Cilindras: apibrėžimas, rūšys, paviršiaus plotas ir tūris

Įprastai cilindras reiškia baigtinį dešiniojo apskrito cilindro pjūvį, t. y. cilindrą, kurio generuojančios linijos yra statmenos pagrindams, o jo galai yra uždari ir sudaro du apskritus paviršius, kaip parodyta paveikslėlyje (dešinėje). Jei cilindro spindulys r, o ilgis (aukštis) h, tai jo tūris yra lygus:

V = πrh²

o jo paviršiaus plotas yra:

• viršaus plotas (πr²) +
• dugno plotas (πr²) +
• šono plotas (2πrh).

Todėl be viršaus ir apačios (šoninio ploto) paviršiaus plotas yra:

A = 2πrh.

Viršuje ir apačioje paviršiaus plotas yra:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Tam tikro tūrio cilindro, kurio paviršiaus plotas yra mažiausias, h = 2r. Esant duotam paviršiaus plotui, didžiausio tūrio cilindro h = 2r, t. y. cilindras telpa į kubą (aukštis = skersmuo).

Dešinysis apskritas cilindras, kurio aukštis yra h vienetų, o pagrindas - r vienetų spindulio, kurio koordinačių ašys parinktos taip, kad pradžia būtų vieno pagrindo centre, o aukštis matuojamas išilgai teigiamos x ašies. Plokščiosios atkarpos, esančios x vienetų atstumu nuo pradžios, plotas yra A(x) kvadratinių vienetų, kur

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

arba

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Tūrio elementas yra dešinysis cilindras, kurio pagrindo plotas Aw_i kvadratinių vienetų, o storis Δx_i vienetų. Taigi, jei V kubinių vienetų yra dešiniojo apvalaus cilindro tūris, pagal Riemanno sumas,

K i l i n d e r o v i s = lim | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Tūris\;iš\;cilindro} =\lim _{||\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫0 h A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0h π r d 2y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Naudojant cilindrines koordinates, tūrį galima apskaičiuoti integruojant per

= ∫ 0h0 ∫ 2π ∫ 0r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Cilindriniai pjūviai - tai cilindrų susikirtimai su plokštumomis. Dešiniojo apskrito cilindro atveju yra keturios galimybės. Plokštuma, liečianti cilindrą, su juo susikerta viena tiesia linija. Lygiagrečiai su savimi judanti plokštuma arba nekerta cilindro, arba kerta jį dviem lygiagrečiomis tiesėmis. Visos kitos plokštumos kerta cilindrą elipse arba, kai jos statmenos cilindro ašiai, apskritimu.

Elipsinis cilindras, arba cilindroidas, yra keturkampis paviršius, kurio lygtis Dekarto koordinatėse yra tokia:

( x a ) + 2( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Ši lygtis skirta elipsiniam cilindrui, kuris yra įprasto apskrito cilindro (a = b) apibendrinimas. Dar bendresnis yra apibendrintasis cilindras: jo skerspjūvis gali būti bet kokia kreivė.

Cilindras yra išsigimęs kvadrikas, nes bent viena jo koordinatė (šiuo atveju z) lygtyje nefigūruoja.

Pasvirusio cilindro viršutinis ir apatinis paviršiai yra pasislinkę vienas nuo kito.

Yra ir kitų neįprastų cilindrų tipų. Tai įsivaizduojami elipsiniai cilindrai:

( x a ) + 2( y b ) =2 - 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=-1}

hiperbolinis cilindras:

( x a )2 - ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

ir parabolinis cilindras:

x +2 a 2y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Projektyvinėje geometrijoje cilindras yra tiesiog kūgis, kurio viršūnė yra begalybėje.

Tai naudinga apibrėžiant degeneruotus kūgius, kai reikia atsižvelgti į cilindrinius kūgius.