Studento t pasiskirstymas: apibrėžimas, savybės ir taikymai

Sužinokite Studento t pasiskirstymo apibrėžimą, savybes, t-testo ir regresijos taikymus — aiškiai, su pavyzdžiais ir praktiniais patarimais.

Studento t pasiskirstymas yra tikimybiųpasiskirstymas, kurį 1908 m. sukūrė Williamas Sealy Gossetas. Studentas - tai pseudonimas, kurį jis naudojo paskelbdamas straipsnį, kuriame aprašytas šis pasiskirstymas. Gossetas dirbo alaus darykloje ir domėjosi mažų mėginių, pavyzdžiui, miežių cheminių savybių, problemomis. Jo analizuojamose problemose imties dydis galėjo būti vos trys. Viena iš pseudonimo kilmės versijų yra ta, kad Gosset darbdavys pageidavo, jog darbuotojai, skelbdami mokslinius darbus, naudotų pseudonimus, o ne savo tikrąjį vardą, todėl, norėdamas nuslėpti savo tapatybę, jis naudojo vardą "Studentas". Kita versija – alaus darykla nenorėjo, kad jos konkurentai žinotų, jog žaliavos kokybei tikrinti jie naudoja t-testą.

Apibrėžimas ir pagrindinė idėja

Daugeliu praktinių uždavinių, ypač kai imčių dydis yra mažas, neįmanoma tiksliai žinoti populiacijos standartinio nuokrypio. Standartinio nuokrypio nežinojimas lemia, kad paprastas normalusis skirstinys ne visada tinkamai atspindi klaidų pasiskirstymą. Studento t pasiskirstymas apima papildomą kintamumą, susijusį su imties standartinio nuokrypio įverčiu.

Formaliai, jei iš normaliojo skirstinio imame n stebėjimų imtį, t skirstinį su laisvės laipsniais ν = n − 1 galima gauti, sudarydami santykį tarp imties vidurkio nukrypimo nuo tikrojo vidurkio ir imties standartinio paklaidos mato:

t = (x̄ − μ) / (s / √n),

kur x̄ yra imties vidurkis, μ – tikrasis populiacijos vidurkis (hipotezėse dažnai lygus 0), s – imties standartinis nuokrypis, o √n – normalizuojantis narys. Tekstiniu pavidalu tai atitinka originalų aprašymą su normalizuojančio nario žymėjimu: n {\displaystyle {\sqrt {n}}}.

Savybės

• Simetriškas ir varpo formos: kaip ir normalusis pasiskirstymas, t pasiskirstymas yra simetriškas aplink nulį ir turi vieną viršūnę.
• Storesnės uodegos: t pasiskirstymo uodegos yra sunkesnės nei normaliojo, todėl didesnė tikimybė gauti reikšmes toliau nuo vidurkio. Dėl to jis geriau atspindi papildomą neapibrėžtumą, kylantį iš imties standartinio nuokrypio įvertinimo.
• Priklausomybė nuo laisvės laipsnių: kiekvienam imties dydžiui atitinka skirtingas t skirstinys: ν = n − 1. Kuo didesnė imtis, tuo t skirstinys labiau artėja prie normaliojo skirstinio (kai ν → ∞, t → normalusis skirstinys).
• Santykis su kitais pasiskirstymais: t skirstinį galima išreikšti kaip santykį tarp normaliojo ir chi kvadrato pasiskirstymų (t = Z / √(V/ν), kur Z ∼ N(0,1) ir V ∼ χ²(ν), nepriklausomi). Stjudento t pasiskirstymas taip pat yra specialus apibendrintojo hiperbolinio pasiskirstymo atvejis.

Prielaidos ir ribojimai

Norint taikyti t skirstinį arba Stjudentot-testą, paprastai daroma kelios prielaidos:

• stebėjimai yra nepriklausomi;
• populiacijos, iš kurios imama, sąlyginai tenkina normalumo prielaidą arba imtis yra pakankamai didelė (dėl centrinių ribų teoremos);
• imties standartinis nuokrypis s yra tinkamas populiacijos nuokrypio įverčio pakaitalas.

Jei duomenys stipriai neatitinka normalumo prielaidos (ypač mažose imtyse), gali prireikti naudoti neparametrinius metodus arba atlikti permutacijas / bootstrap metodus.

Taikymai

T pasiskirstymas naudojamas daugelyje plačiai naudojamų statistinių analizių, įskaitant Stjudentot-testą dviejų imties vidurkių skirtumo statistiniam reikšmingumui įvertinti, dviejų populiacijos vidurkių skirtumo pasikliautiniesiems intervalams nustatyti ir tiesinei regresinei analizei atlikti. Stjudento t pasiskirstymas taip pat naudojamas atliekant Bajeso analizę normaliosios šeimos duomenims ir plačiai taikomas kokybės kontrolėje, fizikiniuose matavimuose, biostatistikoje bei socialiniuose moksluose.

Praktinis pavyzdys

Tarkime, turime n = 10 stebėjimų su imties vidurkiu x̄ = 5.2 ir imties standartiniu nuokrypiu s = 1.1. Norėdami patikrinti hipotezę, kad populiacijos vidurkis μ = 5, apskaičiuojame t statistikos reikšmę:

t = (5.2 − 5) / (1.1 / √10) ≈ 0.2 / (1.1 / 3.162) ≈ 0.2 / 0.348 ≈ 0.574.

Su ν = 9 laisvės laipsniais galime patikrinti, ar ši t reikšmė yra reikšminga, naudodami t pasiskirstymo lenteles arba skaitines priemones – taip gauname p reikšmę ir sprendimą dėl hipotezės atmetimo ar ne.

Santrauka

Studento t pasiskirstymas yra esminė priemonė statistikoje dirbant su mažomis imtimis arba kai populiacijos standartinis nuokrypis nežinomas. Jo savybės – simetrija, storesnės uodegos ir priklausomybė nuo laisvės laipsnių – leidžia realistiškiau įvertinti neapibrėžtumą ir sudaryti patikimesnius pasikliautinius intervalus bei atlikti hipotezių testus. Praktikoje svarbu atkreipti dėmesį į prielaidas ir, esant būtinybei, pasirinkti alternatyvius metodus, jei prielaidos yra stipriai pažeistos.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra Stjudento t pasiskirstymas?

K: Kas sukūrė Stjudento t pasiskirstymą?

K.: Kokie yra kai kurie Studento t pasiskirstymo panaudojimo būdai?

Klausimas: Kaip imties dydis veikia t pasiskirstymo formą?

K: Ar yra koks nors ryšys tarp Stjudento T pasiskirstymo ir normaliojo pasiskirstymo?

Klausimas: Ar yra koks nors kitas šio tipo skirstinio pavadinimas?

Paieška pagal raidę