Algebrinė geometrija
Algebrinė geometrija yra matematikos šaka, tirianti polinomines lygtis. Šiuolaikinė algebrinė geometrija remiasi abstraktesnės abstrakčiosios algebros, ypač komutacinės algebros, abstraktesniais metodais ir geometrijos kalba bei uždaviniais.
Pagrindiniai algebrinės geometrijos tyrimo objektai yra algebrinės atmainos, kurios yra geometrinės daugianarių lygčių sistemų sprendinių aibių išraiškos. Labiausiai tyrinėtų algebrinių atmainų klasių pavyzdžiai: plokštuminės algebrinės kreivės, kurioms priklauso tiesės, apskritimai, parabolės, elipsės, hiperbolės, kubinės kreivės, pavyzdžiui, elipsinės kreivės, ir keturbriaunės kreivės, pavyzdžiui, lemnikatai, ir Kasinio ovalai. Plokštumos taškas priklauso algebrinei kreivei, jei jo koordinatės tenkina duotą polinomo lygtį. Pagrindiniai klausimai apima ypatingos svarbos taškų, pavyzdžiui, singuliariųjų taškų, infleksijos taškų ir taškų begalybėje, tyrimą. Sudėtingesni klausimai susiję su kreivės topologija ir ryšiais tarp skirtingomis lygtimis pateiktų kreivių.
Algebrinė geometrija užima svarbią vietą šiuolaikinėje matematikoje. Joje vartojamos sąvokos ją sieja su tokiomis įvairiomis sritimis kaip kompleksinė analizė, topologija ir skaičių teorija. Iš pradžių algebrinė geometrija buvo skirta polinominių lygčių sistemoms keliuose kintamuosiuose tirti. Algebrinė geometrija prasideda ten, kur baigiasi lygčių sprendimas: Daugeliu atvejų svarbiau rasti savybes, kuriomis pasižymi visi tam tikros lygčių aibės sprendiniai, nei rasti konkretų sprendinį: tai veda į pačias giliausias matematikos sritis tiek konceptualiai, tiek techniškai.
XX amžiuje algebrinė geometrija suskilo į keletą pakraipų.
- Pagrindinė algebrinės geometrijos kryptis skirta algebrinių veislių kompleksiniams taškams ir apskritai taškams, kurių koordinatės yra algebriškai uždarame lauke, tirti.
- Algebrinės veislės, kurios koordinatės yra racionaliųjų skaičių lauke arba skaičių lauke, taškų tyrimas tapo aritmetine geometrija (arba klasikine Diofantine geometrija), algebrinės skaičių teorijos posričio sritimi.
- Algebrinės veislės realiųjų taškų tyrimas yra realiosios algebrinės geometrijos objektas.
- Didelė singuliarumų teorijos dalis skirta algebrinių veislių singuliarumams.
- Kai kompiuteriai tapo labiau paplitę, atsirado sritis, pavadinta "kompiuterine algebrine geomerija". Joje nagrinėjama algebrinės geometrijos ir kompiuterinės algebros sankirta. Ji susijusi su algoritmų ir programinės įrangos, skirtų aiškiai duotų algebrinių atmainų savybėms tirti ir rasti, kūrimu.
XX a. didžioji dalis pagrindinės algebrinės geometrijos krypties raidos vyko abstrakčiosios algebros rėmuose, vis labiau akcentuojant algebrinių atmainų "vidines" savybes, nepriklausančias nuo konkretaus atmainos įterpimo į aplinkos koordinačių erdvę būdo. Topologijos, diferencialinės ir kompleksinės geometrijos raida vyko panašiai. Vienas svarbiausių šios abstrakčiosios algebrinės geometrijos pasiekimų yra Grothendiecko schemų teorija, leidžianti algebrinėms veislėms tirti naudoti pluoštų teoriją labai panašiai kaip ir tiriant diferencialines ir analitines daugialypes. Klasikinėje algebrinėje geometrijoje afininės veislės tašką galima sutapatinti su maksimaliu koordinatinio žiedo idealu, o atitinkamos afininės schemos taškai yra visi šio žiedo pirminiai idealai. Tai reiškia, kad tokios schemos taškas gali būti arba įprastas taškas, arba poaibis. Šis metodas taip pat leidžia suvienodinti klasikinės algebrinės geometrijos, daugiausia susijusios su kompleksiniais taškais, ir algebrinės skaičių teorijos kalbą bei priemones. Šio požiūrio galios pavyzdys yra Wileso atliktas seniai žinomo spėjimo, vadinamo Fermato paskutine teorema, įrodymas.
Šis Togliatti paviršius yra penkto laipsnio algebrinis paviršius. Paveikslėlyje pavaizduota jo realiojo lokuso dalis
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra algebrinė geometrija?
A: Algebrinė geometrija yra matematikos šaka, tirianti polinomines lygtis.
K: Kokie metodai naudojami šiuolaikinėje algebrinėje geometrijoje?
A. Šiuolaikinėje algebrinėje geometrijoje geometrijos kalbai ir problemoms spręsti naudojami abstraktesni abstrakčiosios algebros metodai, pavyzdžiui, komutacinė algebra.
K: Kokio tipo lygtis nagrinėja algebrinė geometrija?
A: Algebrinė geometrija nagrinėja polinomines lygtis.
K: Kaip ji naudoja abstrakčiąją algebrą?
A: Siekiant suprasti su geometrija susijusią kalbą ir problemas, naudojama abstrakčioji algebra, ypač komutacinė algebra.
Klausimas: Ar šioje srityje naudojama tam tikra kalba?
A: Taip, šiuolaikinė algebrinė geometrija naudoja su geometrija susijusią kalbą ir problemas.
K: Kaip šiuolaikinės technologijos paveikė šią sritį?
A.: Šiuolaikinės technologijos leido šioje srityje taikyti pažangesnius abstrakčiosios algebros metodus tiriant polinomines lygtis.
