Fibonačio skaičių seka: apibrėžimas, formulė ir pavyzdžiai
Sužinokite Fibonačio skaičių sekos apibrėžimą, formulę ir aiškius pavyzdžius — nuo pagrindų iki taikymo matematikoje, gamtoje ir programavime.
Fibonačio skaičiai - tai matematikos skaičių seka, pavadinta Leonardo iš Pizos, žinomo kaip Fibonačio, vardu. Fibonačis 1202 m. parašė knygą "Liber Abaci" ("Skaičiavimo knyga"), kurioje Vakarų Europos matematikai pristatė šį skaičių modelį, nors apie jį jau žinojo Indijos matematikai. Fibonačio seka tapo plačiai žinoma dėl savo matematinio grožio ir ryšio su gamtos bei meno formomis.
Pirmasis skaičiaus modelis yra 0, antrasis - 1, o kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus dviejų prieš jį esančių skaičių sumai. Pavyzdžiui, 0+1=1 ir 3+5=8. Ši seka tęsiasi be galo.
Dažnai Fibonačio seką pateikiama taip: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... — kiekvienas skaičius yra dviejų prieš tai buvusių suma.
Tai galima užrašyti kaip pasikartojimo sąryšį,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
Kad tai būtų prasminga, reikia pateikti bent du atskaitos taškus. Čia F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
ir F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Pavyzdžiai
Pirmieji Fibonačio skaičiai (pradedant F0):
- F0 = 0
- F1 = 1
- F2 = 1
- F3 = 2
- F4 = 3
- F5 = 5
- F6 = 8
- F7 = 13
- F8 = 21
- F9 = 34
- F10 = 55
Kaip matyti, F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8, F10 = F9 + F8 = 34 + 21 = 55 ir t. t.
Binet’o formulė (uždara forma)
Fibonačio n-tąjį narį galima išreikšti ir uždara forma (vadinama Binet’o formule):
Fn = (φn − ψn) / √5, kur φ = (1 + √5)/2 (auksinis skaičius), ψ = (1 − √5)/2.
Iš čia matyti, kad beveik Fn ≈ φn / √5, nes |ψ| < 1 ir ψn mažėja labai greitai, kai n didėja.
Auksinis santykis ir augimo greitis
Santykis tarp gretimų Fibonačio skaičių Fn+1/Fn artėja prie auksinio santykio φ ≈ 1.6180339887... kai n → ∞. Tai paaiškina, kodėl Fibonačio seka dažnai siejama su proporcijomis ir estetika gamtoje bei mene.
Fibonačio skaičiai auga eksponentiškai pagal φ: maždaug Fn ≈ φn/√5.
Savybės ir identitetai
- Rekursinė formulė: Fn = Fn−1 + Fn−2.
- Cassini identitetas: Fn+1·Fn−1 − Fn2 = (−1)n.
- GCD savybė: gcd(Fm, Fn) = Fgcd(m,n).
- Negatyvūs indeksai: F−n = (−1)n+1 Fn.
- Generuojanti funkcija: G(x) = Σ Fn xn = x / (1 − x − x2) (tinkama pradinėms reikšmėms F0 = 0, F1 = 1).
- Matricinė forma: [ [1,1],[1,0] ]n = [ [Fn+1, Fn], [Fn, Fn−1] ] — tai leidžia greitai skaičiuoti didelius narus naudojant matricos kėlimą laipsniu.
- Dalijamumas: Jei k dalija n, tai Fk dalija Fn (t.y. Fn yra dalomas iš Fk kai k | n).
- Pisano periodas: Fibonačio skaičių modulio m seka yra periodinė; periodą vadina Pisano periodu.
Taikymas ir pavyzdžiai praktikoje
- Kompiuterija: Fibonacci paieškos, duomenų struktūros (Fibonacci heap), optimizacijos ir algoritmų analizė.
- Matematika: kombinatorika — skaičius, kiek būdų uždengti 1×n lentą naudojant 1×1 ir 1×2 plyteles, yra Fn+1.
- Gamtos mokslai: augalų lapų išsidėstymas (filotaksija), sraigės, žiedų ir kankorėžių spiralės dažnai atitinka Fibonačio skaičius ar auksinį santykį.
- Menai ir architektūra: kompozicija, proporcijos ir dizainas remiasi auksiniu santykiu, kuris yra susijęs su Fibonačio seka.
Keli praktiniai pastebėjimai
- Apvalinus Binet’o formulę, Fn ≈ round(φn/√5).
- Fibonačio seka turi periodiškumą module bet kurio sveiko skaičiaus — tai svarbu skaičių teorijoje ir kriptografijoje.
- Fibonačio skaičiai taip pat naudojami pseudoatsitiktinių generatorių konstrukcijose ir optimizavimo uždaviniuose.
Fibonačio seka yra paprasta, bet nepaprastai turtinga matematinė struktūra: ji sieja rekursiją, uždarąsias formas, auksinį santykį ir daugybę netikėtų savybių bei taikymų įvairiose srityse.
Fibonačio spiralė, sukuriama brėžiant liniją per Fibonačio plytelės kvadratus; šioje spiralėje naudojami 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ir 34 dydžio kvadratai; žr. "Auksinė spiralė".
Fibonačio skaičiai gamtoje
Fibonačio skaičiai yra susiję su aukso pjūviu, kuris sutinkamas daugelyje pastatų ir gamtos vietų. Keletas pavyzdžių: lapų raštas ant stiebo, ananaso dalys, artišokų žydėjimas, paparčio išsiskleidimas ir pušies kūgio išsidėstymas. Fibonačio skaičių taip pat galima rasti medunešių bičių genealoginiame medyje.
Saulėgrąžų galvutė su spiralėmis iš 34 ir 55 žiedelių aplink išorę
Binet formulė
N-ąjį Fibonačio skaičių galima užrašyti kaip aukso pjūvį. Taip išvengiama rekursijos, kuri gali ilgai užtrukti kompiuteriui skaičiuojant Fibonačio skaičius.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Kur φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} 
aukso pjūvis.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra Fibonačio seka?
A: Fibonačio seka - tai matematikos skaičių modelis, pavadintas Leonardo iš Pizos, žinomo kaip Fibonačio, vardu. Ji prasideda skaičiais 0 ir 1, o kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus dviejų prieš jį esančių skaičių sumai.
Klausimas: Kas įvedė šį skaičių modelį į Vakarų Europos matematiką?
A: 1202 m. Fibonačis parašė knygą "Liber Abaci" ("Skaičiavimo knyga"), kurioje Vakarų Europos matematikai pristatė šį skaičių modelį, nors Indijos matematikai apie jį jau žinojo.
K: Kaip galima užrašyti Fibonačio seką?
A: Fibonačio seką galima užrašyti kaip pasikartojimo sąryšį, kur F_n = F_n-1 + F_n-2, kai n ≥ 2.
K.: Kokie yra šio pasikartojimo ryšio pradiniai taškai?
A: Kad tai būtų prasminga, reikia nurodyti bent du pradinius taškus. Čia F_0 = 0 ir F_1 = 1.
K: Ar Fibonačio seka tęsiasi amžinai?
Atsakymas: Taip, seka tęsiasi amžinai.
K: Kur matematikai pirmą kartą sužinojo apie šį skaičių modelį? A: Indijos matematikai jau buvo susipažinę su šiuo skaičių modeliu, kol jį Vakarų Europoje pristatė Leonardas iš Pizos (Fibonačis).
Ieškoti