Algebrinė veislė
Matematikoje algebrinės atmainos (dar vadinamos veislėmis) yra vienas pagrindinių algebrinės geometrijos tyrimo objektų. Pirmieji algebrinės veislės apibrėžimai ją apibrėžė kaip daugianarių lygčių sistemos sprendinių aibę realiųjų arba kompleksinių skaičių srityje. Šiuolaikiniai algebrinės veislės apibrėžimai apibendrina šią sąvoką, kartu stengdamiesi išsaugoti pirminio apibrėžimo geometrinę intuiciją.
Algebrinės veislės apibrėžimo konvencijos skiriasi: Vieni autoriai reikalauja, kad "algebrinė veislė" pagal apibrėžimą būtų neredukuojama (tai reiškia, kad ji nėra dviejų mažesnių aibių, uždarų Zariskio topologijoje, sąjunga), o kiti to nereikalauja. Kai taikoma pirmoji konvencija, neredukuojamos algebrinės atmainos vadinamos algebrinėmis aibėmis.
Įvairovės sąvoka yra panaši į daugialypės įvairovės sąvoką. Vienas iš skirtumų tarp veislės ir daugialypės terpės yra tas, kad veislė gali turėti singuliarių taškų, o daugialypė terpė - ne. Apie 1800 m. įrodyta fundamentali algebros teorema, kuria nustatomas algebros ir geometrijos ryšys, parodant, kad vieno kintamojo moninis daugianaris su kompleksiniais koeficientais (algebros objektas) yra nustatomas pagal jo šaknų aibę (geometrinis objektas). Apibendrinant šį rezultatą, Hilberto Nullstellensatz nustato pagrindinį polinomų žiedų idealų ir algebrinių aibių atitikmenį. Naudodamiesi Nullstellensatz ir susijusiais rezultatais, matematikai nustatė tvirtą atitikimą tarp klausimų apie algebrines aibes ir žiedų teorijos klausimų. Šis atitikimas yra algebrinės geometrijos specifika tarp kitų geometrijos posričių.
Susukta kubinė yra projekcinė algebrinė veislė.
Klausimai ir atsakymai
K: Kas yra algebrinės atmainos?
A: Algebrinės atmainos yra vienas pagrindinių algebrinės geometrijos tyrimo objektų. Jos apibrėžiamos kaip daugianarių lygčių sistemos sprendinių aibė realiųjų arba kompleksinių skaičių srityje.
K: Kuo šiuolaikiniai apibrėžimai skiriasi nuo pirminio apibrėžimo?
A: Šiuolaikiniuose apibrėžimuose stengiamasi išsaugoti geometrinę pradinio apibrėžimo intuiciją ir kartu jį apibendrinti. Kai kurie autoriai reikalauja, kad "algebrinė veislė" pagal apibrėžimą būtų neredukuojama (tai reiškia, kad ji nėra dviejų mažesnių aibių, uždarų Zariskio topologijoje, sąjunga), o kiti to nereikalauja.
Klausimas: Kuo skiriasi įvairovė nuo daugialypės terpės?
Atsakymas: Veislė gali turėti singuliarių taškų, o daugialypė - ne.
K: Ką nustato pagrindinė algebros teorema?
Atsakymas: Pagrindinė algebros teorema nustato ryšį tarp algebros ir geometrijos, parodydama, kad vieno kintamojo moninis polinomas su kompleksiniais koeficientais (algebros objektas) yra apibrėžtas jo šaknų aibės (geometrinis objektas).
K: Ką numato Hilberto Nullstellensatz?
A.: Hilberto nulinės stilizacijos sąvoka suteikia pagrindinį atitikmenį tarp polinomų žiedų idealų ir algebrinių aibių.
K: Kaip šią atitiktį naudojo matematikai?
A. Matematikai, naudodamiesi šia atitiktimi, nustatė tvirtą atitikmenį tarp klausimų apie algebrines aibes ir žiedų teorijos klausimų.
K: Kuo ši sritis yra unikali tarp kitų geometrijos posričių? A: Dėl šios stiprios algebrinių aibių ir žiedų teorijos klausimų atitikties ši sritis yra unikali tarp kitų geometrijos posričių.
