorių erdvių) dydis gali būti reikšmė, gaunama naudojant normą arba atstumo funkciją (metrą), leidžiančią palyginti objektus pagal „atstumą“ arba „ilgį“.
• Kardinalumas — aibės dydis kaip elementų skaičius; tai ypač svarbu begalinių aibių atveju (pvz., natūraliųjų skaičių ir realiųjų skaičių kardinalumai skiriasi).
• Ordinalumas (užsakymas) — dydis gali reikšti vietą užsakytame rinkinyje (pvz., antrasis, trečiasis), t. y. objekto poziciją pagal užsakymą.

Nulis, neigiami dydžiai ir orientacija

Daugeliu praktinių atvejų dydžiai yra neigiami arba nuliniai nereikšmingi — pvz., ilgis, plotas, tūris tradiciškai laikomi neigiamais neįmanomais, o 0 reiškia „nėra dydžio“. Tačiau matematikoje egzistuoja reikšmingos sritys, kuriose vertybės gali būti neigiamos arba orientuotos:

• Skaliarinės reikšmės su ženklu (pvz., temperatūra, finansiniai skaičiai) gali būti ir neigiamos.
• Vektoriaus ilgis visada neigiamas, bet komponentai gali turėti ženklą; orientuoti segmentai arba kampai gali būti pažymimi teigiamais arba neigiamais priklausomai nuo krypties.

Praktiniai ir teoriniai pasekmės

Skirtingos dydžių sampratos turi skirtingas pasekmes:

• Incommensurability (pvz., √2) parodė, kad skaičiaus ir ilgio sistemos ne visada sutampa, todėl buvo vystomos naujos skaičių aibės (realsieji skaičiai, Dedekindo dalys, realiųjų skaičių užbaigimai).
• Matavimo teorija leidžia tvarkingai apibrėžti plotus ir tūrius sudėtingoms figūroms ir pateisinti integralus bei tikimybes.
• Kardinalumo tyrimai parodė, kad begalybės „dydis“ gali skirtis (pvz., skaičių masyvo ir realiųjų skaičių kardinalumai), todėl kliūtis „intuityviam“ dydžio supratimui.

Santrauka

Dydis matematikoje nėra vienareikšmis terminas — tai bendras pavadinimas kelioms susijusioms sąvokoms: ilgiui, plotui, tūriui, kampui, skaičiaus dydžiui (frakcijoms), aibių kardinalumui ar elementų užsakymui. Istoriškai senovės graikai akcentavo atskirtį tarp tam tikrų dydžių tipų (pvz., frakcijų ir linijų segmentų), o šiuolaikinė matematika suteikė tvirtus formalizmus (matricos, metrikos, matavimo teorijos, kardinalumo), leidžiančius aiškiai dirbti su įvairiomis dydžio sampratomis.

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Koks yra dydžio apibrėžimas?

K: Kokias dydžių rūšis skyrė senovės graikai?

Klausimas: Ar jie manė, kad neigiami dydžiai yra reikšmingi?

Klausimas: Kaip šiandien vis dar daugiausia vartojame dydžius?

K: Ar senovės graikai įrodė, kad dviejų rūšių dydžiai negali būti vienodi?

Klausimas: Į ką jie neatsižvelgė aptardami skirtingus dydžių tipus?

K: Koks buvo vienas iš būdų, kaip senovės graikai sutvarkė skirtingus dydžių tipus?

Paieška pagal raidę