Hiperbolė (matematika): apibrėžimas, savybės ir pavyzdžiai

Sužinokite hiperbolės apibrėžimą, matematikos savybes, grafinę interpretaciją ir praktinius pavyzdžius (f(x)=1/x, orbitos, saulės laikrodis) aiškiai ir suprantamai.

Hiperbolė yra kūginės atkarpos tipas. Kaip ir kiti trys kūginių atkarpų tipai - parabolės, elipsės ir apskritimai - tai kreivė, susidariusi kūgio ir plokštumos sankirtoje. Hiperbolė susidaro, kai plokštuma kerta abi dvigubo kūgio puses ir sukuria dvi kreives, kurios atrodo visiškai panašios viena į kitą, bet išsiskleidžia į priešingas puses. Taip atsitinka, kai kampas tarp kūgio ašies ir plokštumos yra mažesnis už kampą tarp kūgio pusėje esančios tiesės ir plokštumos.

Hiperbolų galima rasti daugelyje gamtos vietų. Pavyzdžiui, objektas, skriejantis atvirąja orbita aplink kitą objektą, į kurią jis niekada negrįžta, gali judėti hiperbolės forma. Saulės laikrodyje šešėlio viršūnės kelias, kurį laikui bėgant nueina šešėlis, yra hiperbolė.

Viena iš labiausiai žinomų hiperbolų yra lygties f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}grafikas.

Apibrėžimas ir standartinės lygties formos

Matematikoje hiperbolė dažnai apibrėžiama dvejopai:

• Geometrinis apibrėžimas: rinkinys taškų plokštumoje, kuriems skirtumas nuotolių iki dviejų fiksuotų taškų (fokų) yra konstanta. Jei fokų atstumas žymimas 2c ir konstanta yra 2a, tai |d(P,F1) − d(P,F2)| = 2a.
• Analitinis apibrėžimas (centrinė hiperbolė): požiūris su koordinačių sistema, kai centras yra pradžioje ir asmenys a ir b > 0, pagrindinė lygtis yra
  x^2/a^2 − y^2/b^2 = 1.
  Jei hiperbolė paslinkta ir aprašoma centro (h,k) atžvilgiu, lygtis tampa
  (x − h)^2/a^2 − (y − k)^2/b^2 = 1.

Pagrindinės savybės

• Šakos: hiperbolė turi dvi atskiras šakas, simetriškas centro atžvilgiu.
• Asimptotės: tiesės, prie kurių kreivė artėja nutolusiu atstumu. Centrinei hiperbolei (x^2/a^2 − y^2/b^2 = 1) asimptotės yra:
  y = ±(b/a) x
  O paslinktai hiperbolei: y − k = ±(b/a)(x − h).
• Fokai ir ekscentriškumas: foko koordinatės (jei hiperbolė siekta x-ašimi) yra (±c, 0), kur c^2 = a^2 + b^2. Ekscentriškumas e = c/a ir hiperbolei galioja e > 1.
• Židinys-žąsies savybė: hiperbolė – tai konika, kurią galima gauti kaip plokštumos pjaustą dvigubame kūgyje, arba apibrėžti per santykį žr. atstumo formulę konikoms su e > 1.
• Parametrinė forma: dažnai naudinga parametrizuoti naudojant hiperbines funkcijas:
  x = a cosh t, y = b sinh t (t ∈ ℝ)
  tokia parametrizacija apima vieną iš šakų, o kitai galima naudoti t → −t arba x = −a cosh t.
• Conjugate (susijusi) hiperbolė: lygtis x^2/a^2 − y^2/b^2 = −1 aprašo hiperbolę, kurios šakos yra orientuotos statmenai pradiniams; jos asimptotės tos pačios.
• Simetrija: hiperbolė yra simetriška centro atžvilgiu, taip pat simetriška pagal ašis, kuria yra išsidėsčiusios šakos.
• Skirtingų tipų hiperbolės: jei a = b, gaunama stačiakampė (equilateral) hiperbolė, kurios asimptotės susidaro kampu 90°.

Lygtis poliarinėse koordinatėse

Konikus su fokusu koordinačių pradžioje galima aprašyti poliarine lygtimi
r = p / (1 + e cos θ),
kur e yra ekscentriškumas. Hiperbolei e > 1, todėl poliarinė lygtis su pliusu arba minusu (priklausomai nuo orientacijos) aprašo atvirą koniką, kurios viena šaka gali būti hyperboline orbita (pvz., kosminių kūnų hiperbolinės trajektorijos).

Pavyzdžiai ir praktinės pritaikys

• Matematika: paprasčiausia hiperbolė f(x) = 1/x yra dažnai vadinama stačiakampės hiperbolės pavyzdžiu; jos asimptotės — x = 0 ir y = 0.
• Astronomija: objekto trajektorija aplink masyvų kūną gali būti hiperbolinė, jei energija yra pakankamai didelė — tai atvirų orbitų atvejis.
• Inžinerija ir architektūra: tam tikri arkų, tilto formos ar reikiamos apkrovos paskirstymo kontūrai gali būti hiperbolės formos.
• Fizika: kai kurios laukų linijų formos, radiacijos profiliai ar reflektorių geometrija gali būti susiję su hiperbolės savybėmis (pvz., dvikameriniai reflekto­riai naudojami tam tikrose antenų konstrukcijose).
• Saulės laikrodžiai: kaip minėta aukščiau, tam tikrų tipų saulės laikrodžių šešėlių takai — hiperbolės.

Praktinės pastabos

• Dirbant su lygtimis svarbu atkreipti dėmesį į ženklus: x^2/a^2 − y^2/b^2 = 1 orientuoja šakas palei x ašį, o su ženklu priešingai — palei y ašį.
• Asimptotės suteikia greitą vizualizaciją, kaip hiperbolė elgsis toli nuo centro: kreivė artėja prie asimptotiškų tiesių, bet jų niekada nepasiekia.
• Parametrinės formos (cosh, sinh) yra ypač patogios integruojant ir apibrėžiant ilgį ar plotą, susijusį su hiperbolės dalimis.

Jei norite, galiu pridėti keletą konkrečių skaičiavimo pavyzdžių (pvz., rasti asimptotes, fokusų koordinates ar parametrinę trajektoriją konkrečiai hiperbolei) arba pateikti interaktyvių grafinių pavyzdžių nuorodas.

Apibrėžimai ir lygtys

Dvi nesujungtos kreivės, sudarančios hiperbolę, vadinamos atšakomis.

Du taškai, kuriuose šakos yra arčiausiai viena kitos, vadinami viršūnėmis. Tiesė tarp šių dviejų taškų vadinama skersine ašimi arba pagrindine ašimi. Skersinės ašies vidurio taškas yra hiperbolės centras.

Dideliais atstumais nuo centro hiperbolės atšakos priartėja prie dviejų tiesių. Šios dvi tiesės vadinamos asimptotėmis. Didėjant atstumui nuo centro, hiperbolė vis labiau artėja prie asimptotų, bet niekada jų nesutampa.

Sudurtinė ašis arba mažoji ašis yra statmena skersinei ašiai arba sudaro su ja statų kampą. Konjuguotosios ašies galiniai taškai yra tame aukštyje, kuriame segmentas, kertantis viršūnę ir statmenas skersinei ašiai, kerta asimptotas.

Hiperbolę, kurios centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje, t. y. taške (0,0), o skersinė ašis yra x ašyje, galima užrašyti lygtimi

x 2 a 2 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

a - atstumas tarp centro ir viršūnės. Skersinės ašies ilgis lygus 2a. b - statmenos tiesės atkarpos nuo viršūnės iki asimptotos ilgis. Konjuguojamosios ašies ilgis lygus 2b.

Dvi minėto tipo hiperbolės šakos išsišakoja į kairę ir į dešinę. Jei šakos atsiveria aukštyn ir žemyn, o skersinė ašis yra y ašyje, tai hiperbolę galima užrašyti lygtimi

y 2 a 2 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.}

Hiperbolės grafikas (raudonos kreivės). Asimptotės pavaizduotos mėlynomis brūkšninėmis linijomis. Centras pažymėtas C, o dvi viršūnės yra ties -a ir a. Židiniai pažymėti F1 ir F2.

Klausimai ir atsakymai

Klausimas: Kas yra hiperbolė?

Klausimas: Kaip sukuriama hiperbolė?

Klausimas: Kur gamtoje galime rasti hiperbolės pavyzdžių?

Klausimas: Kokia lygtis apibūdina vieną gerai žinomą hiperbolės pavyzdį?

K: Kokios dar yra kitos kūginių pjūvių rūšys, be hiperbolės?

K: Kuo šie skirtingi tipai skiriasi vienas nuo kito?

Paieška pagal raidę