Algebrinės veislės — apibrėžimas, Nullstellensatz ir pagrindinės savybės

Atraskite algebrinių veislių apibrėžimą, Hilberto Nullstellensatz reikšmę ir pagrindines savybes — aiškiai, glaustai ir matematiškai tiksliai.

Matematikoje algebrinės atmainos (dar vadinamos veislėmis) yra vienas pagrindinių algebrinės geometrijos tyrimo objektų. Tradiciškai algebrinė veislė apibrėžiama kaip daugianarių lygčių sistemos sprendinių aibė, dažniausiai svarstoma realiųjų arba kompleksinių skaičių srityje. Šiuolaikiniai apibrėžimai išplečia ir formalizuoja šią idėją, išsaugodami geometrijos intuiciją ir suteikdami algebrai priemones šiems objektams nagrinėti.

Apibrėžimas ir pagrindiniai terminai

Afininė algebrinė veislė dažnai apibrėžiama taip: imame koeficientų lauko k polinomų žiedą k[x1,…,xn] ir idealą I šiame žiede; tuomet veislės taškų aibė V(I) yra visų polinomų iš I bendrųjų šaknų aibė k^n, kur taškai laikomi koordinatėmis (x1=a1,…,xn=an). Priešingas žingsnis — kiekvienai taškų aibei X priskiriamas idealas I(X) visų polinomų, kurie nulio ant X. Hilberto Nullstellensatz (žr. skyrių žemiau) susieja šias operacijas: per radikalius idealus ir algebrai uždaro lauko atveju nustato atitikmenį tarp idealų ir algebrinių aibių.

Pastaba apie terminologiją: konvencijos skiriasi: kai kurie autoriai reikalauja, kad „algebrinė veislė“ būtų neredukuojama (t. y. negali būti parašyta kaip dviejų griežtai mažesnių uždarų Zariskio topologijoje aibių sąjunga); tokiais atvejais neredukuojamos veislės dažnai vadinamos algebrinėmis aibėmis, o bendresnę klasę — tiesiog „algebrinėmis veislėmis“.

Nullstellensatz ir žiedų atitikmuo

Apie 1800 m. įrodyta fundamentali algebros teorema parodė, kad vieno kintamojo moninis daugianaris su kompleksiniais koeficientais yra nustatomas pagal jo šaknų aibę. Šį principą daugialypiui atvejui apibendrina Hilberto Nullstellensatz, kuris (viena iš formuluočių) sako: esant algebrai uždarom k, kiekvienam idealui I žiede k[x1,…,xn] galioja I(V(I)) = rad(I) — tai reiškia, kad visi polinomai, kurie nulio ant V(I), yra radikalūs su elementais I.

Iš Nullstellensatz plyšta svarbios pasekmės:

• yra glaudus ryšys tarp geometrijos (algebrinių aibių) ir algebros (polinomų žiedų ir jų idealų);
• neredukuojamos algebrinės veislės atitinka pirminius idealus (arba radikalius pirminių idealų atveju); kitaip sakant, geometrijoje irreducible = algebrai atitinka prime;
• Hilberto pagrindinis teorema (noetheriškumas) užtikrina, kad idealai žiede k[x1,…,xn] yra finiškai generuojami, todėl algebrines veisles galima aprašyti galutiniu skaičiumi polinomų.

Pagrindinės savybės ir sąvokos

Trumpas pagrindinių savybių sąrašas su paaiškinimais:

• Zariskio topologija: Algebrinės veislės natūraliai aprūpinamos Zariskio topologija, kur uždari rinkiniai yra algebrinės aibės V(I). Ši topologija yra labai reta (t. y. daug atvirų aibių), bet ji dera su algebraine struktūra.
• Išskaidymas į komponentus: Kiekvieną algebrinę veislę galima unikalai parašyti kaip galutinę neredukuojamų komponentų (ir tai atitinka radikalių idealų susiskaldymą į pirmines dalis).
• Matmenys: Matmenis (geometrinį, dažnai vadinamą Krull matmeniu) apibrėžia ilgiausia griežtų uždarytų aibių grandinė arba Krull dimenzija koordinačių žiedo; jis atitinka intuityvų „laisvų kintamųjų“ skaičių.
• Singuliarumai ir glotnumas: Veislė gali turėti singuliarių taškų (pvz., kryžminiai taškai, cusps); taškai, kuriuose lokalus žiedas yra reguliarus (nesuspaustas), vadinami glotniais (angl. smooth) arba reguliariais.
• Koordinatų žiedas ir reguliariosios funkcijos: Afinei veislei X priskiriamas koordinačių žiedas k[X] = k[x1,…,xn]/I(X). Reguliariosios funkcijos X yra elementai k[X], o morfizmai tarp veislių atitinka žiedo homomorfizmus priešinga kryptimi.
• Projektinės veislės: Veislės gali būti ir projektinės (apibrėžiamos homogeniškų polinomų idealais projektinėje erdvėje P^n); projektinė geometrija suteikia priemones nagrinėti pasimetrinimą prie begalybės.

Ryšys su daugialype įvairove ir kitomis sritimis

Įvairovės sąvoka yra panaši į daugialypės įvairovės sąvoką: abi apima topologiškai ir lokaliai „panašias“ objektų klases, tačiau svarbus skirtumas yra tas, kad veislė gali turėti singuliarinių taškų, o daugialypė terpė (manifold) — ne. Algebrinė geometrija naudoja algebrai technikas (žiedų teoriją, modulių teoriją), kad tirti geometrijinius reiškinius, todėl ji glaudžiai susieta su žiedų teorijos klausimais ir kitomis algebrai kryptimis bei kompleksine analize.

Pavyzdžiai ir intuicija

Keletas paprastų pavyzdžių, padedančių susidaryti vaizdą:

• Afīninė linija A^1: nulinis rinkinys polinoma f(x)=0 reiškia vieną ar kelias taškų aibę (priklausomai nuo lauko); koordinačių žiedas k[x].
• Plokštuma A^2 su vienu polinomu f(x,y)=0 sukuria algebrinę kreivę — ji gali būti glotni arba turėti singuliarias vietas (pvz., žiedas xy=0 — dvi ašys, susikertančios).
• Konusas, nodas ar cusp yra įprasti singuliarumų pavyzdžiai, iliustruojantys skirtumą tarp įvairovės ir glotnios daugialypės terpės.

Algebrinės geometrijos metodai ir praktinė reikšmė

Naudojant Nullstellensatz ir kitus algebrai rezultatus, matematikai gali perkelti geometrijos klausimus į žiedų teoriją ir atvirkščiai: nustumti geometrijos problemas į idealų, modulių ir homomorfizmų kalbą leidžia taikyti algebrai priemones (pvz., grobinius metodus, lokalizaciją, Hom ir Ext teoriją) sudėtingiems klausimams spręsti. Tai yra viena priežasčių, kodėl geometrijos posričiai, susiję su algebrinėmis veislėmis, turi tokį platų taikymą tiek teorinėje, tiek taikomojoje matematikoje.

Apibendrinant: algebrinės veislės yra struktūriškai turtingi objektai, kuriuos galima nagrinėti tiek iš geometrinės, tiek iš algebrai pusės. Nullstellensatz suteikia pagrindinį tiltą tarp šių požiūrių ir leidžia sujungti polinomų idealų teoriją su geometrijos intuicija.

Klausimai ir atsakymai

K: Kas yra algebrinės atmainos?

K: Kuo šiuolaikiniai apibrėžimai skiriasi nuo pirminio apibrėžimo?

Klausimas: Kuo skiriasi įvairovė nuo daugialypės terpės?

K: Ką nustato pagrindinė algebros teorema?

K: Ką numato Hilberto Nullstellensatz?

K: Kaip šią atitiktį naudojo matematikai?

Paieška pagal raidę